Prova IME 2014 — Física com Gabarito e Resolução

Q16

Termologia — Calorimetria — Colisão Perfeitamente Inelástica e Aquecimento

Dois corpos iguais deslizam na mesma direção e em sentidos opostos em um movimento retilíneo uniforme, ambos na mesma velocidade em módulo e à mesma temperatura. Em seguida, os corpos colidem. A colisão é perfeitamente inelástica, sendo toda energia liberada no choque utilizada para aumentar a temperatura dos corpos em $2\text{ K}$. Diante do exposto, o módulo da velocidade inicial do corpo, em m/s, é

Dado:

Calor específico dos corpos: $2\ \dfrac{\text{J}}{\text{kg.K}}$.

A)$\sqrt2$

B)$2$

C)$2\sqrt2$

D)$4$

E)$6$

Gabarito Oficial

C

Resolução

A quantidade de movimento total é nula (corpos iguais, velocidades opostas de mesmo módulo). Como a colisão é perfeitamente inelástica, os corpos seguem juntos, e a velocidade final é nula: toda a energia cinética inicial é dissipada e aquece os corpos.

Energia. Com massa $m$ cada: $E_c=2\cdot\dfrac12mv^2=mv^2$. Calor. Para os dois corpos, com $c=2\text{ J/(kg.K)}$ e $\Delta T=2\text{ K}$: $Q=2\,m\,c\,\Delta T=2\cdot m\cdot2\cdot2=8m$. Igualando: \[mv^2=8m\ \Rightarrow\ v^2=8\ \Rightarrow\ v=2\sqrt2\text{ m/s}.\]

Cuidado, armadilha! A energia dissipada inclui a cinética dos dois corpos, e o calor também vai para os dois. Esquecer um dos fatores $2$ muda o resultado por $\sqrt2$.

Q17

Óptica — Espelhos Planos — Velocidade da Imagem em um Espelho Girante

Espelho plano que gira com velocidade angular ω em torno do ponto fixo P; um objeto a uma distância d de P, com velocidade v em uma direção que forma o ângulo teta com a horizontal, e a imagem simétrica do objeto em relação ao espelho

Um espelho plano gira na velocidade angular constante $\omega$ em torno de um ponto fixo $P$, enquanto um objeto se move na velocidade $v$, de módulo constante, por uma trajetória não retilínea. Em um determinado instante, a uma distância $d$ do ponto $P$, o objeto pode tomar um movimento em qualquer direção e sentido, conforme a figura acima, sempre mantendo constante a velocidade escalar $v$. A máxima e a mínima velocidades escalares da imagem do objeto gerada pelo espelho são, respectivamente

A)$\omega d+v\ \text{ e }\ |\omega d-v|$

B)$\omega d+v\ \text{ e }\ \sqrt{(\omega d)^2+v^2}$

C)$\sqrt{(\omega d)^2+v^2}\ \text{ e }\ |\omega d-v|$

D)$2\omega d+v\ \text{ e }\ |2\omega d-v|$

E)$2\omega d+v\ \text{ e }\ \sqrt{(2\omega d)^2+v^2}$

Gabarito Oficial

D

Resolução

A velocidade da imagem é a soma de duas contribuições.
• Rotação do espelho (objeto parado): se o espelho gira de $\alpha$ em torno de $P$, a imagem, que fica à mesma distância $d$ de $P$, gira de $2\alpha$. Sua velocidade linear é, em módulo, \[v_{rot}=2\omega d,\] perpendicular a $PO$.
• Movimento do objeto (espelho parado): a imagem se move com velocidade refletida, de módulo $v$, cuja direção depende do movimento do objeto.

Extremos. Como o objeto pode se mover em qualquer direção e sentido, a velocidade refletida de módulo $v$ pode ter o mesmo sentido de $v_{rot}$ (soma máxima) ou o oposto (soma mínima): \[v_{max}=2\omega d+v,\qquad v_{min}=|2\omega d-v|.\]

Cuidado, armadilha! A imagem gira o dobro do ângulo do espelho, e por isso aparece $2\omega d$. Usar $\omega d$ leva às alternativas A, B ou C.

Q18

Eletricidade — Eletrostática — Carga Atraída por Duas Cargas Fixas

Trilho horizontal sem atrito, no qual uma carga +Q se move com velocidade v; a uma distância r abaixo do trilho estão duas cargas fixas -Q, separadas por d

Sobre um trilho sem atrito, uma carga $+Q$ vem deslizando do infinito na velocidade inicial $v$, aproximando-se de duas cargas fixas de valor $-Q$. Sabendo que $r\ll d$, pode-se afirmar que

A)a carga poderá entrar em oscilação apenas em torno de um ponto próximo à primeira carga fixa, dependendo do valor de $v$.

B)a carga poderá entrar em oscilação apenas em torno de um ponto próximo à segunda carga fixa, dependendo do valor de $v$.

C)a carga poderá entrar em oscilação apenas em torno de um ponto próximo ao ponto médio do segmento formado pelas duas cargas, dependendo do valor de $v$.

D)a carga poderá entrar em oscilação em torno de qualquer ponto, dependendo do valor de $v$.

E)a carga passará por perto das duas cargas fixas e prosseguirá indefinidamente pelo trilho.

Gabarito Oficial

E

Resolução

Tomando a energia potencial nula no infinito, a energia mecânica inicial é $E=\dfrac12mv^2+0\ge0$. Sem atrito, ela se conserva: $\dfrac12mv^2+U=E\ge0$.

Para ficar presa em torno de algum ponto, a carga teria de ter $E<0$ (estado ligado). Como $E\ge0$, ela é acelerada ao se aproximar das cargas $-Q$, passa por perto delas e, ao se afastar, volta a ter, no infinito do outro lado, energia cinética $\dfrac12mv^2$: prossegue indefinidamente pelo trilho.

Cuidado, armadilha! A atração acelera a carga na ida e a freia na saída (a energia se conserva), mas nunca a captura: uma partícula que vem do infinito com $E\ge0$ sempre volta ao infinito.

Q19

Ondulatória — Ondas Sonoras — Som no Ar e na Água

Buzina B na proa de um barco, 1 m acima da água; a pessoa P na margem está a 20 m de B, na mesma altura, e o mergulhador M está diretamente abaixo de B

Uma buzina $B$ localizada na proa de um barco, $1\text{ m}$ acima da superfície da água, é ouvida simultaneamente por uma pessoa $P$ na margem, a $20\text{ m}$ de distância, e por um mergulhador $M$, posicionado diretamente abaixo da buzina. A profundidade do mergulhador, em metros, é

Dados:

Temperatura do ar e da água: $20\ ^\circ\text{C}$;
Razão entre as massas molares da água e do ar: $0{,}04$.

A)$75$

B)$80$

C)$85$

D)$90$

E)$95$

Gabarito Oficial

E

Resolução

Como o som chega ao mesmo tempo, os tempos coincidem: \[\frac{20}{v_{ar}}=\frac1{v_{ar}}+\frac{x}{v_{agua}}\ \Rightarrow\ x=19\,\frac{v_{agua}}{v_{ar}}.\]

Razão das velocidades. À mesma temperatura, a velocidade do som é inversamente proporcional à raiz da massa molar, $v\propto\dfrac1{\sqrt M}$. Com $\dfrac{M_{agua}}{M_{ar}}=0{,}04$: \[\frac{v_{agua}}{v_{ar}}=\sqrt{\frac{M_{ar}}{M_{agua}}}=\sqrt{\frac1{0{,}04}}=5\ \Rightarrow\ x=19\cdot5=95\text{ m}.\]

Cuidado, armadilha! A relação $v\propto1/\sqrt M$ é a de gases ideais. Aplicada à água, ela é apenas o modelo que o enunciado sugere, e não a física real (a razão real de velocidades é cerca de $4{,}3$).

Q20

Mecânica — Estática — Viga com Carga Variável

Viga de 4 m apoiada nas extremidades A e B; uma carga fixa de 20 kN a 1 m do apoio A e uma carga variável entre ela e o apoio B

A figura acima mostra uma viga em equilíbrio. Essa viga mede $4\text{ m}$ e seu peso é desprezível. Sobre ela, há duas cargas concentradas, sendo uma fixa e outra variável. A carga fixa de $20\text{ kN}$ está posicionada a $1\text{ m}$ do apoio $A$, enquanto a carga variável só pode se posicionar entre a carga fixa e o apoio $B$. Para que as reações verticais (de baixo para cima) dos apoios $A$ e $B$ sejam iguais a $25\text{ kN}$ e $35\text{ kN}$, respectivamente, a posição da carga variável, em relação ao apoio $B$, e o seu módulo devem ser

A)$1{,}0\text{ m}$ e $50\text{ kN}$

B)$1{,}0\text{ m}$ e $40\text{ kN}$

C)$1{,}5\text{ m}$ e $40\text{ kN}$

D)$1{,}5\text{ m}$ e $50\text{ kN}$

E)$2{,}0\text{ m}$ e $40\text{ kN}$

Gabarito Oficial

B

Resolução

Módulo. Equilíbrio vertical: $25+35=20+F\ \Rightarrow\ F=40\text{ kN}$.

Posição. Torques em relação a $B$, com $x$ a distância da carga variável até $B$ (a carga fixa está a $3\text{ m}$ de $B$): \[R_A\cdot4=20\cdot3+F\,x\ \Rightarrow\ 25\cdot4=60+40\,x\ \Rightarrow\ x=1{,}0\text{ m}.\]

Cuidado, armadilha! A posição pedida é em relação ao apoio $B$. Medi-la a partir de $A$ daria $3{,}0\text{ m}$, que está fora do intervalo permitido.

Q21

Mecânica — Energia — Bloco em Plano Inclinado com Atrito

Um bloco, que se movia à velocidade constante $v$ em uma superfície horizontal sem atrito, sobe em um plano inclinado até atingir uma altura $h$, permanecendo em seguida em equilíbrio estável. Se a aceleração da gravidade local é $g$, pode-se afirmar que

A)$v^2=2gh$.

B)$v^2>2gh$.

C)$v^2<2gh$.

D)$v^2=\frac12\,gh$

E)$v^2=4gh$.

Gabarito Oficial

B

Resolução

O bloco termina parado no plano inclinado. Sem atrito isso seria impossível (ele escorregaria de volta), e então o plano tem atrito, que dissipa energia.

Energia. A energia cinética inicial se converte em energia potencial final mais o calor dissipado pelo atrito: \[\frac12mv^2=mgh+E_{dis}\quad(E_{dis}>0)\ \Rightarrow\ v^2=2gh+\frac{2E_{dis}}m>2gh.\]

Cuidado, armadilha! $v^2=2gh$ só valeria sem atrito, caso em que o bloco não poderia parar na altura $h$ (voltaria a descer). A parada exige dissipação, e então $v^2>2gh$.

Q22

Eletricidade — Eletrodinâmica — Capacitor e Rede de Resistores

Figura 1: circuito com chave Ch, resistor R e capacitor C em série. Figura 2: bateria de 100 V em série com um resistor de 15 ohms, ligada aos pontos A e B; entre A e B há um resistor de 20 ohms e uma ligação por resistores de 2, 12, 2, 3 e 1 ohm, que se cruzam no ponto E, entre os pontos C e D

No circuito da Figura 1, após o fechamento da chave $Ch$, o resistor $R$ dissipa uma energia de $8\times10^{-6}\text{ Wh}$ (watts-hora). Para que essa energia seja dissipada, o capacitor $C$ de $100\ \mu\text{F}$ deve ser carregado completamente pelo circuito da Figura 2, ao ser ligado entre os pontos

A)$A$ e $B$

B)$B$ e $C$

C)$C$ e $E$

D)$C$ e $D$

E)$B$ e $E$

Gabarito Oficial

E

Resolução

Tensão necessária. $8\times10^{-6}\text{ Wh}=8\times10^{-6}\cdot3600=0{,}0288\text{ J}$. A energia dissipada em $R$ é a energia que estava no capacitor, $\dfrac12CV^2$: \[\frac12\cdot100\times10^{-6}\cdot V^2=0{,}0288\ \Rightarrow\ V^2=576\ \Rightarrow\ V=24\text{ V}.\]

Circuito da Figura 2. Entre $A$ e $B$ há dois caminhos: o resistor de $20\ \Omega$ e a cadeia em série $2+3+1+2+12=20\ \Omega$ (os traços se cruzam em $E$). Em paralelo: $10\ \Omega$. Com os $15\ \Omega$ da bateria: $R_{tot}=25\ \Omega$ e $i=\dfrac{100}{25}=4\text{ A}$. A corrente se divide ao meio, $2\text{ A}$ em cada ramo.

Tensão de $24\text{ V}$. Num resistor de $12\ \Omega$ percorrido por $2\text{ A}$: $V=12\cdot2=24\text{ V}$. Esse resistor está entre os pontos $B$ e $E$, e o capacitor deve ser ligado entre $B$ e $E$.

Cuidado, armadilha! A energia está em watts-hora: é preciso multiplicar por $3600$ para obter joules. Usar $8\times10^{-6}\text{ J}$ daria uma tensão de apenas $0{,}4\text{ V}$.

Q23

Mecânica — Hidrostática — Equilíbrio de um Cone Flutuante

Situação I: cone de vértice V para cima, parcialmente imerso; Situação II: o mesmo cone de vértice V para baixo, parcialmente imerso; em ambas, A é o ponto em que o eixo do cone cruza a superfície do líquido

Um cone de base circular, de vértice $V$ e altura $h$ é parcialmente imerso em um líquido de massa específica $\mu$, conforme as situações $I$ e $II$, apresentadas na figura acima. Em ambas as situações, o cone está em equilíbrio estático e seu eixo cruza a superfície do líquido, perpendicularmente, no ponto $A$. A razão entre o comprimento do segmento $\overline{VA}$ e a altura $h$ do cone é dada por

A)$\dfrac23$

B)$\dfrac12$

C)$\dfrac13$

D)$\dfrac1{\sqrt2}$

E)$\dfrac1{\sqrt[3]{2}}$

Gabarito Oficial

E

Resolução

Seja $x=\dfrac{VA}{h}$ e $\rho_c$ a massa específica do cone. Volumes de cones semelhantes são proporcionais ao cubo da altura. No equilíbrio, $\rho_c\,V_{cone}=\mu\,V_{imerso}$.

Situação II (vértice para baixo): a parte imersa é um cone semelhante, de altura $VA$: $\dfrac{\rho_c}{\mu}=x^3$. Situação I (vértice para cima): a parte imersa é o cone todo menos o cone menor, de altura $VA$, acima da água: $\dfrac{\rho_c}{\mu}=1-x^3$.

Igualando. \[x^3=1-x^3\ \Rightarrow\ x^3=\frac12\ \Rightarrow\ x=\frac1{\sqrt[3]{2}}.\]

Cuidado, armadilha! Na situação I a parte acima da água é o cone pequeno de altura $VA$, e a imersa é o resto ($1-x^3$). Na II, a imersa é o cone pequeno ($x^3$). Trocar essas frações inverte o raciocínio e impede a igualdade.

Q24

Mecânica — Gravitação — Túnel através de um Planeta

Planeta esférico atravessado por um túnel retilíneo ao longo do diâmetro, com um ponto material no interior do túnel

Considere um túnel retilíneo que atravesse um planeta esférico ao longo do seu diâmetro. O tempo que um ponto material abandonado sobre uma das extremidades do túnel leva para atingir a outra extremidade é

Dados:

constante de gravitação universal: $G$;
massa específica do planeta: $\rho$.

Consideração:

Para efeito de cálculo do campo gravitacional, desconsidere a presença do túnel.

A)$\sqrt{\dfrac{3}{\pi\rho G}}$

B)$\sqrt{\dfrac{3\pi}{4\rho G}}$

C)$\dfrac{2\pi}{\sqrt{\rho G}}$

D)$\dfrac{2}{\sqrt{\pi\rho G}}$

E)$\dfrac{2\pi}{\sqrt{3\rho G}}$

Gabarito Oficial

B

Resolução

No interior de um planeta homogêneo de massa específica $\rho$, só a massa dentro da esfera de raio $r$ atrai o ponto: $g(r)=\dfrac{G\,\rho\,\frac43\pi r^3}{r^2}=\dfrac43\pi G\rho\,r$, dirigida para o centro. A força é restauradora e proporcional a $r$: movimento harmônico simples, com \[\omega^2=\frac{4\pi G\rho}3.\]

Tempo. Ir de uma extremidade à outra leva meio período: \[t=\frac T2=\frac\pi\omega=\pi\sqrt{\frac3{4\pi G\rho}}=\sqrt{\frac{3\pi}{4\rho G}}.\]

Cuidado, armadilha! A travessia de uma extremidade à outra é meio período. Usar o período completo, $2\pi/\omega$, dobraria o tempo e levaria à alternativa E.

Q25

Óptica — Refração — Lançamento Horizontal e Observação do Objeto na Piscina

Um banhista faz o lançamento horizontal de um objeto na velocidade igual a $5\sqrt3\text{ m/s}$ em direção a uma piscina. Após tocar a superfície da água, o objeto submerge até o fundo da piscina em velocidade horizontal desprezível. Em seguida, o banhista observa esse objeto em um ângulo de $30^\circ$ em relação ao horizonte. Admitindo-se que a altura de observação do banhista e do lançamento do objeto são iguais a $1{,}80\text{ m}$ em relação ao nível da água da piscina, a profundidade da piscina, em metros, é

Dados:

índice de refração do ar: $n_{ar}=1$;
índice de refração da água: $n_{agua}=\dfrac{5\sqrt3}{6}$

A)$2$

B)$1{,}6$

C)$1{,}6\sqrt3$

D)$2\sqrt3$

E)$\sqrt3$

Gabarito Oficial

C

Resolução

Alcance. Com $g=10\text{ m/s}^2$ (o enunciado não informa), a queda de $1{,}8\text{ m}$ leva $t=\sqrt{\dfrac{2\cdot1{,}8}{10}}=0{,}6\text{ s}$. O objeto toca a água a $x=5\sqrt3\cdot0{,}6=3\sqrt3\text{ m}$ do banhista, e depois afunda na vertical, até o fundo, sob esse ponto.

Raio visual. O banhista olha para baixo a $30^\circ$ com o horizonte (a $60^\circ$ com a vertical). O raio cruza a superfície a $\dfrac{1{,}8}{\tan30^\circ}=1{,}8\sqrt3\text{ m}$ dele. Dentro da água, o raio percorre, na horizontal, \[3\sqrt3-1{,}8\sqrt3=1{,}2\sqrt3\text{ m}.\]

Snell. $1\cdot\mathrm{sen}\,60^\circ=n\,\mathrm{sen}\,r\ \Rightarrow\ \mathrm{sen}\,r=\dfrac{\sqrt3/2}{5\sqrt3/6}=\dfrac35$, então $\cos r=\dfrac45$ e $\tan r=\dfrac34$. Profundidade. \[p=\frac{1{,}2\sqrt3}{\tan r}=\frac{1{,}2\sqrt3}{3/4}=1{,}6\sqrt3\text{ m}.\]

Cuidado, armadilha! O raio visual faz $30^\circ$ com o horizonte, e a lei de Snell exige o ângulo com a vertical (normal): $60^\circ$. Usar $30^\circ$ na lei de Snell leva a outro índice e a outra profundidade.

Q26

Eletricidade — Eletrodinâmica — Balança com Cabos de Resistência Variável

Dois cabos condutores presos ao teto nos pontos a e b sustentam a barra condutora cd; uma bateria é ligada entre os pontos a e d, e uma resistência R, entre a e b

O dispositivo apresentado na figura acima é composto por dois cabos condutores conectados a um teto nos pontos $a$ e $b$. Esses dois cabos sustentam uma barra condutora $cd$. Entre os pontos $a$ e $d$, está conectada uma bateria e, entre os pontos $a$ e $b$, está conectada uma resistência $R$. Quando não há objetos sobre a barra, a diferença de potencial $V_{cb}$ é $5\text{ V}$ e os cabos possuem comprimento e seção transversal iguais a $L_0$ e $S_0$, respectivamente. Quando um objeto é colocado sobre a barra, o comprimento dos cabos sofre um aumento de $10\%$ e a sua seção transversal sofre uma redução de $10\%$. Diante do exposto, o valor da tensão $V_{cb}$, em volts, após o objeto ser colocado na balança é aproximadamente

Dados:

Tensão da bateria: $V_{bat}=10\text{ V}$
Resistência da barra: $R_{barra}=1\text{ k}\Omega$
Resistência $R=1\text{ k}\Omega$

A)$2{,}0$

B)$2{,}7$

C)$3{,}5$

D)$4{,}2$

E)$5{,}0$

Gabarito Oficial

D

Resolução

Entre $a$ e $d$ (10 V) há dois ramos em paralelo, e $d$ é a referência ($0\text{ V}$):
• $a\to c\to d$: cabo $ac$ (resistência $r$) em série com a barra ($1\text{ k}\Omega$): $V_c=10\cdot\dfrac{1000}{r+1000}$.
• $a\to b\to d$: resistor $R$ ($1\text{ k}\Omega$) em série com o cabo $bd$ (resistência $r$): $V_b=10\cdot\dfrac{r}{1000+r}$.

Cabos descarregados. $V_{cb}=10\cdot\dfrac{1000-r}{1000+r}=5\ \Rightarrow\ 1000-r=500+0{,}5\,r\ \Rightarrow\ r=\dfrac{1000}3\approx333\ \Omega$.

Cabos esticados. Pela segunda lei de Ohm, $r\propto\dfrac LS$: \[r'=r\cdot\frac{1{,}1}{0{,}9}\approx407\ \Omega\quad\Rightarrow\quad V_{cb}=10\cdot\frac{1000-407}{1000+407}\approx4{,}2\text{ V}.\]

Cuidado, armadilha! A resistência cresce com o comprimento e com a redução da seção, e então o fator é $\dfrac{1{,}1}{0{,}9}=1{,}22$ (e não $1{,}1\cdot0{,}9$ nem $1{,}1$ apenas).

Q27

Ondulatória — Interferência — Lugar Geométrico da Interferência Construtiva

Considere duas fontes pontuais localizadas em $(0,-a/2)$ e $(0,a/2)$, sendo $\lambda$ o comprimento de onda e $a=\sqrt2\,\lambda$. Em coordenadas cartesianas, o lugar geométrico de todos os pontos onde ocorrem interferências construtivas de primeira ordem é

A)$\dfrac{y^2}2-x^2=\lambda^2$

B)$y^2-\dfrac{x^2}2=\lambda^2$

C)$y^2-2x^2=\lambda^2$

D)$y^2-x^2=\dfrac{\lambda^2}2$

E)$y^2-x^2=\dfrac{\lambda^2}4$

Gabarito Oficial

E

Resolução

Interferência construtiva de primeira ordem: $|r_1-r_2|=\lambda$. Esse lugar é uma hipérbole com focos nas fontes ($c=\dfrac a2=\dfrac{\sqrt2}2\lambda$) e eixo focal em $y$.

Parâmetros. Diferença de distâncias $=2A=\lambda\ \Rightarrow\ A=\dfrac\lambda2$. Então $B^2=c^2-A^2=\dfrac{\lambda^2}2-\dfrac{\lambda^2}4=\dfrac{\lambda^2}4$. A equação é \[\frac{y^2}{A^2}-\frac{x^2}{B^2}=1\ \Rightarrow\ \frac{y^2}{\lambda^2/4}-\frac{x^2}{\lambda^2/4}=1\ \Rightarrow\ y^2-x^2=\frac{\lambda^2}4.\]

Cuidado, armadilha! A diferença de distâncias vale $2A$ (e não $A$): o semi-eixo é $\lambda/2$. Tomar $A=\lambda$ levaria às alternativas A a C, que têm $\lambda^2$ no segundo membro.

Q28

Termologia — Transmissão de Calor — Condução e Dilatação Volumétrica

Objeto apoiado sobre uma placa de 30,0 cm de espessura, com a base aquecida a 195 graus Celsius e a superfície a 175 graus Celsius

Um objeto de $160\text{ g}$ de massa repousa, durante um minuto, sobre a superfície de uma placa de $30\text{ cm}$ de espessura e, ao final deste experimento, percebe-se que o volume do objeto é $1\%$ superior ao inicial. A base da placa é mantida em $195\ ^\circ\text{C}$ e nota-se que a sua superfície permanece em $175\ ^\circ\text{C}$. A fração de energia, em percentagem, efetivamente utilizada para deformar a peça é

Dados:

Condutividade térmica da placa: $50\ \dfrac{\text{W}}{\text{m}\ ^\circ\text{C}}$
Calor específico do objeto: $432\ \dfrac{\text{J}}{\text{kg}\ ^\circ\text{C}}$
Coeficiente de dilatação linear: $1{,}6\cdot10^{-5}\ ^\circ\text{C}^{-1}$
Área da placa: $0{,}6\text{ m}^2$

A)$4$

B)$12$

C)$18$

D)$36$

E)$60$

Gabarito Oficial

B

Resolução

Energia fornecida. Fluxo de calor pela placa (Fourier): \[P=\frac{k\,A\,\Delta T}{e}=\frac{50\cdot0{,}6\cdot20}{0{,}3}=2000\text{ W}\ \Rightarrow\ E=2000\cdot60=1{,}2\times10^{5}\text{ J}.\]

Aquecimento do objeto. $\dfrac{\Delta V}V=\gamma\,\Delta\theta=3\alpha\,\Delta\theta$: \[0{,}01=3\cdot1{,}6\times10^{-5}\,\Delta\theta\ \Rightarrow\ \Delta\theta=\frac{0{,}01}{4{,}8\times10^{-5}}\approx208\ ^\circ\text{C}.\] Energia absorvida: $Q=m\,c\,\Delta\theta=0{,}16\cdot432\cdot208\approx1{,}44\times10^{4}\text{ J}$.

Fração. \[\frac{1{,}44\times10^4}{1{,}2\times10^5}=0{,}12=12\%.\]

Cuidado, armadilha! O coeficiente dado é linear. A dilatação de volume usa $3\alpha$: usar $\alpha$ daria um $\Delta\theta$ três vezes maior e uma fração de $36\%$ (alternativa D).

Q29

Mecânica — Energia — Potência de um Gerador Eólico

Um gerador eólico de diâmetro $d$ é acionado por uma corrente de ar de velocidade $v$ durante um tempo $t$ na direção frontal à turbina. Sabendo-se que a massa específica do ar é $\rho$ e o rendimento do sistema é $\eta$, sua potência elétrica é dada por

A)$\dfrac{\pi\eta\rho d^2v^3}{2}$

B)$\dfrac{\pi\eta\rho d^2v^3}{4}$

C)$\dfrac{\pi\eta\rho d^2v^3}{8}$

D)$\dfrac{\pi\eta\rho d^3v^3}{10}$

E)$\dfrac{\pi\eta\rho d^3v^3}{12}$

Gabarito Oficial

C

Resolução

No tempo $t$, atravessa a turbina o ar de um cilindro de comprimento $v\,t$ e área $A=\dfrac{\pi d^2}4$: $m=\rho\,A\,v\,t=\dfrac{\pi\rho d^2vt}{4}$.

Potência. Energia cinética: $E_c=\dfrac12mv^2=\dfrac{\pi\rho d^2v^3t}{8}$. Dividindo por $t$ e aplicando o rendimento: \[P=\eta\,\frac{E_c}t=\frac{\pi\,\eta\,\rho\,d^2\,v^3}{8}.\]

Cuidado, armadilha! A área da turbina é $\dfrac{\pi d^2}4$ (e não $\pi d^2$), e é por isso que aparece o denominador $8=2\cdot4$.

Q30

Eletromagnetismo — Força Magnética — Carga Solta em Campos Elétrico, Magnético e Gravitacional

Bloco de massa m e carga q preso por uma mola OP, paralela ao eixo x, na origem O; o campo elétrico E aponta para baixo e para a esquerda, o campo magnético B e a gravidade g apontam para baixo (sentido negativo de y); o eixo z aponta para fora da página

A figura acima mostra um bloco de massa $m$ e carga $q$, preso a uma mola $\overline{OP}$ ideal, paralela ao eixo $x$ e de constante elástica $K$. O bloco encontra-se em equilíbrio estático, sob a ação de um campo elétrico uniforme $\vec E$, um campo magnético uniforme $\vec B$ e um campo gravitacional uniforme $\vec g$, todos no plano $xy$, conforme indicados na figura.

Se o bloco for desconectado da mola no ponto $P$, um observador posicionado no ponto $O$ verá o bloco descrever um movimento curvilíneo

A)paralelo ao plano $xz$, afastando-se.

B)no plano $xy$, mantendo fixo o centro de curvatura.

C)no plano $xy$, afastando-se.

D)no plano $xy$, aproximando-se

E)paralelo ao plano $xz$, aproximando-se.

Gabarito Oficial

A

Resolução

Equilíbrio inicial. A mola é horizontal, e então só pode equilibrar forças horizontais. Verticalmente, o peso (para baixo) e a componente vertical da força elétrica devem se anular, e então $q\vec E$ tem componente para cima: a carga é negativa (pois $\vec E$ aponta para baixo). A componente horizontal de $q\vec E$ aponta para a direita ($+x$) e é equilibrada pela mola.

Após soltar. O peso e a força elétrica se somam em uma força resultante constante, horizontal, para $+x$. O bloco parte do repouso e acelera ao longo de $x$. Com velocidade $\vec v$ em $x$ e $\vec B$ em $-y$, a força magnética $q\,\vec v\times\vec B$ é perpendicular a ambos, isto é, ao longo de $z$.

Trajetória. A força constante está em $x$ e $\vec B$ está em $y$, de modo que a força magnética é sempre perpendicular a $\vec B$ (fica no plano $xz$). A coordenada $y$ não varia: o movimento é paralelo ao plano $xz$. Ele é do tipo cicloidal, com deriva ao longo de $z$ ($\vec F\times\vec B$), e o bloco se afasta de $O$ ao longo de $z$.

Cuidado, armadilha! A força resultante não está no plano da figura depois que o bloco ganha velocidade: a força magnética, perpendicular a $\vec v$ e a $\vec B$, tira o bloco do plano $xy$. Por isso o movimento é paralelo a $xz$, e não a $xy$.