OBF 2001 — 2ª fase · 1ª e 2ª séries | Física resolvida

Q01

Movimento relativo — Ultrapassagem

Dois automóveis trafegam ao longo de uma estrada horizontal e retilínea. Sejam L e λ os comprimentos dos automóveis, com módulos das velocidades constantes respectivamente iguais a V e v. Na situação 1 (ver figura), os automóveis movem-se no mesmo sentido. Na situação 2, os automóveis movem-se em sentidos opostos. Supondo que V > v, calcule quanto tempo dura a passagem de um automóvel pelo outro:

a) na situação 1;

b) na situação 2.

$t_1=(L+\lambda)/(V-v)$; $t_2=(L+\lambda)/(V+v)$.

Resolução comentada · Método TEF

A passagem completa exige uma distância relativa igual à soma dos comprimentos.

$$d_{rel}=L+\lambda$$

a) No mesmo sentido, a rapidez relativa é a diferença das velocidades.

$$t_1=\frac{L+\lambda}{V-v}$$

b) Em sentidos opostos, as rapidez relativas se somam.

$$t_2=\frac{L+\lambda}{V+v}$$

Os tempos vão do primeiro alinhamento das extremidades à separação completa.

Q02

Movimento uniformemente variado — Lançamento vertical

Um estudante no topo de um edifício observa a trajetória de uma bolinha lançada verticalmente para cima no instante t = 0, a partir de um ponto localizado abaixo do topo. Medindo a posição a partir do topo, ele nota que a bolinha atinge a altura de 10 m quando t = 1 s, e 15 m quando t = 2 s. Despreze o atrito da bolinha com o ar.

a) Calcule o módulo da velocidade inicial da bolinha.

b) Calcule a distância total percorrida desde o início do lançamento até o instante em que a bolinha atinge a altura máxima.

a) 20 m/s; b) 20 m.

Resolução comentada · Método TEF

Adote o topo como origem, para cima positivo e g = 10 m/s².

$$y(t)=y_0+v_0t-5t^2$$

As duas observações fornecem:

$$y_0+v_0=15$$

$$y_0+2v_0=35$$

$$v_0=20\ \mathrm{m/s}$$

$$y_0=-5\ \mathrm m$$

b) A distância de subida parte do lançamento, e não do topo do edifício. No ápice a velocidade é zero.

$$0=v_0^2-2g\Delta h$$

$$\Delta h=\frac{20^2}{20}=20\ \mathrm m$$

Q03

Lançamento oblíquo — Alcance e rampa

Um motociclista pretende saltar sobre um conjunto de automóveis enfileirados. As rampas de salto e de descida têm a mesma altura, comprimento 50 m e inclinação de 15° com a horizontal. A frente de cada automóvel de comprimento 5 m está encostada à traseira do automóvel seguinte. Despreze a resistência do ar.

a) Calcule quantos automóveis o motociclista conseguirá saltar se sua velocidade inicial na base da rampa for 30 m/s e sua aceleração constante ao longo da rampa for 1 m/s2.

b) Calcule qual deverá ser a sua aceleração constante ao longo da rampa se, para realizar um salto igual ao anterior, a sua velocidade inicial na base da rampa for 25 m/s.

a) 10 automóveis; b) 3,75 m/s².

Resolução comentada · Método TEF

a) Calcule a velocidade na saída dos 50 m de rampa.

$$v_s^2=30^2+2(1)(50)=1000\ \mathrm{m^2/s^2}$$

Como a chegada ocorre à mesma altura do lançamento:

$$R=\frac{v_s^2\sin(2\cdot15^\circ)}g$$

$$R=\frac{1000(0{,}5)}{10}=50\ \mathrm m$$

$$N=\frac{50}{5}=10\ \text{automóveis}$$

b) O mesmo alcance e o mesmo ângulo exigem a mesma velocidade de saída.

$$1000=25^2+2a(50)$$

$$a=3{,}75\ \mathrm{m/s^2}$$

Q04

Movimento relativo — Chuva observada do carro

Um estudante dentro de um carro parado observa a chuva cair fazendo um ângulo de 30° com a vertical. Com o carro em movimento retilíneo e uniforme contra a chuva a uma velocidade de 40 km/h, o estudante nota que o ângulo de inclinação da chuva com a vertical aumenta para 60°. Calcule os módulos da:

a) velocidade da chuva em relação ao solo;

b) velocidade da chuva em relação ao carro.

a) 40 km/h; b) $40\sqrt3$ km/h.

Resolução comentada · Método TEF

Sejam u e w os módulos das componentes horizontal e vertical da chuva no solo, em km/h. O carro se move contra a chuva.

$$\frac uw=\tan30^\circ=\frac1{\sqrt3}$$

$$\frac{u+40}w=\tan60^\circ=\sqrt3$$

Subtraia as relações.

$$\frac{40}w=\frac2{\sqrt3}$$

$$w=20\sqrt3\ \mathrm{km/h}$$

$$u=20\ \mathrm{km/h}$$

a) No solo:

$$v_{solo}=\sqrt{20^2+(20\sqrt3)^2}=40\ \mathrm{km/h}$$

b) No carro, a componente horizontal tem módulo 60 km/h.

$$v_{carro}=\sqrt{60^2+(20\sqrt3)^2}=40\sqrt3\ \mathrm{km/h}$$

Q05

Movimento circular — Velocidades médias

Uma haste fina e retilínea tem uma de suas extremidades pivotada em um suporte montado sobre uma superfície horizontal, como ilustrado na figura a seguir. A haste encontra-se inicialmente em repouso, com o seu comprimento ao longo da direção vertical. No instante t = 0, a haste tomba em direção à superfície, atingindo-a após t = 1,5 s.

a) Calcule o valor da velocidade angular média da haste durante sua queda até a superfície.

b) Estime o comprimento da haste, sabendo que a sua extremidade livre cai com velocidade escalar média de $\pi/12\ \mathrm{m/s}$.

Diagrama da questão 5: Velocidades médias

a) $\pi/3$ rad/s, em módulo; b) 0,25 m.

Resolução comentada · Método TEF

a) A haste gira um quarto de volta em 1,5 s.

$$|\omega_m|=\frac{\pi/2}{1{,}5}=\frac\pi3\ \mathrm{rad/s}$$

b) A extremidade percorre um arco de raio L e abertura π/2.

$$s=\frac{\pi L}{2}$$

$$v_m=\frac{s}{1{,}5}=\frac{\pi L}{3}$$

Usando a velocidade escalar média dada:

$$\frac{\pi L}{3}=\frac\pi{12}$$

$$L=0{,}25\ \mathrm m$$

Não é necessário supor rotação uniforme durante a queda.

Q06

Movimento circular uniformemente variado — Componentes da aceleração

A equação horária para a posição angular (em radianos) em função do tempo t (em segundos) de uma partícula que executa um movimento circular, de raio igual a 1 m, é dada por:

$$\theta(t)=1-2t+t^2$$

No instante t = 1 s calcule:

a) o módulo da aceleração centrípeta da partícula;

b) o módulo da aceleração tangencial da partícula.

a) Zero; b) 2 m/s².

Resolução comentada · Método TEF

Compare a função dada com a equação do movimento circular uniformemente variado, sem derivadas.

$$\theta=\theta_0+\omega_0t+\frac12\alpha t^2$$

$$\omega_0=-2\ \mathrm{rad/s}$$

$$\alpha=2\ \mathrm{rad/s^2}$$

No instante solicitado:

$$\omega(1)=-2+2(1)=0$$

$$a_c=\omega^2R=0$$

$$a_t=|\alpha|R=2\ \mathrm{m/s^2}$$

A partícula inverte o sentido da rotação: a velocidade é nula, mas a aceleração tangencial não.

Q07

Leis de Newton — Atrito em plano inclinado

Um bloco de massa m = 1 kg é puxado para cima, ao longo de um plano inclinado, sob efeito de uma força F

paralela ao plano e de módulo constante e igual a 8 N (ver figura). O movimento de subida é realizado com velocidade constante. Quando a força F

deixa de ser aplicada, o bloco desce o plano com aceleração constante. Calcule:

a) a força de atrito durante a subida (indique claramente o módulo, a direção e o sentido);

b) a aceleração do bloco durante a descida (indique claramente o módulo, a direção e o sentido).

Diagrama da questão 7: Atrito em plano inclinado

a) Atrito de 3 N para baixo do plano; b) aceleração de 2 m/s² para baixo do plano.

Resolução comentada · Método TEF

a) Na subida uniforme, a resultante paralela ao plano é nula.

$$P_{\parallel}=mg\sin30^\circ=5\ \mathrm N$$

$$f=8-5=3\ \mathrm N$$

O atrito é paralelo ao plano e aponta para baixo na subida.

b) Para o mesmo coeficiente de atrito cinético, a normal e o módulo do atrito não mudam. Na descida o atrito aponta para cima.

$$ma=5-3$$

$$a=2\ \mathrm{m/s^2}$$

A aceleração é paralela ao plano, para baixo. A transição entre os movimentos não é necessária para os resultados.

Q08

Sistemas de corpos — Polia e perda de contato

A figura a seguir mostra dois blocos de massas m1 = 1 kg e m2 = 2 kg, ligados por um fio ideal (inextensível e de massa desprezível) a uma polia também ideal (de massa desprezível e que não oferece resistência à passagem do fio). Uma força vertical de módulo constante F e sentido para cima é aplicada na polia. Determine os módulos da força normal atuando no bloco 2 e da aceleração do bloco 1 quando:

a) F = 30 N;

b) F = 50 N.

Diagrama da questão 8: Polia e perda de contato

a) Normal 5 N e aceleração 5 m/s² para cima; b) normal zero e aceleração 15 m/s² para cima.

Resolução comentada · Método TEF

A polia sem massa exige equilíbrio das forças aplicadas nela.

$$F=2T$$

Para o bloco 1, positivo para cima:

$$a_1=\frac{T-m_1g}{m_1}$$

Se o bloco 2 permanecer apoiado:

$$N_2=m_2g-T$$

a) Com F = 30 N:

$$T=15\ \mathrm N$$

$$N_2=20-15=5\ \mathrm N$$

$$a_1=15-10=5\ \mathrm{m/s^2}$$

b) Com F = 50 N:

$$T=25\ \mathrm N$$

A expressão de contato daria normal negativa. O apoio não pode puxar o bloco: ele perde contato.

$$N_2=0$$

$$a_1=25-10=15\ \mathrm{m/s^2}$$

As duas acelerações do bloco 1 apontam para cima.

Q09

Equilíbrio de corpos — Atrito limite e polia

Dois blocos A e B, de mesmo material e massas respectivamente iguais a mA = 3 kg e mB = 5 kg, estão sobre superfícies horizontais idênticas, como indicado na figura a seguir. O coeficiente de atrito estático entre os blocos e as superfícies é $\mu_E=\sqrt3/3$. Os blocos são ligados por um fio ideal que passa por uma polia também ideal. Sobre o bloco A atua uma força horizontal F

de intensidade constante porém desconhecida.

O fio é conectado ao bloco B, fazendo um ângulo $\theta=60^\circ$ com a direção de aplicação da força F. Considerando que ambos os blocos estão na iminência de movimento, calcule:

a) Os módulos das reações normais sobre A e B.

b) A força resultante que o fio exerce na polia: módulo, direção e sentido. Indique o ângulo com a linha tracejada, medido a partir desta no sentido horário.

Diagrama da questão 9: Atrito limite e polia

a) 30 N e 25 N; b) $50\sqrt3/3$ N, a 120° no sentido horário da horizontal para a direita.

Resolução comentada · Método TEF

a) No bloco A, o fio é horizontal.

$$N_A=m_Ag=30\ \mathrm N$$

No bloco B, a tração reduz a normal. Na iminência de movimento:

$$N_B=50-T\sin60^\circ$$

$$T\cos60^\circ=\mu_E N_B$$

Substituindo:

$$N_B=\frac{50}{1+\mu_E\tan60^\circ}=25\ \mathrm N$$

$$T=\frac{(\sqrt3/3)(25)}{1/2}=\frac{50\sqrt3}{3}\ \mathrm N$$

b) Escolha x para a direita e y para baixo. Os dois ramos puxam a polia para a esquerda e para baixo/direita.

$$F_x=-T+T\cos60^\circ=-\frac T2$$

$$F_y=T\sin60^\circ=\frac{\sqrt3T}{2}$$

$$|F_{polia}|=T=\frac{50\sqrt3}{3}\ \mathrm N$$

A resultante aponta para baixo e para a esquerda: 120° no sentido horário a partir da horizontal tracejada para a direita.

Q10

Energia potencial elástica — Trabalho em trajetórias distintas

Um bloco de massa m encontra-se sobre uma superfície horizontal sem atrito, ligado a uma mola ideal de constante elástica k (ver figura). Sabe-se que, quando o bloco está localizado no ponto A, a mola não está deformada, tendo comprimento L. Através da aplicação de uma força externa, o bloco desloca-se primeiramente de A para B, ao longo de um segmento de reta, e posteriormente de B para C, ao longo de um arco de circunferência de raio R. Calcule o trabalho realizado pela força elástica da mola:

a) no trajeto de A para B;

b) no trajeto de B para C, sabendo que o deslocamento angular é $\theta$. Considere que a mola exerce força somente na direção radial.

Diagrama da questão 10: Trabalho em trajetórias distintas

a) $-k(R-L)^2/2$; b) zero.

Resolução comentada · Método TEF

a) A mola tem comprimento natural L em A e comprimento R em B. A deformação final é R − L.

$$W_{A\to B}=U_A-U_B$$

$$W_{A\to B}=-\frac12k(R-L)^2$$

b) De B a C o raio é constante. A força radial é perpendicular ao deslocamento tangencial.

$$W_{B\to C}=0$$

O mesmo resultado decorre da deformação constante e, portanto, da energia potencial elástica constante no arco.

Q11

Movimento circular vertical — Retorno e reação do aro

Uma pequena esfera perfurada de massa m pode deslizar, sem atrito, ao longo de um aro de raio R mantido fixo no plano vertical (ver figura). Suponha que a energia mecânica da esfera, medida em relação ao ponto mais baixo do aro, vale 1,5mgR, onde g é o módulo da aceleração da gravidade. Despreze a resistência do ar.

a) Calcule o módulo da aceleração tangencial da esfera quando ela atinge o ponto mais alto de sua trajetória.

b) Calcule a força normal exercida pelo aro sobre a esfera quando ela atinge o ponto mais alto de sua trajetória (indique claramente o módulo, a direção e o sentido).

Diagrama da questão 11: Retorno e reação do aro

a) $\sqrt3g/2$; b) $mg/2$, radial e para fora do aro.

Resolução comentada · Método TEF

A energia não permite chegar ao topo geométrico do aro, de altura 2R. No ponto mais alto atingido a velocidade é zero.

$$mgh_{max}=1{,}5mgR$$

$$h_{max}=\frac{3R}{2}$$

Se φ é o ângulo do raio com a vertical para cima:

$$R+R\cos\varphi=\frac{3R}{2}$$

$$\varphi=60^\circ$$

a) O peso fornece a componente tangencial.

$$a_t=g\sin60^\circ=\frac{\sqrt3}{2}g$$

b) Nesse instante a aceleração radial é zero. A componente radial do peso aponta para o centro e deve ser anulada pela normal.

$$N=mg\cos60^\circ=\frac{mg}{2}$$

A normal é radial e aponta para fora do aro, a 60° da vertical para cima. O vínculo da esfera perfurada permite essa reação para fora.

Q12

Impulso e quantidade de movimento — Colisão com o solo

Uma bolinha de borracha de massa 0,1 kg cai em queda livre, a partir do repouso, de uma altura de 12,8 m. Após a primeira colisão com o solo, cuja duração é 0,2 s, a bolinha sobe verticalmente e atinge uma altura máxima de 9,8 m. Despreze a resistência do ar.

a) Calcule a quantidade de movimento (momento linear) da bolinha imediatamente antes e depois da colisão (indique claramente o módulo, a direção e o sentido em cada caso). Houve conservação da quantidade de movimento? Explique sua resposta.

b) Calcule a força média que o solo exerce sobre a bolinha durante a colisão (indique claramente o módulo, a direção e o sentido).

a) Momento 1,6 kg·m/s para baixo e 1,4 kg·m/s para cima; b) 16 N para cima.

Resolução comentada · Método TEF

a) Os módulos das velocidades vêm das alturas.

$$v_i=\sqrt{2(10)(12{,}8)}=16\ \mathrm{m/s}$$

$$v_f=\sqrt{2(10)(9{,}8)}=14\ \mathrm{m/s}$$

Escolha para cima como positivo.

$$p_i=-0{,}1(16)=-1{,}6\ \mathrm{kg\,m/s}$$

$$p_f=0{,}1(14)=1{,}4\ \mathrm{kg\,m/s}$$

O momento da bolinha não se conserva: solo e peso exercem impulso externo. Antes aponta para baixo, depois para cima.

b) A força de contato deve incluir a contribuição necessária para compensar o peso.

$$(\overline N-mg)\Delta t=p_f-p_i$$

$$\overline N=\frac{1{,}4-(-1{,}6)}{0{,}2}+1=16\ \mathrm N$$

A força média do solo é vertical para cima.

Q13

Pressão em líquidos — Forças em uma garrafa

Uma garrafa sem tampa é cheia até o topo do gargalo com água (ver figura). O corpo cilíndrico da garrafa tem altura 20 cm e área de seção transversal 100 cm2. O gargalo também cilíndrico tem altura 5 cm e área de seção transversal 20 cm2. Nos itens abaixo, não incluir a contribuição da pressão atmosférica.

a) Determine o módulo da força resultante que a água exerce sobre a base da garrafa.

b) Determine o módulo da força resultante que a água exerce sobre a superfície S da garrafa (área hachuriada da figura).

Diagrama da questão 13: Forças em uma garrafa

a) 25 N; b) 4 N.

Resolução comentada · Método TEF

Use só pressão manométrica, conforme pedido, e ρ = 1000 kg/m³.

a) A base está 0,25 m abaixo da superfície livre e tem área 0,010 m².

$$p_b=1000(10)(0{,}25)=2500\ \mathrm{Pa}$$

$$F_b=p_bA_b=2500(0{,}010)=25\ \mathrm N$$

A água empurra a base para baixo.

b) A superfície S está 0,05 m abaixo da superfície livre. Sua área é anular.

$$A_S=(100-20)\ \mathrm{cm^2}=0{,}008\ \mathrm{m^2}$$

$$p_S=1000(10)(0{,}05)=500\ \mathrm{Pa}$$

$$F_S=500(0{,}008)=4\ \mathrm N$$

A água empurra S para cima. A diferença entre 25 N e 4 N coincide com o peso dos 2,1 litros de água.

Q14

Calorimetria — Energia mecânica convertida em calor

Em tempos de economia de energia elétrica, um estudante tem a seguinte idéia para esquentar a água de seu banho. A caixa d’água de sua casa tem forma cúbica, com volume de 1 m3, e encontra-se cheia de água. O estudante imagina então soltar do repouso, a partir da superfície da água, esferas de massa 1 kg cada. A energia dissipada devido à viscosidade da água e à colisão das esferas com o fundo da caixa d’água pode, em princípio, elevar a temperatura da água. Suponha que toda a energia dissipada seja transferida para a água na forma de calor e que não haja perdas térmicas nesse processo. Considere ainda as esferas puntiformes e despreze o calor absorvido por elas.

a) Calcule quantas esferas o estudante deverá soltar a fim de elevar em 1 °C a temperatura da água.

b) Se o estudante soltar as esferas à taxa de uma esfera por segundo, calcule a ordem de grandeza do número de horas que ele levará nesse processo.

a) $4{,}2\times10^5$ esferas; b) cerca de 117 h, ordem $10^2$ h.

Resolução comentada · Método TEF

A caixa cúbica tem profundidade de 1 m e contém 1000 kg de água. Use o calor específico dado na prova.

$$Q=Mc\Delta T=1000(4200)(1)=4{,}2\times10^6\ \mathrm J$$

Cada esfera libera sua energia gravitacional até o fundo, no modelo proposto.

$$E_{esfera}=mgh=1(10)(1)=10\ \mathrm J$$

a) O número de esferas é:

$$N=\frac Q{E_{esfera}}=4{,}2\times10^5$$

b) A uma esfera por segundo:

$$t=4{,}2\times10^5\ \mathrm s$$

$$t=\frac{4{,}2\times10^5}{3600}\ \mathrm h\approx117\ \mathrm h$$

A ordem de grandeza é 10² horas. O resultado segue as idealizações de esferas puntiformes e transferência integral da energia para a água.

Q15

Máquinas térmicas — Rendimento e entropia

Uma usina geotérmica utiliza vapor proveniente do interior da Terra a uma temperatura de 127 °C e água para resfriamento a 27 °C. Em um ciclo de funcionamento da usina, parte deste calor é aproveitada sob a forma de energia elétrica (trabalho), enquanto que parte é rejeitada para a fonte fria (sistema de resfriamento por água).

a) Calcule o rendimento máximo (eficiência máxima) que tal usina poderia alcançar.

b) Considere que o rendimento real seja de 20% e que a usina gere $3\times10^6\ \mathrm J$ de energia elétrica em um ciclo de funcionamento. Supondo que a Terra e o sistema de resfriamento sejam reservatórios arbitrariamente grandes de calor, de modo que suas respectivas temperaturas se mantêm constantes durante o ciclo, calcule a variação da entropia total (usina mais fontes quente e fria) por ciclo.

a) 25%; b) 2500 J/K por ciclo.

Resolução comentada · Método TEF

a) Converta as temperaturas para kelvin.

$$T_q=400\ \mathrm K$$

$$T_f=300\ \mathrm K$$

$$\eta_{max}=1-\frac{300}{400}=25\%$$

b) No ciclo real, o trabalho corresponde a 20% do calor retirado da fonte quente.

$$Q_q=\frac{3\times10^6}{0{,}20}=15\times10^6\ \mathrm J$$

$$Q_f=Q_q-W=12\times10^6\ \mathrm J$$

A substância de trabalho retorna ao estado inicial e sua variação de entropia no ciclo é zero. Para os reservatórios:

$$\Delta S_q=-\frac{15\times10^6}{400}=-37500\ \mathrm{J/K}$$

$$\Delta S_f=\frac{12\times10^6}{300}=40000\ \mathrm{J/K}$$

$$\Delta S_{total}=2500\ \mathrm{J/K}$$

O valor positivo é compatível com a irreversibilidade do ciclo real.

Q16

Refração — Desvio angular e velocidade

Um raio de luz monocromática incide sobre uma superfície plana S que separa os meios 1 e 2, de índices de refração respectivamente iguais a n1 = 1 e n2 = $\sqrt2$. Inicialmente, o raio faz um ângulo de 45º com a superfície S, conforme ilustrado na figura abaixo.

a) Calcule o ângulo de desvio, em relação à direção do raio incidente, sofrido pelo raio de luz ao passar do meio 1 para o meio 2.

b) Calcule o valor da razão v1/v2 entre as velocidades de propagação da luz nos meios 1 e 2.

Diagrama da questão 16: Desvio angular e velocidade

a) 15°; b) $v_1/v_2=\sqrt2$.

Resolução comentada · Método TEF

a) O ângulo dado é com a superfície; por complementaridade, a incidência também é 45°.

$$n_1\sin i=n_2\sin r$$

$$\sin r=\frac{\sin45^\circ}{\sqrt2}=\frac12$$

$$r=30^\circ$$

$$\delta=i-r=15^\circ$$

b) A velocidade é inversamente proporcional ao índice.

$$\frac{v_1}{v_2}=\frac{n_2}{n_1}=\sqrt2$$

O raio se aproxima da normal no meio de maior índice.

Dados da prova