Provas Anteriores | UNESP Meio de Ano 2016 — 2ª Fase

Q19

Mecânica — Colisão Inelástica, Quantidade de Movimento e Energia

Duas esferas, $A$ e $B$, de mesma massa e de dimensões desprezíveis, estão inicialmente em repouso nas posições indicadas na figura. Após ser abandonada de uma altura $h$, a esfera $A$, presa por um fio ideal a um ponto fixo $O$, desce em movimento circular acelerado e colide frontalmente com a esfera $B$, que está apoiada sobre um suporte fixo no ponto mais baixo da trajetória da esfera $A$.

Após a colisão, as esferas permanecem unidas e, juntas, se aproximam de um sensor $S$, situado à altura $0{,}2\text{ m}$ que, se for tocado, fará disparar um alarme sonoro e luminoso ligado a ele.

Esferas A e B em trajetória circular, com sensor S a 0,2 m do ponto mais baixo

Compare as situações imediatamente antes e imediatamente depois da colisão entre as duas esferas, indicando se a energia mecânica e a quantidade de movimento do sistema formado pelas duas esferas se conservam ou não nessa colisão. Justifique sua resposta. Desprezando os atritos e a resistência do ar, calcule o menor valor da altura $h$, em metros, capaz de fazer o conjunto formado por ambas as esferas tocar o sensor $S$.

RespostaNa colisão, a quantidade de movimento se conserva e a energia mecânica não. O menor valor é $h=0{,}8\text{ m}$.

Resolução

Durante a colisão, o sistema formado pelas duas esferas pode ser tratado como isolado na direção do movimento. Assim, a quantidade de movimento se conserva. Como as esferas permanecem unidas após o choque, a colisão é perfeitamente inelástica e parte da energia mecânica é convertida em outras formas de energia.

Para que o conjunto de massa $2m$ alcance o sensor situado $0{,}2\text{ m}$ acima do ponto mais baixo, sua energia cinética imediatamente após a colisão deve ser, no caso limite, igual ao ganho de energia potencial:

$\dfrac{1}{2}(2m){v'}^2=(2m)g(0{,}2)$.

Com $g=10\text{ m/s}^2$, obtemos ${v'}^2=4$ e, portanto, $v'=2{,}0\text{ m/s}$.

Na colisão: $mv=(2m)v'$. Logo, $v=2v'=4{,}0\text{ m/s}$.

Antes da colisão, a esfera $A$ parte do repouso e desce sem perdas: $mgh=\dfrac{1}{2}mv^2$.

Assim, $h=\dfrac{v^2}{2g}=\dfrac{4^2}{2\cdot10}=0{,}8\text{ m}$.

Q20

Óptica Geométrica — Lente Delgada, Equação de Gauss e Aumento Linear

Durante a análise de uma lente delgada para a fabricação de uma lupa, foi construído um gráfico que relaciona a coordenada de um objeto colocado diante da lente $(p)$ com a coordenada da imagem conjugada desse objeto por essa lente $(p')$. A figura 1 representa a lente, o objeto e a imagem. A figura 2 apresenta parte do gráfico construído.

Lente convergente com objeto e imagem e gráfico de p' em função de p

Considerando válidas as condições de nitidez de Gauss para essa lente, calcule a que distância se formará a imagem conjugada por ela, quando o objeto for colocado a $60\text{ cm}$ de seu centro óptico. Suponha que a lente seja utilizada como lupa para observar um pequeno objeto de $8\text{ mm}$ de altura, colocado a $2\text{ cm}$ da lente. Com que altura será vista a imagem desse objeto?

RespostaPara $p=60\text{ cm}$, $p'=12\text{ cm}$. Como lupa, a imagem tem altura $10\text{ mm}$.

Resolução

Pelo gráfico, quando $p$ se aproxima de $10\text{ cm}$, o módulo de $p'$ cresce sem limite. Isso identifica a distância focal da lente: $f=10\text{ cm}$.

Para $p=60\text{ cm}$, pela equação de Gauss, $\dfrac{1}{f}=\dfrac{1}{p}+\dfrac{1}{p'}$.

$\dfrac{1}{10}=\dfrac{1}{60}+\dfrac{1}{p'}$, então $\dfrac{1}{p'}=\dfrac{5}{60}=\dfrac{1}{12}$ e $p'=12\text{ cm}$. A imagem é real.

Usando a lente como lupa, $p=2\text{ cm}$:

$\dfrac{1}{10}=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{p'}$, de onde $p'=-2{,}5\text{ cm}$. O sinal negativo indica imagem virtual.

O aumento linear é $A=-\dfrac{p'}{p}=\dfrac{2{,}5}{2}=1{,}25$.

Logo, $h'=Ah=1{,}25\cdot8\text{ mm}=10\text{ mm}$.

Q21

Eletrodinâmica — Associação de Resistores e Potência Elétrica

Três lâmpadas idênticas $(L_1,L_2,L_3)$, de resistências elétricas constantes e valores nominais de tensão e potência iguais a $12\text{ V}$ e $6\text{ W}$, compõem um circuito conectado a uma bateria de $12\text{ V}$. Devido à forma como foram ligadas, as lâmpadas $L_2$ e $L_3$ não brilham com a potência para a qual foram projetadas.

Circuito com lâmpada L1 em paralelo ao ramo em série formado por L2 e L3, ligado a uma bateria de 12 V

Considerando desprezíveis as resistências elétricas das conexões e dos fios de ligação utilizados nessa montagem, calcule a resistência equivalente, em ohms, do circuito formado pelas três lâmpadas e a potência dissipada, em watts, pela lâmpada $L_2$.

Resposta$R_{eq}=16\Omega$ e $P_2=1{,}5\text{ W}$.

Resolução

Para cada lâmpada, pelos valores nominais, $P=\dfrac{U^2}{R}$. Assim, $R=\dfrac{12^2}{6}=24\Omega$.

As lâmpadas $L_2$ e $L_3$ estão em série, portanto $R_{23}=24+24=48\Omega$.

Esse ramo está em paralelo com $L_1$, cuja resistência é $24\Omega$. Logo, $R_{eq}=\dfrac{24\cdot48}{24+48}=16\Omega$.

O ramo de $L_2$ e $L_3$ está submetido aos $12\text{ V}$ da bateria. Como as resistências são iguais, a tensão se divide igualmente: $U_2=U_3=6\text{ V}$.

Portanto, $P_2=\dfrac{U_2^2}{R_2}=\dfrac{6^2}{24}=1{,}5\text{ W}$.