OBF 2003 — 2ª fase · 3ª série | Física resolvida

Q01

Potência — Travessia de barco com correnteza

Um barco a motor, ao atravessar um rio cuja velocidade da correnteza é V2 = 8,0 km/h e largura L = 720 m, chegou à margem oposta em um ponto situado a uma distância d = 160 m abaixo do ponto de partida, como mostra a figura abaixo. Durante toda a travessia a velocidade do barco, V1, manteve-se constante e dirigida sempre perpendicularmente à correnteza do rio e o motor desenvolveu uma força constante igual a 1,47 × 10³ N, na direção de V1. Calcule a potência, P, desenvolvida pelo motor durante a travessia do rio.

Travessia transversal do rio de largura L; velocidade V₁ perpendicular à corrente V₂; deriva d no sentido da corrente.

Resposta TEF: 14,7 kW.

Resolução comentada · Método TEF

O deslocamento rio abaixo determina o tempo de travessia.

$$v_{rio}=\frac8{3{,}6}=\frac{20}{9}\ \mathrm{m/s}$$

$$t=\frac{160}{20/9}=72\ \mathrm s$$

$$v_1=\frac{720}{72}=10\ \mathrm{m/s}$$

Como a força motriz é perpendicular à correnteza, somente a componente v₁ contribui para sua potência.

$$P=\vec F\cdot\vec v=1470(10)=14700\ \mathrm W$$

Usar o módulo da velocidade diagonal multiplicado pela força superestima a potência.

Q02

Movimento circular — Trações em cadeia radial

Um garoto gira três bolas amarradas entre si por cordas de 1 m de comprimento, num plano horizontal, conforme indicado na figura abaixo. Todas as bolas são iguais e têm uma massa de 0,10 kg. Responda às seguintes questões:

a) Quando a bola 3, da extremidade, estiver se movendo com uma velocidade de 6,0 m/s, quais serão as trações nas três cordas?

b) Girando as bolas mais rápido, que corda romperá primeiro, supondo que todas as cordas são iguais? Justifique sua resposta.

Três bolas em linha radial no plano horizontal, separadas por cordas de 1 m; raios orbitais de 1, 2 e 3 m.

Resposta TEF: a) T₁ = 2,4 N; T₂ = 2,0 N; T₃ = 1,2 N. b) Rompe primeiro a corda junto ao centro.

Resolução comentada · Método TEF

As bolas têm a mesma velocidade angular.

$$\omega=\frac{6}{3}=2\ \mathrm{rad/s}$$

Comece pela bola externa e some a força centrípeta exigida por cada bola.

$$T_3=0{,}10(2)^2(3)=1{,}2\ \mathrm N$$

$$T_2=T_3+0{,}10(2)^2(2)=2{,}0\ \mathrm N$$

$$T_1=T_2+0{,}10(2)^2(1)=2{,}4\ \mathrm N$$

A corda junto à mão suporta a maior tração e rompe primeiro se todas tiverem a mesma resistência.

Q03

Equilíbrio de escada — Momentos e reações de apoio

Uma escada, com comprimento de 3,60 m e massa 40 kg, está encostada numa parede com atrito desprezível, apoiada no chão onde o atrito não pode ser considerado desprezível (veja o esquema da figura a seguir). A escada faz um ângulo de 30° em relação ao chão. Um pintor, com massa igual a 70 kg, está de pé na escada a 3,0 m da extremidade inferior. Sabendo que o sistema está em equilíbrio, determine:

a) a força normal que a parede exerce sobre a escada;

b) a força normal que o chão exerce sobre a escada;

c) a força de atrito entre a escada e o chão.

Escada de 3,60 m apoiada no solo e em parede vertical sem atrito, com pintor próximo ao extremo superior.

Resposta TEF: a) Aproximadamente 1,36 × 10³ N. b) 1100 N. c) Aproximadamente 1,36 × 10³ N.

Resolução comentada · Método TEF

Tome momentos em relação à base, eliminando as forças do chão.

$$N_p(3{,}6)(0{,}50)=400(1{,}8)(0{,}87)+700(3)(0{,}87)$$

$$N_p=1363\ \mathrm N\ \text{aproximadamente}$$

Na direção vertical, a parede sem atrito não sustenta peso.

$$N_c=(40+70)10=1100\ \mathrm N$$

Na horizontal, o atrito equilibra a força da parede.

$$f=N_p\approx1363\ \mathrm N$$

O equilíbrio pressupõe coeficiente de atrito estático pelo menos igual a f/Nc, aproximadamente 1,24.

Q04

Atrito limite — Tração cervical com força inclinada

Em uma sessão de fisioterapia, foi realizada uma tração na região cervical (região do pescoço) de um paciente, utilizando-se um bloco de peso P, dependurado por uma corda, como mostra a figura abaixo. Neste procedimento o paciente permanece imóvel porque o peso de seu tronco é muito maior que o peso da cabeça. Determine o valor mínimo de P, a partir do qual a tração é transmitida para a região do pescoço, considerando que a cabeça do paciente tem peso de 40 N, e que o coeficiente de atrito estático entre a superfície de apoio e a cabeça seja igual a 0,20.

Cabeça apoiada em superfície horizontal; fio preso à cabeça sobe a 15° até uma polia e sustenta bloco de peso P.

Resposta TEF: Aproximadamente 7,9 N, arredondado para 8,0 N no comentário oficial.

Resolução comentada · Método TEF

A tração no fio vale P. Sua componente vertical alivia o apoio da cabeça.

$$N=40-P\sin15^\circ$$

Na iminência de vencer o atrito:

$$P\cos15^\circ=\mu N$$

$$P=\frac{0{,}20(40)}{0{,}96+0{,}20(0{,}26)}$$

$$P\approx7{,}91\ \mathrm N$$

Arredondando conforme o comentário oficial, o limiar é aproximadamente 8 N. Acima dele, o modelo exige reação do pescoço para manter a cabeça imóvel.

Q05

Lente e espelho — Formação sucessiva de três imagens

Um objeto iluminado é colocado a uma distância s = 1 m de uma lente convergente de foco f = 0,5 m. Um espelho plano é colocado perpendicularmente em relação ao eixo óptico da lente e a 2 m desta, no lado oposto ao do objeto.

a) Quantas imagens serão formadas neste sistema?

b) Determine as características de cada imagem: real ou virtual, direita ou invertida.

c) Faça um esboço do esquema mostrando as imagens formadas neste sistema.

Resposta TEF: Três imagens: I₁ real e invertida em x = 1 m; I₂ virtual e invertida em x = 3 m; I₃ real e direita em x = −0,60 m.

Resolução comentada · Método TEF

Fixe a lente em x = 0, o objeto em x = −1 m e o espelho em x = 2 m. A primeira passagem pela lente fornece:

$$\frac1{0{,}5}=\frac11+\frac1{p'_1}$$

$$p'_1=1\ \mathrm m$$

A primeira imagem é real, invertida e de mesmo tamanho, em x = 1 m. O espelho forma sua imagem virtual em x = 3 m, mantendo a orientação invertida em relação ao objeto original.

No retorno, a lente recebe raios que parecem vir de x = 3 m.

$$\frac1{p'_3}=\frac1{0{,}5}-\frac13=\frac53$$

$$p'_3=0{,}60\ \mathrm m$$

A terceira imagem é real, à esquerda da lente (x = −0,60 m), direita e com um quinto da altura do objeto. A sequência de posições é: objeto −1; terceira imagem −0,6; lente 0; primeira imagem 1; espelho 2; segunda imagem 3, em metros.

Esquema das três imagens: objeto em −1 m; I₁ real e invertida em +1 m; I₂ virtual e invertida em +3 m; I₃ real, direita e reduzida em −0,6 m. — Esboço da resolução · Método TEF

Q06

Calorimetria — Aquecimento de quarto com eficiência

Um aquecedor elétrico de potência 1 kW é utilizado para aquecer um quarto de dimensões 4 x 5 x 2,5 m. Assumindo-se que a eficiência de aquecimento do ar no quarto seja de 75%, e que a capacidade térmica do ar é Car = 1500 J m⁻³ °C-1, quanto tempo será necessário para aquecer o quarto, partindo da temperatura t1 = 10 °C até a temperatura t2 = 20 °C?

Resposta TEF: 1000 s, aproximadamente 16,7 minutos.

Resolução comentada · Método TEF

A capacidade térmica foi fornecida por unidade de volume.

$$V=4(5)(2{,}5)=50\ \mathrm{m^3}$$

$$Q=VC_{ar}\Delta T=50(1500)(20-10)=750000\ \mathrm J$$

$$P_{util}=0{,}75(1000)=750\ \mathrm W$$

$$t=\frac{Q}{P_{util}}=1000\ \mathrm s$$

$$t\approx16{,}7\ \mathrm{min}$$

Usar a potência nominal inteira ignoraria as perdas já resumidas na eficiência.

Q07

Circuitos resistivos — Localização de derivação com dados incompatíveis

Um esquadrão militar, num campo de combate, utiliza um telefone convencional, ligado por um par de fios, para enviar informações à base de comando, situada a 5 km do local. Os fios que conectam o telefone à base, têm um valor de resistência/comprimento equivalente a r = 6 Ω km⁻¹ e o aparelho, resistência RT = 576 Ω. O inimigo descobre os fios num ponto entre a base e a posição do esquadrão no campo, e tentam decifrar as informações que são transmitidas, conectando um aparelho entre os fios. Os engenheiros militares da base de comando descobrem que algo está errado e tentam descobrir o problema. Para isto, enviam uma mensagem para que o esquadrão de soldados no campo proceda da seguinte forma: i) mantenha o telefone conectado para que seja medido o valor da resistência do circuito. Neste procedimento os engenheiros obtêm um valor Rc = 120 Ω; ii) no procedimento seguinte o telefone é desconectado, e a resistência medida têm um valor de Rd = 150 Ω. Determine:

a) a distância a partir da base de comando onde está localizado o aparelho inimigo;

b) a resistência do aparelho utilizado pelo inimigo.

Resposta TEF: Não há solução física com os dados publicados; o gabarito oficial reconhece a incompatibilidade.

Resolução comentada · Método TEF

A banca informou falha nos dados e atribuiu pontuação pela montagem das equações. Não há distância e resistência fisicamente válidas a publicar como resposta numérica.

Se x é a distância da base à derivação e Rₛ a resistência inimiga, o par de fios até a derivação tem resistência 12x, com x em quilômetros.

$$150=12x+R_s$$

O ramo até o telefone militar tem resistência:

$$R_b=576+12(5-x)=636-12x$$

Com o telefone conectado:

$$120=12x+\frac{R_sR_b}{R_s+R_b}$$

Defina A = 12x. Substituindo Rₛ = 150 − A e Rb = 636 − A:

$$(150-A)^2=30(786-2A)$$

$$A^2-240A-1080=0$$

$$A=120\pm\sqrt{15480}$$

As raízes são aproximadamente −4,42 Ω e 244,42 Ω, ambas fora do intervalo físico 0 ≤ A ≤ 60 Ω. Logo, os dados não permitem localizar uma derivação entre a base e o esquadrão. O comentário oficial reconhece essa falha e pontua a formulação.

Q08

Interferência em película — Espessuras de máximo e mínimo

Uma fina película de óleo de índice de refração n = 1,25 está sobre uma superfície perfeitamente refletora. Uma luz monocromática de comprimento de onda λ (no ar) incide normalmente sobre a película.

a) Em termos do comprimento de onda da luz, quais as espessuras mínimas da película de óleo para que a reflexão da luz tenha valores máximo e mínimo;

b) Qual é o fenômeno ondulatório que está relacionado com as características da luz refletida pela película de óleo?

Resposta TEF: No modelo oficial: máximo positivo em 2λ/5 e mínimo em λ/5; fenômeno de interferência.

Resolução comentada · Método TEF

A resolução segue a condição de fase do refletor adotada pelo comentário oficial. O máximo em espessura nula é excluído ao pedir a primeira espessura positiva.

No modelo do comentário oficial, as duas reflexões têm o mesmo salto de fase, que se cancela na diferença. A diferença de caminho óptico é 2ne.

$$\Delta\phi=\frac{4\pi ne}{\lambda}$$

O primeiro máximo para espessura positiva ocorre com Δφ = 2π.

$$e_{max}=\frac{\lambda}{2n}=\frac{2\lambda}{5}$$

O primeiro mínimo ocorre com Δφ = π.

$$e_{min}=\frac{\lambda}{4n}=\frac{\lambda}{5}$$

O fenômeno é interferência. A condição de fase na superfície refletora precisa ser especificada para um refletor genérico. Se ela diferir da adotada, máximos e mínimos trocam de posição.

Dados da prova