OBF 2010 — 2ª fase · 9º ano e 1º ano | Física resolvida

Q01

Termologia — Calorimetria — Taxa de resfriamento

Exclusiva do aluno do 9º ano no caderno original

As respostas das questões 1, 2 e 3 são baseadas no gráfico de resfriamento (temperatura como função do tempo) de 1,0 kg de café quente armazenado numa garrafa térmica.

Determine a taxa de resfriamento do café na garrafa térmica. (valor e unidade)

Gráfico da temperatura do café em função do tempo: reta de 80 °C em 0 s a 20 °C em 3600 s

Resposta TEF: $\approx-0{,}017\ ^\circ\text{C/s}$ (cai $1\ ^\circ\text{C}$ a cada $60\ \text{s}$).

Resolução comentada · Método TEF

Pelo gráfico, a temperatura cai de $80\ ^\circ\text{C}$ para $20\ ^\circ\text{C}$ em $3600\ \text{s}$:

$$\frac{\Delta\theta}{\Delta t}=\frac{20-80}{3600}=-\frac{1}{60}\approx-0{,}017\ ^\circ\text{C/s}$$

Q02

Termologia — Calorimetria — Equação da reta de resfriamento

Exclusiva do aluno do 9º ano no caderno original

Usando $\theta$ para indicar a temperatura do café e $t$ para o tempo transcorrido, escreva a equação que representa a curva de resfriamento do café na garrafa térmica (gráfico das questões 1 a 3).

Resposta TEF: $\theta(t)=80-\dfrac{t}{60}$ ($\theta$ em $^\circ\text{C}$, $t$ em s).

Resolução comentada · Método TEF

A curva é uma reta com coeficiente linear $80\ ^\circ\text{C}$ (em $t=0$) e coeficiente angular $-\dfrac1{60}\ ^\circ\text{C/s}$:

$$\theta(t)=80-\frac{t}{60}$$

Conferência: em $t=3600\ \text{s}$, $\theta=80-60=20\ ^\circ\text{C}$.

Q03

Termologia — Calorimetria — Calor sensível

Supondo que o calor específico do café é aproximadamente igual ao da água, determine qual a energia perdida durante o processo indicado no gráfico, entre 0 e 3600 segundos (valor e unidade). (Use $1\ \text{cal}=4{,}2\ \text{J}$ e $c_{água}=1\ \text{cal/(g·°C)}$.)

Resposta TEF: $\approx2{,}5\times10^{5}\ \text{J}$ ($\approx60\ \text{kcal}$).

Resolução comentada · Método TEF

$$Q=m\,c\,\Delta\theta=1000\ \text{g}\cdot1\ \tfrac{\text{cal}}{\text{g}\,^\circ\text{C}}\cdot60\ ^\circ\text{C}=6{,}0\times10^{4}\ \text{cal}$$

$$Q=6{,}0\times10^{4}\cdot4{,}2=2{,}52\times10^{5}\ \text{J}$$

Q04

Mecânica — Trabalho e energia — Energias cinética e potencial no pêndulo

Um pêndulo simples oscila periodicamente entre os pontos A e C. No ponto B o pêndulo está alinhado com a vertical.

a) Em qual(is) ponto(s) a energia cinética do pêndulo é máxima?

b) Em qual(is) ponto(s) a energia potencial gravitacional do pêndulo é máxima?

Pêndulo simples oscilando entre os pontos A e C, com B na vertical

Resposta TEF: a) B; b) A e C.

Resolução comentada · Método TEF

a) A energia cinética é máxima onde a velocidade é máxima, no ponto mais baixo da trajetória: B.

b) A energia potencial gravitacional é máxima nos pontos mais altos, onde o pêndulo para por instantes: A e C. (Sem atrito, $E_c+E_p$ é constante.)

Q05

Óptica — Reflexão da luz — Espelhos planos perpendiculares

Dois espelhos planos são colados formando um ângulo reto. Um raio de luz incide num dos espelhos com um ângulo $\theta_i=60^\circ$ (medido, como na figura, entre o raio e a superfície do espelho). Determine o ângulo $\theta_R$ indicado na figura.

Dois espelhos planos perpendiculares e um raio que incide a 60° no espelho 1 e sai no espelho 2 com ângulo θR

Resposta TEF: $\theta_R=30^\circ$.

Resolução comentada · Método TEF

Ressalva: considerou-se, como mostra a figura, que $\theta_i$ e $\theta_R$ são medidos em relação à superfície do espelho; se fossem medidos em relação à normal, bastaria trocar $60^\circ$ por $30^\circ$ e $\theta_R$ seria $60^\circ$.

Pela lei da reflexão, o raio sai do espelho 1 formando $60^\circ$ com a superfície. No triângulo formado pelos dois espelhos e pelo raio refletido, o ângulo entre espelhos é $90^\circ$ e os outros dois somam $90^\circ$: o raio chega ao espelho 2 formando $90^\circ-60^\circ=30^\circ$ com a sua superfície.

Pela lei da reflexão de novo, ele sai do espelho 2 também a $30^\circ$ da superfície: $\theta_R=30^\circ$.

Resultado geral: em dois espelhos perpendiculares, o raio emergente é antiparalelo ao raio incidente.

Q06

Mecânica — Gravitação — Lei da gravitação: peso a uma altura R

Um corpo tem um peso de 100 N na superfície da Terra. Qual é o peso equivalente deste corpo quando posicionado a uma distância de um raio terrestre acima da superfície da Terra?

Resposta TEF: $25\ \text{N}$.

Resolução comentada · Método TEF

O peso é $P=\dfrac{GMm}{r^2}$. A uma altura $R$ acima da superfície, a distância ao centro da Terra é $r=2R$, o dobro da inicial, e o peso cai a $\dfrac14$:

$$P' =\frac{100}{2^2}=25\ \text{N}$$

Q07

Mecânica — Dinâmica — Segunda lei de Newton

Exclusiva do aluno do 9º ano no caderno original

No esquema estão representadas as quatro etapas do lançamento de um foguete. i) Em $t=0$ o motor é acionado, produzindo uma força constante na vertical de 100 N; a massa do foguete é de 2,0 kg e praticamente não se altera durante todo o voo. ii) Em $t=2\ \text{s}$ o motor é desligado. iii) Ao atingir a altura máxima o paraquedas (de massa desprezível) é aberto. iv) Na descida, com o auxílio do paraquedas, a velocidade do foguete é constante. Toda a trajetória é vertical.

Qual a aceleração ascendente do foguete entre 0 e 2 segundos?

Quatro etapas do lançamento de um foguete: ignição, motor desligado, altitude máxima com paraquedas aberto e descida

Resposta TEF: $40\ \text{m/s}^2$.

Resolução comentada · Método TEF

Forças: empuxo do motor $F=100\ \text{N}$ para cima e peso $P=mg=20\ \text{N}$ para baixo.

$$a=\frac{F-mg}{m}=\frac{100-20}{2{,}0}=40\ \text{m/s}^2$$

Q08

Mecânica — Cinemática — Lançamento vertical com propulsão

No esquema estão representadas as quatro etapas do lançamento de um foguete. i) Em $t=0$ o motor é acionado, produzindo uma força constante na vertical de 100 N; a massa do foguete é de 2,0 kg e praticamente não se altera durante todo o voo. ii) Em $t=2\ \text{s}$ o motor é desligado. iii) Ao atingir a altura máxima o paraquedas (de massa desprezível) é aberto. iv) Na descida, com o auxílio do paraquedas, a velocidade do foguete é constante. Toda a trajetória é vertical.

Determine a altura máxima que o foguete atinge, quando o paraquedas é aberto.

Resposta TEF: $400\ \text{m}$.

Resolução comentada · Método TEF

Fase 1 (0 a 2 s): $a=40\ \text{m/s}^2$, $v_1=a\,t=80\ \text{m/s}$ e $h_1=\dfrac{a\,t^2}{2}=80\ \text{m}$.

Fase 2: motor desligado, só a gravidade freia o foguete: $h_2=\dfrac{v_1^2}{2g}=\dfrac{80^2}{20}=320\ \text{m}$.

$$H=h_1+h_2=80+320=400\ \text{m}$$

Q09

Mecânica — Dinâmica — Velocidade terminal com resistência linear

No esquema estão representadas as quatro etapas do lançamento de um foguete. i) Em $t=0$ o motor é acionado, produzindo uma força constante na vertical de 100 N; a massa do foguete é de 2,0 kg e praticamente não se altera durante todo o voo. ii) Em $t=2\ \text{s}$ o motor é desligado. iii) Ao atingir a altura máxima o paraquedas (de massa desprezível) é aberto. iv) Na descida, com o auxílio do paraquedas, a velocidade do foguete é constante. Toda a trajetória é vertical.

Quando o foguete inicia a descida, com o paraquedas aberto, uma força de resistência aerodinâmica de módulo $b\,v$ atua no conjunto, onde $b$ é uma constante e $v$ é a velocidade de queda. Determine a velocidade de queda do foguete sabendo que $b=2\ \text{kg·s}^{-1}$.

Resposta TEF: $10\ \text{m/s}$.

Resolução comentada · Método TEF

A velocidade na descida é constante: a resultante é nula, logo a resistência equilibra o peso:

$$b\,v=m\,g\Rightarrow v=\frac{m\,g}{b}=\frac{2{,}0\cdot10}{2}=10\ \text{m/s}$$

Q10

Mecânica — Trabalho e energia — Conservação da energia mecânica

Um corpo de massa $m=3{,}0\ \text{kg}$ movimenta-se numa canaleta sem atrito, conforme indicado na figura, partindo do repouso no ponto A (altura 3,0 m).

a) Determine a velocidade do corpo no ponto E (altura 0).

b) Qual deve ser a velocidade mínima que o corpo necessita ter no ponto A para que ele possa chegar até o ponto H (altura 4,0 m)?

Canaleta sem atrito com pontos A a I e alturas de 0 a 4,0 m; corpo de 3,0 kg partindo de A

Resposta TEF: a) $\sqrt{60}\approx7{,}7\ \text{m/s}$; b) $\sqrt{20}\approx4{,}5\ \text{m/s}$.

Resolução comentada · Método TEF

a) Sem atrito, $E_m$ se conserva: $m\,g\,h_A=\dfrac{m\,v_E^2}{2}$, com $h_A=3{,}0\ \text{m}$ e $h_E=0$:

$$v_E=\sqrt{2\,g\,h_A}=\sqrt{2\cdot10\cdot3{,}0}=\sqrt{60}\approx7{,}7\ \text{m/s}$$

b) Para chegar a H (4,0 m) a velocidade pode ser nula ali; a energia necessária vem de $E_A=\dfrac{m\,v_A^2}{2}+m\,g\,(3{,}0)=m\,g\,(4{,}0)$:

$$v_A=\sqrt{2\,g\,(4{,}0-3{,}0)}=\sqrt{20}\approx4{,}5\ \text{m/s}$$

O ponto D (1,0 m) fica abaixo de A e não limita o movimento; a massa não influi.

Q11

Ondas — Conceitos básicos — Frequência, comprimento de onda e velocidade

Um estudante está numa plataforma acima do mar, observando as ondulações na superfície. Ele percebe que as ondulações fazem um pedaço de madeira subir e descer. Ele então cronometra o tempo entre duas subidas sucessivas e obtém um tempo de 2 segundos.

a) Determine a frequência da ondulação na superfície do mar.

b) Calcule a velocidade da ondulação (velocidade da onda).

Onda na superfície do mar com distância de 2,0 m entre cristas e um pedaço de madeira sobre uma crista

Resposta TEF: a) $0{,}5\ \text{Hz}$; b) $1{,}0\ \text{m/s}$.

Resolução comentada · Método TEF

a) O tempo entre duas subidas sucessivas é o período: $T=2\ \text{s}$, logo $f=\dfrac1T=0{,}5\ \text{Hz}$.

b) Pela figura, a distância entre duas cristas consecutivas é o comprimento de onda: $\lambda=2{,}0\ \text{m}$. Assim

$$v=\lambda\,f=2{,}0\cdot0{,}5=1{,}0\ \text{m/s}$$

Q12

Mecânica — Hidrostática — Pressão em um líquido

Exclusiva do aluno do 9º ano no caderno original

Um submarino é projetado para resistir a pressões de até 10 atm. Qual a profundidade máxima que este submarino pode submergir? ($1\ \text{atm}=10^{5}\ \text{N/m}^2$, $\rho_{água}=10^{3}\ \text{kg/m}^3$, $g=10\ \text{m/s}^2$.)

Resposta TEF: $90\ \text{m}$ (pressão total de 10 atm, incluindo a atmosfera).

Resolução comentada · Método TEF

Ressalva: se a “pressão de 10 atm” for entendida como pressão manométrica (acima da atmosférica), a resposta seria 100 m.

A pressão total na profundidade $h$ é $p=p_0+\rho\,g\,h$, com $p_0=1\ \text{atm}=10^{5}\ \text{Pa}$ e $p_{max}=10\ \text{atm}=10^{6}\ \text{Pa}$:

$$h=\frac{p_{max}-p_0}{\rho\,g}=\frac{10^{6}-10^{5}}{10^{3}\cdot10}=90\ \text{m}$$

Q13

Mecânica — Quantidade de movimento — Colisão elástica frontal

Uma bola A de massa 1,0 kg desliza sem atrito com velocidade constante de 1,0 m/s sobre uma mesa. A bola A colide com a bola B de massa 0,50 kg que está no canto da mesa na iminência de cair. Considerando que A colide elasticamente com B, mantendo após o choque a mesma direção que a anterior ao choque, determine: a) as velocidades das bolas A e B imediatamente após a colisão; b) faça um diagrama vetorial das velocidades.

Bola A deslizando sobre uma mesa de 1,2 m de altura em direção à bola B, na borda; trajetória de B e distância d

Resposta TEF: a) $v_A'\approx0{,}33\ \text{m/s}$ e $v_B'\approx1{,}33\ \text{m/s}$, ambas para a frente; b) dois vetores alinhados, o de B quatro vezes maior que o de A.

Resolução comentada · Método TEF

a) Momento: $m_Av=m_Av_A'+m_Bv_B'$. Energia: $\tfrac12m_Av^2=\tfrac12m_Av_A'^2+\tfrac12m_Bv_B'^2$. A solução é

$$v_A'=\frac{m_A-m_B}{m_A+m_B}\,v=\frac{1}{3}\ \text{m/s}\approx0{,}33\ \text{m/s}\qquad v_B'=\frac{2m_A}{m_A+m_B}\,v=\frac{4}{3}\ \text{m/s}\approx1{,}33\ \text{m/s}$$

b) Diagrama: sobre a mesma reta (vista de cima), ambos os vetores apontam no sentido do movimento original; $\vec v_B'$ tem módulo $4$ vezes o de $\vec v_A'$ (a velocidade relativa de afastamento, $1{,}0\ \text{m/s}$, é igual à de aproximação).

Q14

Mecânica — Cinemática — Lançamento horizontal: alcance

(Mesma situação da questão anterior: mesa de 1,2 m de altura, bola A de 1,0 kg a 1,0 m/s colide elasticamente com a bola B de 0,50 kg, na borda da mesa.) Determine a distância $d$ percorrida pela bola B como indicado na figura. Se a bola A cair da mesa, qual será a distância equivalente a $d$ percorrida pela bola A?

Resposta TEF: $d_B\approx0{,}65\ \text{m}$; $d_A\approx0{,}16\ \text{m}$.

Resolução comentada · Método TEF

Tempo de queda: $t=\sqrt{\dfrac{2\cdot1{,}2}{10}}\approx0{,}49\ \text{s}$. Com as velocidades do choque elástico ($v_B'=\tfrac43\ \text{m/s}$, $v_A'=\tfrac13\ \text{m/s}$):

$$d_B=\frac43\cdot0{,}49\approx0{,}65\ \text{m}\qquad d_A=\frac13\cdot0{,}49\approx0{,}16\ \text{m}$$

Q15

Mecânica — Quantidade de movimento — Conservação do momento linear em sistema com mola

Dois blocos são posicionados sobre uma superfície horizontal e sem atrito e conectados por uma mola que é comprimida. Imediatamente após a liberação dos blocos, o bloco de massa 1,8 kg adquire uma velocidade de 2,0 m/s. Determine a velocidade do bloco de 1,2 kg imediatamente após a liberação da mola (valor e unidade).

Dois blocos (1,2 kg e 1,8 kg) ligados por uma mola comprimida sobre uma superfície horizontal; o de 1,8 kg se move a 2,0 m/s

Resposta TEF: $3{,}0\ \text{m/s}$, em sentido contrário ao do bloco de 1,8 kg.

Resolução comentada · Método TEF

O sistema é isolado na horizontal (sem atrito) e parte do repouso, logo a quantidade de movimento total se conserva e é nula:

$$0=m_1v_1-m_2v_2\Rightarrow v_1=\frac{m_2\,v_2}{m_1}=\frac{1{,}8\cdot2{,}0}{1{,}2}=3{,}0\ \text{m/s}$$

Q16

Óptica — Refração da luz — Raio que atravessa meios de faces paralelas

Um raio de luz monocromática vindo do material 1 atravessa os materiais 2 e 3, retornando ao material 1 como indicado na figura (incidência de $30^\circ$). Calcule o valor do ângulo $\theta$.

Raio de luz incidindo a 30° e atravessando os materiais 1, 2 e 3 com ângulos θx, θy e θ

Resposta TEF: $\theta=30^\circ$.

Resolução comentada · Método TEF

Em interfaces paralelas, o ângulo de refração numa interface é o de incidência na seguinte. Pela lei de Snell, $n_1\,\text{sen}\,30^\circ=n_2\,\text{sen}\,\theta_x=n_3\,\text{sen}\,\theta_y=n_1\,\text{sen}\,\theta$.

Como o último meio é o mesmo material 1, $\text{sen}\,\theta=\text{sen}\,30^\circ$ e $\theta=30^\circ$ (o raio sai paralelo ao raio incidente).

Dados da prova