Acervo de Provas | Unesp Meio de Ano 2025

Q19

Dinâmica — Quantidade de Movimento e Movimento Relativo

Um trem se move com velocidade constante de 3 m/s em relação aos trilhos, em um trecho retilíneo de ferrovia. Sobre o teto de um dos vagões, em uma de suas extremidades, há um gato em repouso em relação ao vagão. Em determinado instante, o gato começa a caminhar com velocidade constante de 1 m/s em relação ao teto do vagão, no mesmo sentido do movimento do trem, até chegar à outra extremidade desse vagão, conforme as figuras.

Vagão de trem de 15 m de comprimento: no instante inicial o gato está em repouso na extremidade traseira do teto do vagão; em seguida, o gato caminha até a extremidade dianteira; a distância D percorrida pelo gato em relação aos trilhos é indicada entre a posição inicial e a posição final

a)Sabendo que a quantidade de movimento do vagão sobre o qual o animal se encontra tem intensidade 36 000 kg·m/s, calcule a energia cinética desse vagão, em joules.

Resposta$E_c = 54\,000$ J.

b)Sabendo que o comprimento desse vagão é 15 m, calcule o tempo, em segundos, para o gato ir de uma extremidade a outra do vagão. Determine a distância D, em metros, percorrida pelo animal em relação aos trilhos, nesse trajeto.

Resposta$\Delta t = 15$ s; $D = 60$ m.

Resolução

A quantidade de movimento do vagão é $p = m v$, em que $v=3$ m/s é a velocidade do próprio vagão (e do trem) em relação aos trilhos. Da intensidade dada, a massa do vagão é $m = \dfrac{p}{v} = \dfrac{36\,000}{3} = 12\,000$ kg.

A energia cinética do vagão é $E_c = \dfrac{1}{2}mv^2 = \dfrac{1}{2}\times12\,000\times3^2 = \dfrac{1}{2}\times12\,000\times9 = 54\,000$ J.

Em relação ao teto do vagão, o gato percorre o comprimento todo do vagão (15 m) com velocidade constante de 1 m/s, então o tempo do trajeto é $\Delta t = \dfrac{15}{1} = 15$ s — esse tempo é o mesmo em qualquer referencial (inercial), incluindo o dos trilhos.

Em relação aos trilhos, a velocidade do gato é a soma vetorial da velocidade do trem com a velocidade do gato em relação ao trem — como os dois movimentos têm o mesmo sentido: $v_{gato/trilhos} = v_{trem/trilhos}+v_{gato/trem} = 3+1 = 4$ m/s. Logo, a distância percorrida pelo gato em relação aos trilhos é $D = v_{gato/trilhos}\times\Delta t = 4\times15 = 60$ m.

Q20

Óptica Geométrica — Refração em Meios Estratificados

Um recipiente constituído de vidro crown tem uma base de espessura d e contém água até a profundidade 2d. Uma fonte de luz monocromática colocada no ponto P emite dois raios de luz, $r_1$ e $r_2$, que atravessam esse recipiente conforme mostra a figura. A tabela apresenta os índices de refração absolutos do ar, da água e do vidro crown.

Recipiente com base de vidro crown (espessura d) e água acima (profundidade 2d), com fonte pontual de luz P na base: o raio r1 sai verticalmente de P sem desviar, atravessando vidro e água até o ar; o raio r2 sai de P formando ângulo θ com a vertical dentro do vidro, refrata na interface vidro-água e novamente na interface água-ar, saindo para o ar a 49° da vertical; tabela com índices de refração: ar n=1, água n=4/3, vidro crown n=3/2

Adotando sen(49°) = 3/4, calcule:

a)o valor do ângulo θ, em graus.

Resposta$\theta = 30°$.

b)o valor da razão $\dfrac{\Delta t_V}{\Delta t_A}$, entre os intervalos de tempo em que o raio $r_1$ atravessa a camada de vidro ($\Delta t_V$) e a camada de água ($\Delta t_A$).

Resposta$\dfrac{\Delta t_V}{\Delta t_A} = \dfrac{9}{16}$.

Resolução

O raio $r_1$ sai de P na direção vertical, ou seja, incide com ângulo zero (ao longo da normal) em todas as interfaces — por isso atravessa vidro, água e ar sem sofrer nenhum desvio, servindo de referência (a normal) para medir os ângulos do raio $r_2$.

O raio $r_2$ sai de P formando o ângulo θ com a vertical dentro do vidro. Ao cruzar a interface vidro-água, refrata; ao cruzar a interface água-ar, refrata novamente, saindo com ângulo de 49° em relação à vertical (dado sen(49°) = 3/4). Aplico a lei de Snell nas duas interfaces, usando os índices da tabela ($n_{vidro}=3/2$, $n_{água}=4/3$, $n_{ar}=1$).

Na interface água-ar: $n_{água}\,\text{sen}(\alpha) = n_{ar}\,\text{sen}(49°)$, sendo $\alpha$ o ângulo do raio dentro da água. Logo: $\dfrac{4}{3}\,\text{sen}(\alpha) = 1\times\dfrac{3}{4} \Rightarrow \text{sen}(\alpha) = \dfrac{3}{4}\times\dfrac{3}{4} = \dfrac{9}{16}$.

Na interface vidro-água: $n_{vidro}\,\text{sen}(\theta) = n_{água}\,\text{sen}(\alpha)$. Logo: $\dfrac{3}{2}\,\text{sen}(\theta) = \dfrac{4}{3}\times\dfrac{9}{16} = \dfrac{3}{4} \Rightarrow \text{sen}(\theta) = \dfrac{3}{4}\times\dfrac{2}{3} = \dfrac{1}{2} \Rightarrow \theta = 30°$.

Para o item b), como $r_1$ percorre cada camada na direção vertical (normal), o percurso em cada meio é igual à espessura da camada: $d$ no vidro e $2d$ na água. A velocidade da luz em um meio de índice $n$ é $v = \dfrac{c}{n}$, então o tempo para atravessar uma camada de espessura $L$ é $\Delta t = \dfrac{L}{v} = \dfrac{Ln}{c}$.

No vidro: $\Delta t_V = \dfrac{d\times n_{vidro}}{c} = \dfrac{d\times(3/2)}{c} = \dfrac{3d}{2c}$. Na água: $\Delta t_A = \dfrac{2d\times n_{água}}{c} = \dfrac{2d\times(4/3)}{c} = \dfrac{8d}{3c}$.

A razão pedida é $\dfrac{\Delta t_V}{\Delta t_A} = \dfrac{3d/(2c)}{8d/(3c)} = \dfrac{3}{2}\times\dfrac{3}{8} = \dfrac{9}{16}$.

Q21

Eletrodinâmica — Resistores em Paralelo (Arcos Semicirculares)

Um circuito elétrico foi construído com dois fios metálicos resistivos semicirculares, AB e CD, feitos do mesmo material e com mesma espessura constante. Os fios AB e CD são concêntricos e têm raios r e r/2, respectivamente, conforme mostra a figura. A lâmpada L está acesa, funcionando de acordo com seus valores nominais, e o circuito é alimentado por um gerador ideal G, de força eletromotriz constante, que é atravessado por uma corrente elétrica total I. Os demais elementos desse circuito apresentam resistência elétrica desprezível.

Circuito com gerador G e lâmpada L em série com dois fios semicirculares concêntricos ligados em paralelo entre os mesmos dois nós: arco externo AB de raio r, percorrido pela corrente iAB, e arco interno CD de raio r/2, percorrido pela corrente iCD; a corrente total I sai do gerador em direção ao circuito

a)Se o fio AB romper-se, a lâmpada brilhará mais, brilhará menos ou permanecerá com o mesmo brilho? Justifique sua resposta a partir do que ocorre com a intensidade da corrente elétrica total, I.

RespostaA lâmpada brilhará menos, pois I diminui.

b)Sabe-se que, na situação mostrada na figura, $i_{AB}=0{,}8$ A. Calcule, nessa situação, as intensidades das correntes $i_{CD}$ e I, em ampères.

Resposta$i_{CD} = 1{,}6$ A; $I = 2{,}4$ A.

Resolução

Pela figura, A e C estão ligados ao mesmo nó do circuito (por um fio de resistência desprezível), e o mesmo ocorre com B e D — ou seja, os fios AB e CD estão ligados entre os dois mesmos nós, em paralelo, e não em série.

Como os dois fios são do mesmo material e têm a mesma espessura (mesma área de seção transversal e mesma resistividade), a resistência de cada um é proporcional apenas ao seu comprimento, que é o comprimento de um semicírculo, $L=\pi \times \text{raio}$. Assim, $R_{AB}\propto \pi r$ e $R_{CD}\propto \pi\left(\dfrac{r}{2}\right)$, ou seja, $R_{AB}=2\,R_{CD}$ (o fio AB tem o dobro da resistência do fio CD).

Item a) Se o fio AB se romper, deixa de existir um dos dois caminhos em paralelo — toda a corrente passa a ser obrigada a atravessar apenas o fio CD. Remover um ramo de uma associação em paralelo sempre aumenta a resistência equivalente desse trecho (a resistência equivalente de uma associação em paralelo é sempre menor que a menor das resistências individuais). Como a lâmpada está em série com esse trecho e o gerador é ideal (fem constante), o aumento da resistência total do circuito reduz a corrente total fornecida pelo gerador, $I=\dfrac{\varepsilon}{R_L+R_{eq}}$. Como toda a corrente I passa pela lâmpada (ela está no ramo principal, não em paralelo), uma redução em I significa menos corrente na lâmpada e, portanto, ela brilhará menos.

Item b) Como AB e CD estão em paralelo, a diferença de potencial é a mesma nos dois: $i_{AB}R_{AB} = i_{CD}R_{CD}$. Substituindo $R_{AB}=2R_{CD}$: $i_{AB}\times2R_{CD} = i_{CD}\times R_{CD} \Rightarrow i_{CD} = 2\,i_{AB} = 2\times0{,}8 = 1{,}6$ A.

A corrente total fornecida pelo gerador se divide entre os dois ramos e se recompõe depois, então, pela Lei dos Nós de Kirchhoff: $I = i_{AB}+i_{CD} = 0{,}8+1{,}6 = 2{,}4$ A.