Prova IME 2010 — Física com Gabarito e Resolução

Q16

Termologia — Transmissão de Calor — Condução em Paredes Compostas

Dois materiais sólidos, A e B, lado a lado, de comprimento L = 10 cm cada, entre isolantes térmicos superior e inferior; T1 = 300 K na face externa de A, T2 na interface e T3 = 1500 K na face externa de B

A figura composta por dois materiais sólidos diferentes $A$ e $B$, apresenta um processo de condução de calor, cujas temperaturas não variam com o tempo. É correto afirmar que a temperatura $T_2$ da interface desses materiais, em kelvins, é:

Observações:

$T_1$: Temperatura da interface do material $A$ com o meio externo
$T_3$: Temperatura da interface do material $B$ com o meio externo
$K_A$: Coeficiente de condutividade térmica do material $A$ ($1\text{ W/(m.K)}$)
$K_B$: Coeficiente de condutividade térmica do material $B$ ($0{,}2\text{ W/(m.K)}$)

A)$400$

B)$500$

C)$600$

D)$700$

E)$800$

Gabarito Oficial

B

Resolução

Em regime estacionário e com os isolantes em cima e embaixo, o mesmo fluxo de calor por unidade de área atravessa $A$ e $B$ (lei de Fourier): \[\varphi=K_A\frac{T_2-T_1}{L}=K_B\frac{T_3-T_2}{L}.\]

Fluxo. A resistência térmica por unidade de área é $\dfrac LK$: $\dfrac{0{,}1}{1}=0{,}1$ para $A$ e $\dfrac{0{,}1}{0{,}2}=0{,}5$ para $B$, e em série somam $0{,}6\text{ m}^2\text{K/W}$. Então \[\varphi=\frac{1500-300}{0{,}6}=2000\text{ W/m}^2.\]

Temperatura da interface. \[T_2=T_1+\varphi\cdot0{,}1=300+200=500\text{ K}.\] (Conferindo por $B$: $1500-2000\cdot0{,}5=500\text{ K}$.)

Cuidado, armadilha! A temperatura cai mais no material de menor condutividade: $1000\text{ K}$ em $B$ e apenas $200\text{ K}$ em $A$. Tomar a média das temperaturas externas ($900\text{ K}$) seria ignorar isso.

Q17

Óptica — Lentes — Ampliação de uma Lente na Interface entre Dois Meios

Lente convergente no plano de separação entre o vácuo, à esquerda, e um material de índice de refração n, à direita; um objeto pequeno a uma distância p da lente e a marca da distância focal f

A figura apresenta, esquematicamente, uma lente convergente de distância focal $f$ posicionada no plano de transição entre o vácuo e um material de índice de refração $n$. O fator de ampliação (tamanho da imagem dividido pelo tamanho do objeto) de um objeto muito pequeno (se comparado com as dimensões da lente) colocado a uma distância $p$ da lente é:

A)$\dfrac{f}{|p-f|}$

B)$\dfrac{f}{n\,|p-f|}$

C)$\dfrac{nf}{|p-f|}$

D)$\dfrac{nf}{|p-nf|}$

E)$\dfrac{f}{|np-f|}$

Gabarito Oficial

A

Resolução

A ampliação depende só de um raio: aquele que sai do topo do objeto e passa pelo foco do lado do objeto (a distância $f$ da lente, no vácuo). Depois da lente, esse raio segue paralelo ao eixo e, por isso, sua altura mede a altura da imagem, qualquer que seja o meio em que a imagem se forme.

Semelhança de triângulos (objeto de altura $h_o$, a $p$ da lente, e foco a $f$ da lente): \[\frac{h_i}{h_o}=\frac{f}{|p-f|}.\] Essa é a ampliação $\left(\dfrac{f}{|p-f|}\right)$, a mesma expressão de uma lente imersa em um único meio.

Cuidado, armadilha! A presença do meio de índice $n$ altera a posição da imagem (ela fica a $\dfrac{npf}{np-f}$ da lente, se $f$ for a distância focal do lado da imagem), mas não a altura. Por isso não é preciso multiplicar nem dividir por $n$ na ampliação definida pelo raio que passa pelo foco do lado do objeto.

Q18

Mecânica — Estática — Esforços em Barras Articuladas

Barras AC, horizontal, de 4,25 m, e BC, inclinada de 30 graus em relação à horizontal, articuladas em A e B na parede e unidas em C; B está 2,50 m acima de A

A figura mostra duas barras $AC$ e $BC$ que suportam, em equilíbrio, uma força $\mathbf F$ aplicada no ponto $C$. Para que os esforços nas barras $AC$ e $BC$ sejam, respectivamente, $36\text{ N}$ (compressão) e $160\text{ N}$ (tração), o valor e o sentido das componentes vertical e horizontal da força $\mathbf F$ devem ser:

Observação:

Despreze os pesos das barras e adote $\sqrt3=1{,}7$.

A)$80\text{ N }(\downarrow),\ 100\text{ N }(\rightarrow)$

B)$100\text{ N }(\downarrow),\ 80\text{ N }(\rightarrow)$

C)$80\text{ N }(\uparrow),\ 100\text{ N }(\leftarrow)$

D)$100\text{ N }(\uparrow),\ 80\text{ N }(\leftarrow)$

E)$100\text{ N }(\downarrow),\ 80\text{ N }(\leftarrow)$

Gabarito Oficial

A

Resolução

Equilíbrio do nó $C$: $\mathbf F$ mais as forças das barras sobre o pino somam zero.
• Barra $AC$, comprimida: empurra $C$ para longe de $A$, isto é, para a direita, com $36\text{ N}$.
• Barra $BC$, tracionada: puxa $C$ na direção de $B$, para cima e para a esquerda, a $30^\circ$ com a horizontal, com $160\text{ N}$.

Componentes das barras sobre $C$. \[\text{horizontal: }36-160\cos30^\circ=36-160\cdot\frac{1{,}7}{2}=36-136=-100\text{ N}\ (\leftarrow),\] \[\text{vertical: }160\,\mathrm{sen}\,30^\circ=80\text{ N}\ (\uparrow).\]

Força $\mathbf F$. Para equilibrar, $\mathbf F$ deve ser igual e oposta à soma: $100\text{ N}$ para a direita $(\rightarrow)$ e $80\text{ N}$ para baixo $(\downarrow)$.

Cuidado, armadilha! Os sentidos importam mais que os módulos: compressão empurra o nó e tração puxa. Trocar essa convenção inverte os sentidos de $\mathbf F$ e leva às outras alternativas.

Q19

Mecânica — Energia — Atrito e Compressão de uma Mola

Um bloco de $4\text{ kg}$ e velocidade inicial de $2\text{ m/s}$ percorre $70\text{ cm}$ em uma superfície horizontal rugosa até atingir uma mola de constante elástica $200\text{ N/m}$. A aceleração da gravidade é $10\text{ m/s}^2$ e o bloco comprime $10\text{ cm}$ da mola até que sua velocidade se anule. Admitindo que durante o processo de compressão da mola o bloco desliza sem atrito, o valor do coeficiente de atrito da superfície rugosa é:

A)$0{,}15$

B)$0{,}20$

C)$0{,}25$

D)$0{,}30$

E)$0{,}35$

Gabarito Oficial

C

Resolução

A energia cinética inicial é $E_c=\dfrac12\cdot4\cdot2^2=8\text{ J}$. Ela se divide entre o trabalho do atrito, no trecho rugoso de $0{,}70\text{ m}$, e a energia elástica final da mola (sem atrito na compressão).

Balanço de energia. \[8=\mu\,m\,g\,d+\frac12kx^2=\mu\cdot4\cdot10\cdot0{,}7+\frac12\cdot200\cdot(0{,}1)^2=28\,\mu+1.\] Então \[\mu=\frac{7}{28}=0{,}25.\]

Cuidado, armadilha! Os $10\text{ cm}$ de compressão da mola não entram no trabalho do atrito, pois o enunciado diz que ali o bloco desliza sem atrito. Contá-los como trecho com atrito alteraria o balanço de energia.

Q20

Eletromagnetismo — Força Magnética — Partícula em Dois Campos Magnéticos Opostos

Partícula eletrizada entra com velocidade v0, para baixo, a uma distância R da linha tracejada que separa um campo magnético saindo do plano, à esquerda, de um entrando, à direita; a partícula sai pela base a 30 graus, a uma distância L da linha tracejada

Uma partícula eletrizada penetra perpendicularmente em um local imerso em um campo magnético de intensidade $B$. Este campo é dividido em duas regiões, onde os seus sentidos são opostos, conforme é apresentado na figura. Para que a partícula deixe o local com um ângulo de $30^\circ$, é correto afirmar que a eletrização da partícula e a intensidade do campo magnético que possui o sentido saindo do plano do papel devem ser, respectivamente:

Dados:

$R$: raio da trajetória da partícula na região onde existe um campo magnético.
$L/R=3$

A)positiva e de valor $B/3$.

B)positiva e de valor $B/6$.

C)negativa e de valor $B/6$.

D)positiva e de valor $2B/3$.

E)negativa e de valor $2B/3$.

Gabarito Oficial

C

Resolução

Sinal da carga. A partícula entra descendo, na região com campo entrando no papel. Para que ela se curve para a esquerda, em direção à linha divisória, a força inicial deve apontar para a esquerda. Com $\vec v$ para baixo e $\vec B$ entrando, $\vec v\times\vec B$ aponta para a direita, e então a carga é negativa.

Primeiro arco. Como a partícula entra a $R$ da linha divisória e o raio é $R$, o centro do arco está sobre a linha divisória, e a partícula descreve um quarto de circunferência: ela cruza a linha divisória a $R$ de profundidade, com velocidade horizontal, para a esquerda.

Segundo arco. No campo oposto, de intensidade $B'$, ela se curva para baixo com raio $R'=\dfrac{mv}{qB'}$, com centro verticalmente abaixo do ponto de cruzamento. Ao sair a $30^\circ$ com a horizontal, a velocidade girou $30^\circ$, e o deslocamento horizontal desde a linha divisória é \[L=R'\,\mathrm{sen}\,30^\circ=\frac{R'}2\quad\Rightarrow\quad R'=2L=6R.\]

Intensidade do campo. O raio é inversamente proporcional ao campo: $R'=6R$ significa $B'=\dfrac B6$. Resposta: negativa e $B/6$.

Cuidado, armadilha! O desvio de $30^\circ$ no segundo arco dá $L=R'\,\mathrm{sen}\,30^\circ$ (e não $R'\cos30^\circ$): o deslocamento horizontal é medido a partir do ponto em que a velocidade é horizontal.

Q21

Eletricidade — Eletrodinâmica — Resistência Equivalente de uma Malha Infinita

Malha infinita de resistores R em escada, entre os terminais A e B

Sabendo que todos os resistores da malha infinita da figura têm resistência $R$, a resistência equivalente entre $A$ e $B$ é:

A)$R\,(1+\sqrt2)/2$

B)$R\,(1+\sqrt3)/2$

C)$3R/2$

D)$R\,(1+\sqrt5)/2$

E)$R\,(1+\sqrt6)/2$

Gabarito Oficial

D

Resolução

Entre $A$ e o primeiro nó há um resistor $R$ em série. A partir do primeiro nó, a malha é formada por um resistor $R$ ligado direto ao fio de $B$, em paralelo com um ramo em série com $R$ seguido de uma malha idêntica a si mesma. Se $X$ é a resistência dessa malha a partir do nó, então, por ser infinita, ela se repete.

Equação. \[X=\frac{R\,(R+X)}{R+(R+X)}\quad\Rightarrow\quad X(2R+X)=R^2+RX\quad\Rightarrow\quad X^2+RX-R^2=0.\] A raiz positiva é $X=\dfrac{(\sqrt5-1)}{2}\,R$.

Resistência equivalente. \[R_{AB}=R+X=R+\frac{\sqrt5-1}{2}R=\frac{1+\sqrt5}{2}\,R.\]

Cuidado, armadilha! A resistência $X$ da malha não inclui o primeiro resistor, ligado a $A$. Esquecer de somá-lo daria $\dfrac{\sqrt5-1}{2}R$, que não consta das alternativas.

Q22

Mecânica — Gravitação — Aceleração da Gravidade em Órbita Baixa

No interior da Estação Espacial Internacional, que está em órbita em torno da Terra a uma altura correspondente a aproximadamente $5\%$ do raio da Terra, o valor da aceleração da gravidade é

A)aproximadamente zero.

B)aproximadamente $10\%$ do valor na superfície da Terra.

C)aproximadamente $90\%$ do valor na superfície da Terra.

D)duas vezes o valor na superfície da Terra.

E)igual ao valor na superfície da Terra.

Gabarito Oficial

C

Resolução

A aceleração da gravidade a uma distância $d$ do centro da Terra é $g=\dfrac{GM}{d^2}$. Na superfície, $g_0=\dfrac{GM}{R^2}$. Na altura da estação, $d=R+0{,}05R=1{,}05R$, e então \[\frac g{g_0}=\frac1{(1{,}05)^2}\approx0{,}91.\]

Assim, a gravidade na altura da estação é aproximadamente $90\%$ da que existe na superfície. (A ausência de peso aparente dos astronautas se deve à queda livre em órbita, e não à falta de gravidade.)

Cuidado, armadilha! A alternativa A confunde gravidade com peso aparente. Em órbita baixa a gravidade é quase a mesma da superfície, e é ela que mantém a estação em órbita.

Q23

Mecânica — Análise Dimensional — Dimensão de uma Grandeza Composta

Em certo fenômeno físico, uma determinada grandeza referente a um corpo é expressa como sendo o produto da massa específica, do calor específico, da área superficial, da velocidade de deslocamento do corpo, do inverso do volume e da diferença de temperatura entre o corpo e o ambiente. A dimensão desta grandeza em termos de massa ($M$), comprimento ($L$) e tempo ($t$) é dada por:

A)$M^{2}\,L^{-1}\,t^{-3}$

B)$M\,L^{-1}\,t^{-2}$

C)$M\,L^{-1}\,t^{-3}$

D)$M\,L^{-2}\,t^{-3}$

E)$M^{2}\,L^{-2}\,t^{-2}$

Gabarito Oficial

C

Resolução

Dimensões dos fatores.
• massa específica: $M\,L^{-3}$;
• calor específico (energia/(massa·temperatura)): $L^2\,t^{-2}\,\Theta^{-1}$;
• área: $L^2$;
• velocidade: $L\,t^{-1}$;
• inverso do volume: $L^{-3}$;
• diferença de temperatura: $\Theta$.

Produto. A temperatura se cancela ($\Theta^{-1}\cdot\Theta$). Para $M$: expoente $1$. Para $L$: $-3+2+2+1-3=-1$. Para $t$: $-2-1=-3$. \[[\text{grandeza}]=M\,L^{-1}\,t^{-3}.\]

Cuidado, armadilha! O calor específico carrega a dimensão de temperatura, que só desaparece por causa da diferença de temperatura no produto. Sem essa compensação o resultado não poderia ser escrito apenas em $M$, $L$ e $t$.

Q24

Mecânica — Energia — Molas e Queda de uma Massa

Situação I: massa M em equilíbrio, a uma altura h/3, presa a duas molas idênticas, Mola 1 acima e Mola 2 abaixo; Situação II: a Mola 2 é retirada e a massa M cai até o solo, na altura zero

Na Situação I da figura, em equilíbrio estático, a Massa $M$, presa a molas idênticas, está a uma altura $h/3$. Na Situação II, a mola inferior é subitamente retirada. As molas, em repouso, têm comprimento $h/2$. O módulo da velocidade da Massa $M$ na iminência de tocar o solo na Situação II é:

Observação:

$g$: Aceleração da Gravidade

A)$4gh/[2\sqrt2\,]$

B)$3gh/[2\sqrt2\,]$

C)$2gh/[2\sqrt2\,]$

D)$gh/[2\sqrt2\,]$

E)$0$

Gabarito Oficial

E

Resolução

Constante da mola. Na Situação I a massa está a $h/3$ e as molas, de comprimento natural $h/2$, têm deformações iguais a $\dfrac h6$: a de cima (comprimento $\dfrac{2h}3$) está esticada e a de baixo (comprimento $\dfrac h3$) está comprimida. As duas puxam e empurram a massa para cima: \[2\,k\,\frac h6=Mg\quad\Rightarrow\quad k=\frac{3Mg}h.\]

Situação II. Com a mola inferior retirada, a massa cai de $h/3$ até o solo. A mola superior, que estava esticada de $\dfrac h6$, passa a estar esticada de $\dfrac h2$ (comprimento $h$). Conservação da energia: \[\underbrace{Mg\frac h3}_{\text{perda de }E_p}=\underbrace{\frac12k\left[\left(\frac h2\right)^2-\left(\frac h6\right)^2\right]}_{\text{ganho elástico}}+\frac12Mv^2.\]

Resultado. O ganho elástico é $\dfrac12\cdot\dfrac{3Mg}h\cdot\dfrac{8h^2}{36}=\dfrac{Mgh}3$, que é igual à perda de energia potencial gravitacional. Logo $\dfrac12Mv^2=0$, e \[v=0.\]

Cuidado, armadilha! O resultado nulo surpreende, mas é coerente: a massa chega ao solo com velocidade nula e inverte o movimento. Ao ver $v=0$, vale conferir os números e não concluir que errou.

Q25

Eletricidade — Eletrodinâmica — Capacitor, Circuito e Calorimetria

Circuito com bateria E, chave k que liga ao ponto A (capacitor C de 16 microfarads) ou ao ponto B (resistores R2 e R3 de 4 ohms em paralelo, em série com R1 de 8 ohms, mergulhado no líquido de um frasco)

Na figura, o frasco de vidro não condutor térmico e elétrico contém $0{,}20\text{ kg}$ de um líquido isolante elétrico que está inicialmente a $20\ ^\circ\text{C}$. Nesse líquido está mergulhado um resistor $R_1$ de $8\ \Omega$. A chave $K$ está inicialmente na vertical e o capacitor $C$, de $16\ \mu\text{F}$, está descarregado. Ao colocar a chave no Ponto $A$ verifica-se que a energia do capacitor é de $0{,}08\text{ J}$. Em seguida, comutando a chave para o Ponto $B$ e ali permanecendo durante $5\text{ s}$, a temperatura do líquido subirá para $26\ ^\circ\text{C}$. Admita que todo o calor gerado pelo resistor $R_1$ seja absorvido pelo líquido e que o calor gerado nos resistores $R_2$ e $R_3$ não atinja o frasco. Nessas condições, é correto afirmar que o calor específico do líquido, em $\text{cal.g}^{-1}\text{.}^\circ\text{C}^{-1}$, é

Dado: $1\text{ cal}=4{,}2\text{ J}$

A)$0{,}4$

B)$0{,}6$

C)$0{,}8$

D)$0{,}9$

E)$1{,}0$

Gabarito Oficial

C

Resolução

Tensão da bateria. Na posição $A$, o capacitor carrega até a tensão $E$ da bateria: \[\frac12CE^2=0{,}08\quad\Rightarrow\quad E^2=\frac{2\cdot0{,}08}{16\cdot10^{-6}}=10^4\quad\Rightarrow\quad E=100\text{ V}.\]

Posição $B$. $R_2$ e $R_3$ em paralelo valem $2\ \Omega$, em série com $R_1=8\ \Omega$, e o total é $10\ \Omega$. A corrente é $i=\dfrac{100}{10}=10\text{ A}$ e a potência dissipada em $R_1$ é \[P=R_1i^2=8\cdot100=800\text{ W}.\] Em $5\text{ s}$, o calor recebido pelo líquido é $Q=800\cdot5=4000\text{ J}=\dfrac{4000}{4{,}2}\approx952\text{ cal}$.

Calor específico. Com $m=200\text{ g}$ e $\Delta T=6\ ^\circ\text{C}$: \[c=\frac{Q}{m\,\Delta T}=\frac{952}{200\cdot6}\approx0{,}79\approx0{,}8\text{ cal/(g.}^\circ\text{C)}.\]

Cuidado, armadilha! A massa do enunciado está em $\text{kg}$ ($0{,}20\text{ kg}$), mas o calor específico pedido é em $\text{cal/(g.}^\circ\text{C)}$: a massa deve ser usada em gramas ($200\text{ g}$).

Q26

Mecânica — Quantidade de Movimento — Recuo de uma Bazuca

Um soldado em pé sobre um lago congelado (sem atrito) atira horizontalmente com uma bazuca. A massa total do soldado e da bazuca é $100\text{ kg}$ e a massa do projétil é $1\text{ kg}$. Considerando que a bazuca seja uma máquina térmica com rendimento de $5\%$ e que o calor fornecido a ela no instante do disparo é $100\text{ kJ}$, a velocidade de recuo do soldado é, em m/s,

A)$0{,}1$

B)$0{,}5$

C)$1{,}0$

D)$10{,}0$

E)$100{,}0$

Gabarito Oficial

C

Resolução

Energia disponível. O trabalho da máquina térmica é $W=0{,}05\cdot100\text{ kJ}=5000\text{ J}$, que vira energia cinética do projétil (massa $m=1\text{ kg}$) e do soldado com a bazuca (massa $M=100\text{ kg}$).

Quantidade de movimento. O lago não tem atrito, e então $m\,v=M\,V$, isto é, $v=100\,V$. Energia. \[\frac12m\,v^2+\frac12M\,V^2=5000\quad\Rightarrow\quad\frac12\cdot10^4\,V^2+50\,V^2=5000\quad\Rightarrow\quad V^2=\frac{5000}{5050}\approx0{,}99.\]

Portanto $V\approx1{,}0\text{ m/s}$ (e o projétil sai a cerca de $100\text{ m/s}$).

Cuidado, armadilha! O recuo consome pouca energia: $\tfrac12MV^2\approx50\text{ J}$ contra $\approx4950\text{ J}$ do projétil. Desprezá-la dá o mesmo resultado, a menos de $0{,}5\%$.

Q27

Mecânica — Gravitação — Período de Órbitas Elípticas (3ª Lei de Kepler)

Três satélites orbitam ao redor da Terra: o satélite $S_1$ em uma órbita elíptica com o semi-eixo maior $a_1$ e o semi-eixo menor $b_1$; o satélite $S_2$ em outra órbita elíptica com semi-eixo maior $a_2$ e semi-eixo menor $b_2$; e o satélite $S_3$ em uma órbita circular com raio $r$.

Considerando que $r=a_1=b_2$, $a_1\neq b_1$ e $a_2\neq b_2$, é correto afirmar que

A)os períodos de revolução dos três satélites são iguais.

B)os períodos de revolução dos três satélites são diferentes.

C)$S_1$ e $S_3$ têm períodos de revolução idênticos, maiores do que o de $S_2$.

D)$S_1$ e $S_3$ têm períodos de revolução idênticos, menores do que o de $S_2$.

E)$S_2$ e $S_3$ têm períodos de revolução idênticos, maiores do que o de $S_1$.

Gabarito Oficial

D

Resolução

Pela 3ª lei de Kepler, $T^2\propto a^3$, em que $a$ é o semi-eixo maior (no círculo, o raio). Só o semi-eixo maior importa para o período.

$S_1$ e $S_3$. $a_1=r$, e então $T_1=T_3$. $S_2$. Como $a_2\neq b_2$ e $a_2$ é o semi-eixo maior, $a_2>b_2=r$, e portanto $T_2>T_3$. Logo $S_1$ e $S_3$ têm períodos idênticos e menores que o de $S_2$.

Cuidado, armadilha! O semi-eixo $b_2=r$ é o menor de $S_2$: a igualdade com $r$ não implica período igual, e sim que o semi-eixo maior $a_2$ é maior que $r$.

Q28

Mecânica — Cinemática — Movimento Elíptico e Efeito Doppler

Uma partícula emite um som de frequência constante e se desloca no plano $XY$ de acordo com as seguintes equações de posição em função do tempo $t$:

$x=a\cos(wt)$ $y=b\,\mathrm{sen}(wt)$

onde: $a$, $b$ e $w$ são constantes positivas, com $a>b$. Sejam as afirmativas:

I) o som na origem é percebido com a mesma frequência quando a partícula passa pelas coordenadas $(a,0)$ e $(0,b)$.

II) o raio de curvatura máximo da trajetória ocorre quando a partícula passa pelos pontos $(0,b)$ e $(0,-b)$.

III) a velocidade máxima da partícula ocorre com a passagem da mesma pelo eixo $Y$.

A(s) afirmativa(s) correta(s) é(são):

A)I, apenas

B)I e II, apenas

C)II, apenas

D)II e III, apenas

E)I, II e III

Gabarito Oficial

E

Resolução

A velocidade é $\vec v=\left(-aw\,\mathrm{sen}\,wt,\ bw\cos wt\right)$ e o quadrado da rapidez vale $v^2=w^2\left(a^2\mathrm{sen}^2wt+b^2\cos^2wt\right)$.

I (correta). A frequência percebida na origem depende da componente da velocidade da fonte ao longo da linha que a liga à origem. Em $(a,0)$ a velocidade é vertical, $(0,bw)$, e em $(0,b)$ é horizontal, $(-aw,0)$: nos dois casos ela é perpendicular ao raio vetor, a componente radial é nula e a frequência percebida é a da fonte, a mesma nos dois pontos.

II (correta). O raio de curvatura é $\rho=\dfrac{\left(a^2\mathrm{sen}^2wt+b^2\cos^2wt\right)^{3/2}}{ab}$. Com $a>b$, ele é máximo quando $\mathrm{sen}^2wt=1$, isto é, em $(0,\pm b)$, onde vale $\dfrac{a^2}b$. III (correta). A rapidez $v^2=w^2\left(b^2+(a^2-b^2)\mathrm{sen}^2wt\right)$ é máxima para $\mathrm{sen}^2wt=1$, nos mesmos pontos $(0,\pm b)$, sobre o eixo $Y$.

Estão corretas I, II e III.

Cuidado, armadilha! No eixo $Y$ a rapidez é máxima ($aw$) mas o raio de curvatura também é máximo (a trajetória é mais aberta ali), e no eixo $X$ ocorre o contrário. Não confundir velocidade alta com curva fechada.

Q29

Eletricidade — Eletrostática — Equilíbrio de uma Carga sobre uma Mola

À esquerda, mola não deformada no interior de um tubo de altura h; à direita, o corpo apoiado sobre a mola, que passa a ocupar a altura h/2

A figura ilustra uma mola feita de material isolante elétrico, não deformada, toda contida no interior de um tubo plástico não condutor elétrico, de altura $h=50\text{ cm}$. Colocando-se sobre a mola um pequeno corpo (raio desprezível) de massa $0{,}2\text{ kg}$ e carga positiva de $9\times10^{-6}\text{ C}$, a mola passa a ocupar metade da altura do tubo. O valor da carga, em coulombs, que deverá ser fixada na extremidade superior do tubo, de modo que o corpo possa ser posicionado em equilíbrio estático a $5\text{ cm}$ do fundo, é

Dados:

Aceleração da Gravidade: $g=10\text{ m/s}^2$
Constante Eletrostática: $K=9\times10^9\text{ N.m}^2/\text{C}^2$

A)$2\times10^{-6}$

B)$4\times10^{-4}$

C)$4\times10^{-6}$

D)$8\times10^{-4}$

E)$8\times10^{-6}$

Gabarito Oficial

C

Resolução

Constante da mola. Com o corpo, a mola passa de $50\text{ cm}$ a $25\text{ cm}$ (compressão de $0{,}25\text{ m}$): \[k=\frac{mg}{x}=\frac{0{,}2\cdot10}{0{,}25}=8\text{ N/m}.\]

Novo equilíbrio. A $5\text{ cm}$ do fundo, a mola está comprimida de $0{,}45\text{ m}$, e a força elástica, para cima, vale $8\cdot0{,}45=3{,}6\text{ N}$, maior que o peso ($2\text{ N}$). Então a carga fixa no topo, a $50-5=45\text{ cm}$ do corpo, deve repeli-lo para baixo (carga positiva) com a diferença: \[F_e=3{,}6-2=1{,}6\text{ N}.\]

Valor da carga. \[F_e=\frac{K\,q\,Q}{d^2}\quad\Rightarrow\quad Q=\frac{1{,}6\cdot(0{,}45)^2}{9\cdot10^9\cdot9\cdot10^{-6}}=\frac{0{,}324}{8{,}1\cdot10^{4}}=4\times10^{-6}\text{ C}.\]

Cuidado, armadilha! A distância entre as cargas é $45\text{ cm}$ (o tubo todo menos os $5\text{ cm}$ do fundo), e não $5\text{ cm}$. E a força elétrica deve equilibrar só a diferença entre a elástica e o peso.

Q30

Óptica — Refração — Índice de Refração com Fundo Espelhado

Tanque com líquido de profundidade raiz de 143 cm e 40 cm de largura; um raio incide no centro da superfície a 60 graus da normal, refrata, reflete-se no fundo espelhado e atinge a parede posterior no nível do líquido, a 20 cm do centro

Um raio de luz monocromática incide em um líquido contido em um tanque, como mostrado na figura. O fundo do tanque é espelhado, refletindo o raio luminoso sobre a parede posterior do tanque exatamente no nível do líquido. O índice de refração do líquido em relação ao ar é:

A)$1{,}35$

B)$1{,}44$

C)$1{,}41$

D)$1{,}73$

E)$1{,}33$

Gabarito Oficial

A

Resolução

O raio refratado desce até o fundo, reflete-se e sobe até o nível do líquido, na parede, a $20\text{ cm}$ do ponto de incidência. Por simetria, cada trecho (descida e subida) desloca o raio $10\text{ cm}$ na horizontal, para uma altura $h=\sqrt{143}\text{ cm}$: \[\tan r=\frac{10}{\sqrt{143}}.\]

Seno do ângulo refratado. \[\mathrm{sen}\,r=\frac{10}{\sqrt{143+100}}=\frac{10}{\sqrt{243}}=\frac{10}{9\sqrt3}\approx0{,}642.\]

Lei de Snell. \[n=\frac{\mathrm{sen}\,60^\circ}{\mathrm{sen}\,r}=\frac{0{,}866}{0{,}642}\approx1{,}35.\]

Cuidado, armadilha! O deslocamento horizontal total é $20\text{ cm}$, mas ele é percorrido em dois trechos (descida e subida). Usar $\tan r=\dfrac{20}{\sqrt{143}}$ daria um índice maior que $1{,}7$.