OBF 2000

Antes da explosão, a altura máxima de 20 m e o lançamento a 45° dão componentes iniciais de 20 m/s em cada direção. O projétil chega ao topo após 2 s, a 40 m do ponto de lançamento.

Durante a explosão, despreza-se o impulso externo. Por conservação do momento em cada eixo, com fragmentos de massas iguais:

$$2m(20)=m v_{Bx}$$

$$v_{Bx}=40\ \mathrm{m/s}$$

$$0=m(-30)+m v_{By}$$

$$v_{By}=30\ \mathrm{m/s}$$

a)

$$H_B=20+\frac{30^2}{2\times10}=65\ \mathrm m$$

b) Conte o tempo τ desde a explosão.

$$0=20+30\tau-5\tau^2$$

$$\tau=3+\sqrt{13}\approx6{,}606\ \mathrm s$$

$$x_B=40+40\tau$$

$$x_B\approx304{,}2\ \mathrm m$$

A distância é medida desde o lançamento; desde a vertical da explosão, seria aproximadamente 264,2 m.

a) Quando a resistência externa é nula, a corrente de curto-circuito determina a resistência interna da pilha.

$$r=\frac{\varepsilon}{I_{cc}}=\frac{1{,}5}{1}=1{,}5\ \Omega$$

A potência térmica dissipada internamente é máxima nessa situação.

$$P_{int,max}=rI_{cc}^2=1{,}5\ \mathrm W$$

b) Para resistência R do potenciômetro:

$$P_R=\frac{\varepsilon^2R}{(R+r)^2}$$

O máximo ocorre em R = r. Esse valor está dentro da faixa do potenciômetro, cujo máximo é 6 Ω a partir da corrente mínima de 0,2 A.

$$I=\frac{1{,}5}{1{,}5+1{,}5}=0{,}50\ \mathrm A$$

$$P_{R,max}=1{,}5(0{,}50)^2=0{,}375\ \mathrm W$$

A massa de 4 kg sobre a área de 1 cm² acrescenta aproximadamente 4 atm à pressão do gás.

$$P_B=P_{atm}+\frac{Mg}{A}\approx5\ \mathrm{atm}$$

Imediatamente após a compressão, B = (1,7 cm³; 5 atm), e o gás está a 510 K pelo modelo ideal.

Durante a espera com a massa mantida, o gás esfria sob pressão aproximadamente constante de 5 atm. Ao voltar a 300 K:

$$P_0V_0=P_CV_C$$

$$V_C=\frac{1\times5}{5}=1\ \mathrm{cm^3}$$

a) A retirada lenta da carga permite expansão aproximadamente isotérmica até a pressão atmosférica.

$$V_f=5\ \mathrm{cm^3}$$

b) No diagrama P–V: A = (5; 1), B = (1,7; 5), C = (1; 5), seguido de uma hipérbole de C a A, PV = 5 atm·cm³.

Como o gás retorna ao estado inicial, sua variação total de energia interna é nula. O calor líquido cedido ao ambiente é igual ao trabalho líquido realizado sobre o gás.

Para processos quase estáticos, esse trabalho pode ser obtido pela área orientada do ciclo. Na compressão rápida, deve-se usar o trabalho da pressão externa; os pontos extremos sozinhos não fornecem uma curva reversível P(V), e não se deve atribuir uma área exata sem essa hipótese.

a) Para a mesma composição gasosa à mesma pressão:

$$\rho=\frac{PM}{RT}$$

$$\rho_2=\rho_1\frac{T_1}{T_2}$$

$$\rho_2=1{,}2\frac{300}{400}=0{,}90\ \mathrm{kg/m^3}$$

b) No equilíbrio de flutuação, o empuxo sustenta o envelope de plástico e o ar quente dentro dele.

$$\rho_{frio}Vg=mg+\rho_{quente}Vg$$

$$V=\frac m{\rho_{frio}-\rho_{quente}}$$

$$V=\frac{0{,}600}{1{,}2-0{,}9}=2{,}0\ \mathrm{m^3}$$

Admite-se pressão interna aproximadamente igual à externa e massa do envelope igual aos 600 g fornecidos.

a) Usando a aproximação não relativística da prova e mp ≈ 1,7 × 10⁻²⁷ kg:

$$K=5\times10^6\times1{,}6\times10^{-19}=8\times10^{-13}\ \mathrm J$$

$$v=\sqrt{\frac{2K}{m_p}}\approx3{,}07\times10^7\ \mathrm{m/s}$$

A velocidade é cerca de um décimo da velocidade da luz; a correção relativística é pequena na precisão adotada.

b) Em colisão elástica frontal com alvo inicialmente em repouso, tomando mα = 4mp:

$$v_\alpha=\frac{2m_p}{m_p+m_\alpha}v=\frac25v$$

$$\frac{K_\alpha}{K}=\frac{4m_pm_\alpha}{(m_p+m_\alpha)^2}=\frac{16}{25}$$

$$K_\alpha=0{,}64\times5=3{,}2\ \mathrm{MeV}$$

$$K_\alpha=5{,}12\times10^{-13}\ \mathrm J$$

a) O tombamento começa quando a vertical do centro de massa atinge a quina inferior. Para a caixa cúbica, isso ocorre a 45°.

$$\tan\theta=\frac hd$$

Com d = 7,5 m indicado na figura, para não tombar:

$$h<7{,}5\ \mathrm m$$

Para começar a deslizar a partir do repouso, o peso tangencial também precisa superar o atrito estático:

$$\tan\theta>\mu=0{,}75$$

$$h>5{,}625\ \mathrm m$$

Assim, no modelo, a faixa de início de deslizamento sem tombamento é 5,625 m < h < 7,5 m; 7,5 m é o limite superior, não uma altura seguramente estável.

b) A massa é:

$$m=\rho V=2000\times1=2000\ \mathrm{kg}$$

Com comprimento inclinado L e projeção horizontal d:

$$E_{diss}=\mu mg\cos\theta\,L$$

$$E_{diss}=\mu mgd$$

$$E_{diss}=0{,}75\times2000\times10\times7{,}5=112500\ \mathrm J$$

Pela lei de Snell, com incidência de 45° e índice 1,42, o ângulo interno é aproximadamente 30°.

$$\sin r=\frac{\sin45^\circ}{1{,}42}\approx0{,}498$$

a) Para o raio que sofre uma reflexão interna e retorna à face de entrada, o percurso total dentro da lâmina de 2 cm é:

$$s=\frac{2a}{\cos r}\approx0{,}0462\ \mathrm m$$

$$v=\frac cn\approx2{,}11\times10^8\ \mathrm{m/s}$$

$$t=\frac sv\approx2{,}19\times10^{-10}\ \mathrm s$$

b) A separação dos pontos de emergência na face superior é:

$$AB=2a\tan r\approx2{,}30\ \mathrm{cm}$$

A separação perpendicular entre os raios emergentes é:

$$d=AB\sin45^\circ\approx1{,}63\ \mathrm{cm}$$

A reflexão interna a 30° não é total nessa interface; existe também um raio transmitido pela face inferior. A conta acompanha a parcela refletida representada na figura.

a) Adotando sistema sem perdas e 1 cal = 4,2 J, a energia fornecida é:

$$E=\frac{840\times15\times60}{4{,}2}=180000\ \mathrm{cal}$$

Ela aquece a água inicial, vaporiza 100 g e aquece o conjunto garrafa–resistência.

$$180000=1000\times1\times80+100\times540+80C$$

$$C=575\ \mathrm{cal/{}^\circ C}$$

b) Ao acrescentar 100 g de água a 20 °C, a água fria precisa receber:

$$Q=100\times1\times(100-20)=8000\ \mathrm{cal}$$

No balanço total até voltar a 100 °C, a água que já estava quente e o recipiente retornam à mesma temperatura; não há variação líquida de energia nesses componentes. Desprezando vaporização adicional:

$$t=\frac{8000\times4{,}2}{840}=40\ \mathrm s$$

Equivalentemente, a mistura inicialmente cai a aproximadamente 94,92 °C e o aquecimento posterior de todo o conjunto consome esses mesmos 8000 cal.