Prova escrita de 2010. Enunciados reunidos com o texto de apoio de cada questão; figuras recortadas do caderno original. Gabarito oficial não localizado: as respostas são do Método TEF, calculadas e conferidas pelo autor. Prova de 16 questões, com Parte I (6 questões de resposta direta) e Parte II (10 questões de resposta aberta). Dados do caderno: g = 10 m/s², sen 30° = 0,5, cos 30° = 0,87, π = 3. Erros e ambiguidades do original são explicados nas resoluções.
Q01
Mecânica — Quantidade de movimento — Conservação do momento linear em sistema com mola
Exclusiva do aluno da 2ª série no caderno original
Dois blocos são posicionados sobre uma superfície horizontal e sem atrito e conectados por uma mola que é comprimida. Imediatamente após a liberação dos blocos, o bloco de massa 1,8 kg adquire uma velocidade de 2,0 m/s. Determine a velocidade do bloco de 1,2 kg imediatamente após a liberação da mola (valor e unidade).
Resposta TEF: $3{,}0\ \text{m/s}$, em sentido contrário ao do bloco de 1,8 kg.
Resolução comentada · Método TEF
O sistema é isolado na horizontal (sem atrito) e parte do repouso, logo a quantidade de movimento total se conserva e é nula:
Mecânica — Gravitação — Lei da gravitação: peso a uma altura R
Exclusiva do aluno da 2ª série no caderno original
Um corpo tem um peso de 100 N na superfície da Terra. Qual é o peso equivalente deste corpo quando posicionado a uma distância de um raio terrestre acima da superfície da Terra?
Resposta TEF: $25\ \text{N}$.
Resolução comentada · Método TEF
O peso é $P=\dfrac{GMm}{r^2}$. A uma altura $R$ acima da superfície, a distância ao centro da Terra é $r=2R$, o dobro da inicial, e o peso cai a $\dfrac14$:
$$P' =\frac{100}{2^2}=25\ \text{N}$$
Q03
Mecânica — Trabalho e energia — Potência média de uma força constante
Um bloco de 3,0 kg, inicialmente em repouso, está posicionado numa superfície plana e sem atrito. O bloco é movimentado por 8,0 m por uma força constante de 12 N, em 3,0 segundos. Qual a potência média da força durante o movimento?
Resposta TEF: $32\ \text{W}$.
Resolução comentada · Método TEF
Ressalva: os dados não são plenamente compatíveis entre si: com $a=F/m=4\ \text{m/s}^2$ e partindo do repouso, em 3 s o bloco percorreria 18 m, e não 8 m. A resposta pedida, porém, só usa $F$, $d$ e $\Delta t$ (definição de potência média).
O trabalho da força é $\tau=F\,d=12\cdot8{,}0=96\ \text{J}$ e a potência média é
Óptica — Refração da luz — Lei de Snell e velocidade da luz nos meios
Um raio monocromático de luz atravessa um conjunto de materiais como esquematizado na figura ($\theta_x>\theta_y$).
a) Em qual(is) material(is) a luz se propaga com a maior velocidade?
b) Em qual(is) material(is) a luz se propaga com a menor velocidade?
c) Qual o valor de $\theta$?
Resposta TEF: a) material 1; b) material 3; c) $\theta=30^\circ$.
Resolução comentada · Método TEF
Pela lei de Snell, $n\,\text{sen}\,\theta$ é constante ao longo do caminho; como $n=c/v$, vale $\dfrac{\text{sen}\,\theta}{v}=\text{constante}$: quanto maior o ângulo com a normal, maior a velocidade da luz no meio.
Os ângulos são $30^\circ$ (material 1), $\theta_x$ (material 2) e $\theta_y$ (material 3), com $30^\circ>\theta_x>\theta_y$ (o raio se aproxima da normal ao entrar nos materiais 2 e 3). Logo $v_1>v_2>v_3$.
a) material 1. b) material 3.
As superfícies são paralelas, então o ângulo de incidência em cada interface é o ângulo de refração da anterior. Como o último meio é de novo o material 1, vale $n_1\,\text{sen}\,30^\circ=n_3\,\text{sen}\,\theta_y=n_1\,\text{sen}\,\theta$ e, portanto, c) $\theta=30^\circ$.
Q05
Eletricidade — Eletrodinâmica — Lei dos nós (primeira lei de Kirchhoff)
Numa parte de um circuito elétrico (como indicado na figura) um amperímetro é conectado para determinar a corrente que atravessa um determinado fio. Qual o valor da corrente indicada no amperímetro? (valor e unidade)
Resposta TEF: $2\ \text{A}$ (entrando no nó).
Resolução comentada · Método TEF
Em um nó, a soma das correntes que chegam é igual à soma das que saem. Chegam $3\ \text{A}$ e $2\ \text{A}$; saem $4\ \text{A}$, $1\ \text{A}$ e $2\ \text{A}$.
$$3+2+i=4+1+2\Rightarrow i=2\ \text{A}$$
A corrente $i$ no ramo do amperímetro chega ao nó.
Q06
Ondas — MHS — Fase de um oscilador harmônico
O gráfico representa a amplitude de oscilação em função do tempo para um sistema massa-mola (oscilador harmônico). Qual par de pontos indicados no gráfico possui a mesma fase?
Resposta TEF: Os pontos A e D.
Resolução comentada · Método TEF
Dois pontos têm a mesma fase quando estão na mesma posição e se movem no mesmo sentido, isto é, quando distam um número inteiro de períodos.
A e D estão à mesma altura, ambos descendo (A e D diferem de exatamente um período). C está na mesma altura, mas subindo; B está abaixo do eixo. Resposta: A e D.
Q07
Mecânica — Quantidade de movimento — Colisão elástica e lançamento horizontal
Uma bola A de massa 1,0 kg desliza sem atrito com velocidade constante de 1,0 m/s sobre uma mesa como indicado no esquema. A bola A colide com a bola B de massa 0,50 kg que está no canto da mesa na iminência de cair, mantendo a mesma direção anterior ao choque.
Determine a distância $d$ percorrida pela bola B como indicado na figura. Se a bola A cair da mesa, qual será a distância equivalente à distância $d$ percorrida pela bola A?
Ressalva: o enunciado desta questão não diz que o choque é elástico; essa hipótese (explícita na questão equivalente das demais provas) é necessária para fechar o problema.
Admite-se choque elástico (o enunciado da questão equivalente nas outras provas o diz explicitamente). Conservação do momento e da energia, com B em repouso:
Mecânica — Quantidade de movimento — Colisão elástica oblíqua entre massas iguais
Uma bola de massa 1,0 kg desliza sem atrito num plano horizontal com velocidade de 1,0 m/s. A bola A colide elasticamente com uma bola B idêntica a ela, e inicialmente em repouso. Faça um diagrama das velocidades das bolas A e B após o choque, indicando o ângulo que a bola A faz com relação aos eixos x e y. (Após o choque, a bola B sai a $30^\circ$ abaixo do eixo x.)
Resposta TEF: B: $0{,}87\ \text{m/s}$ a $30^\circ$ abaixo do eixo x; A: $0{,}50\ \text{m/s}$ a $60^\circ$ acima do eixo x ($30^\circ$ do eixo y).
Resolução comentada · Método TEF
Em choque elástico entre massas iguais, com alvo em repouso, as velocidades finais são perpendiculares ($\vec v_A'\perp\vec v_B'$). Se B sai a $30^\circ$ abaixo do eixo $x$, A sai a $90^\circ-30^\circ=60^\circ$ acima do eixo $x$, isto é, a $30^\circ$ do eixo $y$.
Conservação do momento nas duas direções: $v=v_A'\cos60^\circ+v_B'\cos30^\circ$ e $0=v_A'\sin60^\circ-v_B'\sin30^\circ$, que dá
Diagrama: a partir do ponto do choque, o vetor de A (0,50 m/s) aponta para cima e para a direita, a $60^\circ$ do eixo x; o de B (0,87 m/s), para baixo e para a direita, a $30^\circ$ do eixo x. Os dois formam $90^\circ$ entre si e a soma vetorial reproduz $1{,}0\ \text{m/s}$ ao longo de x.
Q09
Mecânica — Estática — Equilíbrio de um corpo extenso: torques
Exclusiva do aluno da 2ª série no caderno original
Uma barra de comprimento 3d (massa desprezível), articulada no ponto W, é submetida nas extremidades a duas forças de magnitude F como esquematizado na figura. Determine a magnitude de uma força f, sua direção e sentido, e o ponto em que deve ser aplicada na barra para que esta permaneça em equilíbrio na horizontal.
Resposta TEF: $f=F$, vertical para baixo, aplicada em X (a uma distância $d$ à direita de W).
Resolução comentada · Método TEF
Torques em relação a W (sentido anti-horário positivo): a força em V (à esquerda, para cima) gera $+Fd$; a força em Y (à direita, a $2d$, para cima) gera $-2Fd$. O torque resultante é $-Fd$ (sentido horário), que deve ser compensado por $f$.
Uma força vertical para baixo à direita de W gera torque anti-horário. Aplicada em X (a distância $d$): $f\,d=Fd\Rightarrow f=F$.
Em geral, $f\,x=Fd$ para uma distância $x$ à direita de W (ou, para cima, à esquerda de W). Como a articulação sustenta a barra, a reação em W vale $F$, para baixo, e a soma das forças verticais também é nula: $F+F-F-F=0$.
Q10
Ondas — Conceitos básicos — Frequência, comprimento de onda e velocidade
Um estudante está numa plataforma acima do mar, observando as ondulações na superfície. Ele percebe que as ondulações fazem um pedaço de madeira subir e descer. Ele então cronometra o tempo entre duas subidas sucessivas e obtém um tempo de 2 segundos.
a) Determine a frequência da ondulação na superfície do mar.
b) Calcule a velocidade da ondulação (velocidade da onda).
Resposta TEF: a) $0{,}5\ \text{Hz}$; b) $1{,}0\ \text{m/s}$.
Resolução comentada · Método TEF
a) O tempo entre duas subidas sucessivas é o período: $T=2\ \text{s}$, logo $f=\dfrac1T=0{,}5\ \text{Hz}$.
b) Pela figura, a distância entre duas cristas consecutivas é o comprimento de onda: $\lambda=2{,}0\ \text{m}$. Assim
Mecânica — Estática — Equilíbrio de um ponto: tensões em cordas
Exclusiva do aluno da 2ª série no caderno original
Um corpo de peso W, pendurado na vertical, está em equilíbrio como indicado no esquema. $T_1$, $T_2$ e $T_3$ representam as tensões nas cordas que suportam o peso W. Determine os valores das tensões $T_1$, $T_2$ e $T_3$ como função de W.
Termologia — Termodinâmica — Primeira lei da termodinâmica
Um gás ideal passa de um estado a para um estado b seguindo o caminho determinado por a-c-b como indicado no diagrama pV. Ao longo deste caminho 60 J de calor são absorvidos pelo sistema e 30 J de trabalho são realizados pelo sistema. Determine o calor absorvido pelo sistema ao longo do caminho a-d-b, sabendo que neste caso o trabalho realizado pelo sistema é de 10 J.
Resposta TEF: $Q_{adb}=40\ \text{J}$.
Resolução comentada · Método TEF
A variação da energia interna só depende dos estados inicial e final. Pelo caminho acb: $\Delta U=Q-W=60-30=30\ \text{J}$.
Pelo caminho adb, com o mesmo $\Delta U$: $$Q=\Delta U+W=30+10=40\ \text{J}$$
Q13
Óptica — Refração da luz — Índice de refração a partir de gráfico
Foi realizado um experimento de laboratório fazendo com que um feixe de luz monocromático se propague por um bloco de vidro, emergindo no ar. Considere para o ar um índice de refração $n_{ar}=1{,}0$. Variando o ângulo de incidência da luz foi montado o gráfico da dependência entre os senos dos ângulos de incidência ($\theta_1$) e refração ($\theta_2$).
A partir do gráfico calcule o índice de refração do vidro.
Resposta TEF: $n\approx1{,}6$.
Resolução comentada · Método TEF
Lei de Snell: $n_{vidro}\,\text{sen}\,\theta_1=n_{ar}\,\text{sen}\,\theta_2$, isto é, $\text{sen}\,\theta_2=n_{vidro}\,\text{sen}\,\theta_1$: o coeficiente angular da reta do gráfico é $n_{vidro}$.
A reta passa por $(0;\,0)$ e por $(0{,}63;\,1{,}0)$: $$n_{vidro}=\frac{1{,}0}{0{,}63}\approx1{,}6$$
Q14
Óptica — Refração da luz — Ângulo limite e esboço de raios
Foi realizado um experimento de laboratório fazendo com que um feixe de luz monocromático se propague por um bloco de vidro, emergindo no ar. Considere para o ar um índice de refração $n_{ar}=1{,}0$. Variando o ângulo de incidência da luz foi montado o gráfico da dependência entre os senos dos ângulos de incidência ($\theta_1$) e refração ($\theta_2$).
Desenhe a interface vidro/ar e esboce os raios que emergem do vidro para o ar para as três situações: i) $\text{sen}\,\theta_2=1{,}0$; ii) $\text{sen}\,\theta_2=0{,}8$; iii) $\text{sen}\,\theta_2=0{,}6$.
Com $n=1{,}6$: $\text{sen}\,\theta_1=\dfrac{\text{sen}\,\theta_2}{1{,}6}$.
i) $\text{sen}\,\theta_2=1{,}0\Rightarrow\theta_2=90^\circ$ e $\text{sen}\,\theta_1=0{,}625$ ($\theta_1\approx39^\circ$, o ângulo limite). O raio emerge rasante à superfície.
ii) $\text{sen}\,\theta_2=0{,}8\Rightarrow\theta_2\approx53^\circ$, com $\text{sen}\,\theta_1=0{,}5$ ($\theta_1=30^\circ$).
iii) $\text{sen}\,\theta_2=0{,}6\Rightarrow\theta_2\approx37^\circ$, com $\text{sen}\,\theta_1=0{,}375$ ($\theta_1\approx22^\circ$).
Esboço: desenha-se a interface horizontal, vidro abaixo; em cada caso o raio sobe pelo vidro com o ângulo $\theta_1$ indicado em relação à normal e emerge afastando-se da normal, com $\theta_2>\theta_1$. Quanto maior $\theta_1$, maior $\theta_2$; o raio i) sai rente à superfície.
Q15
Eletricidade — Eletrodinâmica — Circuito RC: regimes inicial e estacionário
Um circuito elétrico contendo dois resistores ($R_1$ e $R_2$), um capacitor ($C$) e uma chave ($S$) é conectado a uma fonte de corrente contínua (20 V) de acordo com a figura ($R_1=15\ \text{k}\Omega$ em paralelo com o ramo chave + capacitor de $20\ \mu\text{F}$; $R_2$ em série com a fonte). Em $t=0$ a chave S é fechada. O gráfico representa a voltagem no capacitor como função do tempo.
a) Determine o valor da resistência $R_2$.
b) Qual o valor da corrente que atravessa a fonte imediatamente após a chave S ser fechada ($t=0$)?
Resposta TEF: a) $R_2=10\ \text{k}\Omega$; b) $2{,}0\ \text{mA}$.
Resolução comentada · Método TEF
a) Quando o capacitor está carregado (regime estacionário, $t\to\infty$), não passa corrente por ele e a tensão nele, $12\ \text{V}$ (patamar do gráfico), é a tensão em $R_1$. A corrente é $i=\dfrac{12}{15\times10^{3}}=0{,}80\ \text{mA}$, a mesma em $R_2$, que fica com $20-12=8\ \text{V}$:
A equação de estado de Van der Waals foi proposta para corrigir a equação do gás ideal no regime em que a atração entre as moléculas não pode ser mais desprezada. Para 1 mol de gás: $\left(p-\dfrac{A}{V^2}\right)(V-B)=RT$, onde $p$ é a pressão, $V$ o volume, $T$ a temperatura e $R$ a constante universal dos gases. $A$ e $B$ são constantes que dependem do gás.
a) Determine as unidades das constantes A e B no SI.
b) Reescreva a equação de Van der Waals na condição em que $V\gg B$.
c) Sabendo que em 1 mol de gás temos $N_A=6\times10^{23}$ moléculas e considerando que cada molécula pode ser aproximada por uma esfera de diâmetro $d$, faça uma estimativa do parâmetro B (volume real de 1 mol de moléculas do gás) para o nitrogênio, sabendo que $d=6\times10^{-10}\ \text{m}$.
d) Faça a razão $B/V_N$ para o nitrogênio (use o valor de B do item c), onde $V_N$ é o volume de 1 mol de gás ideal nas condições normais de temperatura e pressão.
Resposta TEF: a) $[A]=\text{Pa}\cdot\text{m}^6=\text{N}\cdot\text{m}^4$; $[B]=\text{m}^3$. b) $p=\dfrac{RT}{V}+\dfrac{A}{V^2}$. c) $B\approx6{,}5\times10^{-5}\ \text{m}^3$. d) $B/V_N\approx2{,}9\times10^{-3}$.
Resolução comentada · Método TEF
a) Os termos que se somam ou subtraem têm a mesma unidade: $[V]=[B]=\text{m}^3$ e $[A/V^2]=[p]=\text{Pa}$, logo $[A]=\text{Pa}\cdot\text{m}^6=\text{N}\cdot\text{m}^4$.
b) Se $V\gg B$, então $V-B\approx V$: $\left(p-\dfrac{A}{V^2}\right)V\approx RT$, ou seja $$p\approx\frac{RT}{V}+\frac{A}{V^2}$$
c) Volume de uma molécula (esfera), com $\pi=3$: $v=\dfrac{4}{3}\pi\left(\dfrac d2\right)^3=\dfrac{d^3}{2}=\dfrac{(6\times10^{-10})^3}{2}=1{,}08\times10^{-28}\ \text{m}^3$.
