Provas Anteriores | Unesp 2013 — 2ª Fase

Q19

Mecânica — Quantidade de Movimento — Sistema com mola e conservação

Um brinquedo é constituído por dois carrinhos idênticos, $A$ e $B$, de massas iguais a $3\text{ kg}$ e por uma mola de massa desprezível, comprimida entre eles e presa apenas ao carrinho $A$. Um pequeno dispositivo, também de massa desprezível, controla um gatilho que, quando acionado, permite que a mola se distenda.

Dois carrinhos A e B com a mola entre eles. Antes do disparo, os dois se movem juntos com velocidade de 1 m/s; depois do disparo, o carrinho B se move com 1,5 m/s.

Antes de o gatilho ser acionado, os carrinhos e a mola moviam-se juntos, sobre uma superfície plana horizontal sem atrito, com energia mecânica de $3{,}75\text{ J}$ e velocidade de $1\text{ m/s}$, em relação à superfície. Após o disparo do gatilho, e no instante em que a mola está totalmente distendida, o carrinho $B$ perde contato com ela e sua velocidade passa a ser de $1{,}5\text{ m/s}$, também em relação a essa mesma superfície.

Nas condições descritas, calcule a energia potencial elástica inicialmente armazenada na mola antes de o gatilho ser disparado e a velocidade do carrinho $A$, em relação à superfície, assim que $B$ perde contato com a mola, depois de o gatilho ser disparado.

Resultado esperado

Energia potencial elástica inicial: $0{,}75\text{ J}$; velocidade de $A$: $0{,}5\text{ m/s}$.

Resolução comentada

Energia da mola. Antes do disparo, a energia mecânica do conjunto é a soma da energia cinética dos dois carrinhos (massa total $6\text{ kg}$, velocidade $1\text{ m/s}$) com a potencial elástica da mola:

$$E_c=\dfrac12(6)(1)^2=3{,}0\text{ J}$$

$$E_{pe}=E_{mec}-E_c=3{,}75-3{,}0=0{,}75\text{ J}$$

Velocidade de $A$. A mola produz forças internas ao sistema $A+B$, e não há atrito: a quantidade de movimento total se conserva.

$$(m_A+m_B)\,v=m_A\,v_A+m_B\,v_B\Rightarrow 6\cdot1=3\,v_A+3\cdot1{,}5$$

$$v_A=\dfrac{6-4{,}5}{3}=0{,}5\text{ m/s}$$

Verificação pela energia: depois do disparo, $\dfrac12\cdot3\cdot0{,}5^2+\dfrac12\cdot3\cdot1{,}5^2=0{,}375+3{,}375=3{,}75\text{ J}$, a mesma energia mecânica inicial.

Q20

Termologia — Termodinâmica — Ciclo termodinâmico

Determinada massa de gás ideal sofre a transformação cíclica $ABCDA$ mostrada no gráfico. As transformações $AB$ e $CD$ são isobáricas, $BC$ é isotérmica e $DA$ é adiabática. Considere que, na transformação $AB$, $400\text{ kJ}$ de calor tenham sidos fornecidos ao gás e que, na transformação $CD$, ele tenha perdido $440\text{ kJ}$ de calor para o meio externo.

Gráfico da pressão, em 10 elevado a 5 N/m2, em função do volume, em m3. A vai de 0,3 m3 e 4,0 a B em 1,0 m3 e 4,0; de B a C, em 2,0 m3 e 2,0, a curva é uma isoterma; de C a D, em 0,5 m3 e 2,0, a transformação é isobárica; de D a A a curva é adiabática.

Calcule o trabalho realizado pelas forças de pressão do gás na expansão $AB$ e a variação de energia interna sofrida pelo gás na transformação adiabática $DA$.

Resultado esperado

Trabalho em $AB$: $2{,}8\times10^{5}\text{ J}$ ($280\text{ kJ}$); variação de energia interna em $DA$: $+20\text{ kJ}$.

Resolução comentada

Trabalho em $AB$. A transformação é isobárica, com $p=4{,}0\times10^{5}\text{ N/m}^2$, e o volume vai de $0{,}3\text{ m}^3$ a $1{,}0\text{ m}^3$:

$$W_{AB}=p\,\Delta V=4{,}0\times10^{5}\,(1{,}0-0{,}3)=2{,}8\times10^{5}\text{ J}=280\text{ kJ}$$

Variação de energia interna em $DA$. Em um ciclo completo, a energia interna volta ao valor inicial, então a soma das variações nas quatro etapas é nula. Calculando cada uma pela primeira lei, $\Delta U=Q-W$:

Em $AB$: $\Delta U_{AB}=400-280=120\text{ kJ}$.

Em $BC$, isotérmica de gás ideal: $\Delta U_{BC}=0$.

Em $CD$, isobárica com $p=2{,}0\times10^{5}\text{ N/m}^2$ e volume de $2{,}0$ a $0{,}5\text{ m}^3$:

$$W_{CD}=2{,}0\times10^{5}\,(0{,}5-2{,}0)=-3{,}0\times10^{5}\text{ J}=-300\text{ kJ}$$

$$\Delta U_{CD}=Q-W=-440-(-300)=-140\text{ kJ}$$

A soma das variações é zero:

$$120+0-140+\Delta U_{DA}=0\Rightarrow\Delta U_{DA}=+20\text{ kJ}$$

O sinal positivo é coerente com uma compressão adiabática: o trabalho é realizado sobre o gás e sua energia interna aumenta.

Q21

Eletromagnetismo — Força Magnética — Espectrômetro de massa

Um feixe é formado por íons de massa $m_1$ e íons de massa $m_2$, com cargas elétricas $q_1$ e $q_2$, respectivamente, de mesmo módulo e de sinais opostos. O feixe penetra com velocidade $\vec V$, por uma fenda $F$, em uma região onde atua um campo magnético uniforme $\vec B$, cujas linhas de campo emergem na vertical perpendicularmente ao plano que contém a figura e com sentido para fora. Depois de atravessarem a região por trajetórias tracejadas circulares de raios $R_1$ e $R_2=2\cdot R_1$, desviados pelas forças magnéticas que atuam sobre eles, os íons de massa $m_1$ atingem a chapa fotográfica $C_1$ e os de massa $m_2$ a chapa $C_2$.

Região de campo magnético B saindo do plano da figura. Os íons entram por uma fenda F na base, com velocidade para cima. Os de massa m1 descrevem uma semicircunferência de raio R1 para a direita até a chapa C1, e os de massa m2 uma semicircunferência de raio R2 igual ao dobro de R1 para a esquerda até a chapa C2.

Considere que a intensidade da força magnética que atua sobre uma partícula de carga $q$, movendo-se com velocidade $v$, perpendicularmente a um campo magnético uniforme de módulo $B$, é dada por $F_{MAG}=|q|\cdot v\cdot B$.

Indique e justifique sobre qual chapa, $C_1$ ou $C_2$, incidiram os íons de carga positiva e os de carga negativa.

Calcule a relação $\dfrac{m_1}{m_2}$ entre as massas desses íons.

Resultado esperado

Íons positivos em $C_1$ e íons negativos em $C_2$; $\dfrac{m_1}{m_2}=\dfrac12$.

Resolução comentada

Sinais das cargas. Os íons entram em $F$ com velocidade dirigida para cima (no plano da figura) e o campo magnético aponta para fora do plano. Para uma carga positiva, a regra da mão direita ($\vec F=q\,\vec v\times\vec B$) com $\vec v$ para cima e $\vec B$ para fora dá força para a direita: os íons positivos curvam para a direita e incidem na chapa $C_1$. Para carga negativa, a força tem sentido contrário, para a esquerda: os íons negativos incidem na chapa $C_2$.

Relação entre as massas. Em cada trajetória, a força magnética é a resultante centrípeta:

$$|q|\,v\,B=\dfrac{m\,v^2}{R}\Rightarrow R=\dfrac{m\,v}{|q|\,B}$$

Como $v$, $|q|$ e $B$ são os mesmos para os dois tipos de íon, o raio é proporcional à massa:

$$\dfrac{m_1}{m_2}=\dfrac{R_1}{R_2}=\dfrac{R_1}{2R_1}=\dfrac12$$