OBF 2010

Ressalva: o gabarito oficial é B (a afirmação que contraria a queda livre). As alternativas A e C também têm imprecisões (falta “ou em repouso” em A; $g$ depende da massa e do raio da Terra em C), mas B é a única claramente falsa para todos os casos.

Em queda livre (sem resistência do ar) todos os corpos têm a mesma aceleração $g$ e, soltos da mesma altura, chegam ao solo com a mesma velocidade, $v=\sqrt{2gh}$, independentemente da massa. Logo, a afirmação da alternativa B é a incorreta.

As demais descrevem ideias de Galileu: a primeira lei (inércia), a equivalência dos referenciais inerciais e o Sol como referencial aproximadamente inercial.

Alternativa correta: B.

A massa da bola não muda com a altitude (a). O peso varia só uma fração muito pequena (b). A pressão interna e a forma da bola não explicam o ganho de velocidade (c, d).

A 3.000 m, o ar é mais rarefeito (menor densidade), então a força de resistência do ar, que cresce com a densidade do ar, é menor, e a bola mantém velocidade maior. Alternativa E.

Alternativa correta: E.

Sem considerar a velocidade do som, o tempo medido é o de queda livre: $h=\dfrac{g\,t^2}{2}=\dfrac{10\cdot2^2}{2}=20\,\text{m}$.

Alternativa correta: B.

Ressalva: o enunciado diz “problema 2”, mas se refere à questão do poço (a numeração do caderno mudou entre as provas); o gabarito oficial é C.

O tempo total (2 s) é a soma do tempo de queda $t_q$ com o de volta do som $t_s=\dfrac{h}{300}$. Com $h=5\,t_q^2$: $t_q+\dfrac{5\,t_q^2}{300}=2\Rightarrow t_q^2+60\,t_q-120=0$.

$t_q=\dfrac{-60+\sqrt{3600+480}}{2}\approx1{,}94\,\text{s}$ e $h=5\cdot1{,}94^2\approx18{,}8\,\text{m}\approx19\,\text{m}$.

Alternativa correta: C.

Ressalva: o gabarito oficial é D. Em regime estacionário, a leitura da balança iguala o peso total (a queda livre do fluxo e o choque se compensam); a resposta oficial leva em conta o efeito do choque da areia sobre o fundo no início do processo.

A balança marca a força normal sobre a ampulheta, que é o peso do conjunto mais a força extra exercida pelo choque da areia que cai: a areia que atinge o fundo sofre variação de quantidade de movimento, e a balança sustenta esse impulso.

Segundo o gabarito oficial, o mostrador aumenta em relação ao peso em $t=0$ durante a queda e volta ao valor inicial no fim. Alternativa D.

Alternativa correta: D.

Pela lei das áreas (2ª lei de Kepler), a velocidade orbital varia: é maior perto do Sol (periélio) e menor longe (afélio). Portanto é incorreto dizer que ela permanece constante. Alternativa A.

Alternativa correta: A.

Em um ano ($T\approx3{,}15\times10^{7}\,\text{s}$) a Terra percorre uma circunferência de raio $R=1{,}5\times10^{8}\,\text{km}$. Com $\pi=3$: $v=\dfrac{2\pi R}{T}=\dfrac{2\cdot3\cdot1{,}5\times10^{8}}{3{,}15\times10^{7}}\approx29\,\text{km/s}\approx30\,\text{km/s}$.

Alternativa correta: C.

Velocidade de rotação no equador: $v_{rot}=\dfrac{2\pi R_T}{T_{dia}}=\dfrac{2\cdot3\cdot6000\,\text{km}}{86\,400\,\text{s}}\approx0{,}42\,\text{km/s}$.

A velocidade máxima ocorre quando as duas velocidades têm o mesmo sentido: $v\approx30+0{,}4=30{,}4\,\text{km/s}$.

Alternativa correta: D.

Ressalva: o enunciado não menciona a constante $G$ e a alternativa correta a omite; o gabarito oficial é B (com $G=1$).

Cada estrela descreve uma circunferência de raio $\dfrac a2$ em torno do centro de massa, com $\omega=\dfrac{2\pi}{T}$. A atração gravitacional faz o papel da força centrípeta: $\dfrac{G\,m^2}{a^2}=m\,\omega^2\dfrac a2$.

$m=\dfrac{\omega^2a^3}{2G}=\dfrac{2\pi^2a^3}{G\,T^2}$. Com a constante $G$ omitida (unidades em que $G=1$), a expressão é a da alternativa B.

Alternativa correta: B.

Conservação de energia após o choque: $\tfrac12(m+M)v^2=(m+M)gh\Rightarrow v=\sqrt{2gh}=\sqrt{2\cdot10\cdot0{,}2}=2\,\text{m/s}$.

Conservação da quantidade de movimento no choque: $m\,v_0=(m+M)\,v\Rightarrow v_0=\dfrac{2{,}01\cdot2}{0{,}01}\approx402\,\text{m/s}\approx400\,\text{m/s}$.

Alternativa correta: E.

A lente deve formar, a 100 cm (ponto próximo), uma imagem virtual do objeto colocado a 25 cm: $p=25\,\text{cm}$ e $p'=-100\,\text{cm}$.

$\dfrac1f=\dfrac1p+\dfrac1{p'}=\dfrac1{25}-\dfrac1{100}=\dfrac{3}{100}\Rightarrow f=+33{,}3\,\text{cm}$ (lente convergente).

Alternativa correta: C.

Sem atrito, a energia mecânica se conserva: $mgh=\tfrac12mv^2\Rightarrow v=\sqrt{2gh}$.

Alternativa correta: D.

No rolamento sem deslizar, a esfera acelera ao descer: a velocidade de translação aumenta e, com ela, a velocidade de rotação ($v=\omega R$). A afirmação de que a velocidade de rotação é constante é incorreta.

As demais são verdadeiras: parte da energia potencial vira energia de rotação, e por isso a velocidade de translação final é menor que $\sqrt{2gh}$ (para uma esfera maciça, $v=\sqrt{\tfrac{10}{7}gh}$).

Alternativa correta: A.

Ressalva: o resultado oficial (34,8 N) corresponde a $g=10\,\text{m/s}^2$; com $g=9{,}8\,\text{m/s}^2$ daria 34,1 N.

Na junção das cordas, em equilíbrio. Vertical: $T_3\cos60^\circ=m\,g=2\cdot10=20\,\text{N}\Rightarrow T_3=40\,\text{N}$ (a corda 1 sustenta a massa de 2 kg).

Horizontal: $T_2=T_3\,\text{sen}\,60^\circ=40\cdot0{,}87=34{,}8\,\text{N}$.

Alternativa correta: E.

Ressalva: o gabarito oficial é C. Tomada literalmente, a situação “navio afunda totalmente” elevaria o nível em $(V-fV)/A$ (ele passaria a deslocar todo o seu volume $V$); a resposta oficial corresponde à leitura em que se compara a água sem o navio com a água com o navio flutuando.

Flutuando, o navio desloca um volume de água $fV$ (volume submerso). Pelo gabarito oficial, o nível diminui de $\dfrac{fV}{A}$, que é a variação correspondente ao volume que deixa de ser deslocado. Alternativa C.

Alternativa correta: C.

$T_1=2\cdot30=60\,^\circ\text{C}$ e $m_1=2m_2$. Como o líquido é o mesmo: $m_1(T_1-T_e)=m_2(T_e-T_2)$.

$2\,(60-T_e)=T_e-30\Rightarrow120-2T_e=T_e-30\Rightarrow T_e=50\,^\circ\text{C}$.

Alternativa correta: C.

A capacidade térmica é $C=\dfrac{Q}{\Delta\theta}$, a inclinação de cada reta (ambas partem de $\theta=10\,^\circ\text{C}$ com $Q=0$).

Corpo A: $Q=80\,\text{kJ}$ em $\Delta\theta=20\,^\circ\text{C}$: $C_A=4{,}0\,\text{kJ/}^\circ\text{C}$. Corpo B: $Q=40\,\text{kJ}$ em $\Delta\theta=20\,^\circ\text{C}$: $C_B=2{,}0\,\text{kJ/}^\circ\text{C}$.

Alternativa correta: E.

Relação entre as escalas: $\dfrac{X-10}{200-10}=\dfrac{\theta-0}{100-0}$.

$X=10+190\cdot\dfrac{78}{100}=10+148{,}2=158{,}2\,^\circ\text{X}\approx158\,^\circ\text{X}$.

Alternativa correta: B.

A ebulição ocorre sobre a curva de vaporização (separa líquido de vapor). Entrando no gráfico com $P=7{,}0\,\text{Torr}$ e lendo a temperatura na curva líquido-vapor, obtém-se $\theta\approx+6\,^\circ\text{C}$.

Alternativa correta: D.

Ressalva: o gabarito oficial é A (100 e 0). Rigorosamente, o campo imediatamente na superfície é perpendicular a ela e seu módulo depende do ponto (distorção das linhas de campo); a resposta oficial adota o valor do campo aplicado.

Um condutor em equilíbrio eletrostático blinda o seu interior: o campo elétrico no interior da cavidade é nulo (gaiola de Faraday).

Do lado de fora, na região do campo aplicado, o módulo é $100\,\text{V/m}$. Alternativa A.

Alternativa correta: A.

Cargas de mesma espécie (mesmo sinal) se repelem; cargas de sinais opostos se atraem. A afirmação de que cargas de mesma espécie se atraem é a incorreta. Alternativa C.

Alternativa correta: C.

Um bastão carregado cria campo elétrico não nulo no espaço ao redor. Perto do bastão (comprimento “infinito”) o campo cai com $1/r$ e tem simetria radial; longe ($r\gg L$) o bastão parece uma carga puntiforme e o campo cai com $1/r^2$; e o campo depende de $Q$.

Afirmar que o campo é nulo em todo o espaço é incorreto. Alternativa E.

Alternativa correta: E.

Na figura, as placas estão separadas pela distância $d$ e os dielétricos ocupam metades sucessivas do espaço entre elas, cada um com espessura $\dfrac d2$: o conjunto equivale a dois capacitores em série.

Cada metade tem $C_i=k_i\,\dfrac{\varepsilon_0L^2}{d/2}=2k_iC_0$. Em série: $C=\dfrac{C_1C_2}{C_1+C_2}=\dfrac{4k_1k_2C_0^2}{2C_0(k_1+k_2)}=\dfrac{2C_0\,k_1k_2}{k_1+k_2}$.

Alternativa correta: D.

Há duas contribuições para o borrão da imagem: a geométrica, proporcional a $d$, e a de difração, proporcional a $\dfrac{\lambda D}{d}$. A nitidez é máxima quando as duas se equivalem: $d\approx\dfrac{\lambda D}{d}$.

Logo $d^2\approx\lambda D$ e $d\approx\sqrt{\lambda D}$. Alternativa E.

Alternativa correta: E.

Redução a partir da direita: o ramo final $1+4+5=10\,\Omega$ está em paralelo com o resistor de $10\,\Omega$: $5\,\Omega$. Somando $3+2$ em série: $10\,\Omega$, em paralelo com o outro resistor de $10\,\Omega$: $5\,\Omega$. Em série com $5+2$: $R_{eq}=12\,\Omega$ e $i=\dfrac{12}{12}=1\,\text{A}$.

Tensão no primeiro paralelo: $5\cdot1=5\,\text{V}$; corrente de $0{,}5\,\text{A}$ pelo ramo da direita (10 Ω); tensão no segundo paralelo: $5\cdot0{,}5=2{,}5\,\text{V}$; corrente no último ramo, que inclui o resistor de $4\,\Omega$: $\dfrac{2{,}5}{10}=0{,}25\,\text{A}$.

Alternativa correta: A.

Um passo de corrida tem cerca de $1\,\text{m}$ (entre 0,8 e 1,2 m). Em $42\,\text{km}=42\,000\,\text{m}$, são da ordem de $4\times10^{4}$ passos. A opção mais próxima é $35\,000$. Alternativa A.

Alternativa correta: A.

Uma barrinha de cereal mede cerca de $10\,\text{cm}$. Em $100\,\text{m}=10^{4}\,\text{cm}$ cabem $\dfrac{10^{4}}{10}=10^{3}=1\,000$ barrinhas. Alternativa B.

Alternativa correta: B.

Contando um número por segundo, $10^{6}\,\text{s}$ correspondem a $\dfrac{10^{6}}{3600}\approx278\,\text{h}$. Alternativa B.

Alternativa correta: B.

Estimando 1 poste para cada 20 habitantes (5.000 postes) com lâmpadas de cerca de $200\,\text{W}$: $P\approx5\,000\cdot200=10^{6}\,\text{W}=1\,000\,\text{kW}$. Alternativa E.

Alternativa correta: E.

Uma pessoa tem cerca de $60\%$ de água; para $70\,\text{kg}$, são cerca de $40\,\text{L}$. Para $6\times10^{9}$ pessoas: $6\times10^{9}\cdot40=2{,}4\times10^{11}\,\text{L}\approx2{,}5\times10^{11}\,\text{L}$. Alternativa C.

Alternativa correta: C.