OBF 2010 — 3ª fase · 9º ano | Física resolvida

Q01

Mecânica — Movimento circular — Volta ao redor da Terra com velocidade c

No início do século XX, mais exatamente em 1905, Albert Einstein mostrou através dos postulados da relatividade restrita que a velocidade da luz é a máxima velocidade possível de se atingir no universo. a) Se um objeto pudesse se movimentar com a velocidade da luz quantas voltas por segundo ao redor da Terra este objeto realizaria? b) Qual a velocidade angular do objeto? (resposta em rad/s) c) Qual a frequência de revolução deste objeto ao redor da Terra? (Use $R_T=6{,}4\times10^{6}\ \text{m}$, $c=3\times10^{8}\ \text{m/s}$ e $\pi=3$.)

Resposta TEF: a) $\approx7{,}8$ voltas por segundo; b) $\omega\approx47\ \text{rad/s}$; c) $f\approx7{,}8\ \text{Hz}$.

Resolução comentada · Método TEF

Comprimento de uma volta (raio $R_T$, desprezando a altitude): $C=2\pi R_T=2\cdot3\cdot6{,}4\times10^{6}=3{,}84\times10^{7}\ \text{m}$.

a) $n=\dfrac{c}{C}=\dfrac{3\times10^{8}}{3{,}84\times10^{7}}\approx7{,}8$ voltas por segundo.

b) $\omega=\dfrac{v}{R}=\dfrac{3\times10^{8}}{6{,}4\times10^{6}}\approx47\ \text{rad/s}$ (ou $\omega=2\pi n$).

c) $f=\dfrac{\omega}{2\pi}=\dfrac{47}{6}\approx7{,}8\ \text{Hz}$ (período $\approx0{,}13\ \text{s}$).

Q02

Física geral — Grandezas e unidades — Unidade da constante gravitacional

Isaac Newton mostrou que a lei de força entre dois corpos celestes obedecia à equação $F=\dfrac{G\,M\,m}{r^2}$, onde $F$ é o módulo da força, $M$ e $m$ as massas dos corpos, $r$ a distância entre ambos e $G$ é a constante universal da gravitação. Determine qual é a unidade de $G$ a partir das unidades de espaço, massa e tempo no Sistema Internacional.

Resposta TEF: $[G]=\text{m}^3\,\text{kg}^{-1}\,\text{s}^{-2}$.

Resolução comentada · Método TEF

$G=\dfrac{F\,r^2}{M\,m}$. No SI, $[F]=\text{N}=\text{kg·m·s}^{-2}$, $[r^2]=\text{m}^2$ e $[M\,m]=\text{kg}^2$:

$$[G]=\frac{\text{kg·m·s}^{-2}\cdot\text{m}^2}{\text{kg}^2}=\text{m}^3\,\text{kg}^{-1}\,\text{s}^{-2}$$

Q03

Mecânica — Cinemática — Gráfico posição × tempo

A posição de um móvel em movimento retilíneo, entre 0 e 8 segundos, é descrita pelo gráfico da posição $x$ em função do tempo $t$.

a) Qual a velocidade média do móvel entre 0 e 8 segundos?

b) Escreva a equação horária $x(t)$ que o móvel descreve no intervalo de 0 a 2 segundos.

Gráfico da posição x (m) em função do tempo t (s): 0→10 m em 2 s, 5 m em 4 s e 5 s, 0 em 6 s, −5 m em 7 s e 0 em 8 s

Resposta TEF: a) $v_m=0$; b) $x(t)=5\,t$ (SI).

Resolução comentada · Método TEF

a) Em $t=0$ e em $t=8\ \text{s}$ o móvel está em $x=0$: o deslocamento é nulo e $v_m=\dfrac{\Delta x}{\Delta t}=\dfrac{0}{8}=0$ (embora a distância percorrida não seja nula).

b) De 0 a 2 s o gráfico é uma reta de $x=0$ a $x=10\ \text{m}$: velocidade $v=\dfrac{10-0}{2-0}=5\ \text{m/s}$ e

$$x(t)=5\,t\quad(\text{em m, com }t\text{ em s; }0\le t\le2)$$

Q04

Mecânica — Cinemática — Lançamento horizontal: altura a partir da trajetória

Um motorista descuidado deixa seu carro estacionado sem acionar o freio de mão. O carro ganha velocidade e acaba caindo de uma altura $H$. A trajetória está indicada na figura; no eixo horizontal está indicada a posição do carro a cada 1 segundo durante a queda (10 m, 20 m e 30 m). Determine o valor da altura $H$.

Trajetória parabólica de um carro caindo de uma altura H, com posições a 10 m, 20 m e 30 m

Resposta TEF: $H=45\ \text{m}$.

Resolução comentada · Método TEF

A posição horizontal avança $10\ \text{m}$ a cada segundo: a componente horizontal da velocidade é constante, $v_x=10\ \text{m/s}$. O carro chega ao solo em $x=30\ \text{m}$, ou seja, após $t=3\ \text{s}$ de queda.

A queda vertical é livre (parte com $v_y=0$): $$H=\frac{g\,t^2}{2}=\frac{10\cdot3^2}{2}=45\ \text{m}$$

Q05

Mecânica — Trabalho e energia — Colisões inelásticas e perda de energia

Uma bola de tênis é solta de uma altura de 10 metros, movimentando-se em queda livre. Ao se chocar com o solo a bola perde 20% da sua energia mecânica total.

a) Quantas colisões com o chão são necessárias para que a altura máxima que a bola atinge, após a colisão, seja menor que 0,5 metro?

b) Qual a velocidade imediatamente após a terceira colisão com o solo?

Resposta TEF: a) 14 colisões; b) $\approx10\ \text{m/s}$.

Resolução comentada · Método TEF

a) A cada choque, a energia (e, portanto, a altura máxima) fica multiplicada por $0{,}8$: $h_n=10\cdot0{,}8^{\,n}$. Queremos $h_n<0{,}5$, isto é, $0{,}8^{\,n}<0{,}05$:

$$n>\frac{\ln0{,}05}{\ln0{,}8}=\frac{-3{,}00}{-0{,}223}\approx13{,}4\Rightarrow n=14$$ (com $n=13$, $h=0{,}55\ \text{m}$; com $n=14$, $h=0{,}44\ \text{m}$).

b) Após o terceiro choque, $h_3=10\cdot0{,}8^3=5{,}12\ \text{m}$. A velocidade logo após o choque é a de subida a essa altura:

$$v=\sqrt{2\,g\,h_3}=\sqrt{2\cdot10\cdot5{,}12}\approx10\ \text{m/s}$$

Q06

Mecânica — Trabalho e energia — Energia potencial elástica: compressão máxima

Um carrinho de massa $m$, com velocidade $v$, movimenta-se sobre uma superfície horizontal conforme a figura. Este carrinho choca-se com uma mola de constante elástica $k$. Determine qual é a deformação máxima $\Delta x$ da mola (desconsidere atritos).

Carrinho de massa m com velocidade v em direção a uma mola de constante k presa a uma parede

Resposta TEF: $\Delta x=v\sqrt{\dfrac{m}{k}}$.

Resolução comentada · Método TEF

Sem atrito, a energia cinética do carrinho se converte integralmente em energia elástica na compressão máxima, quando o carrinho para:

$$\frac{m\,v^2}{2}=\frac{k\,\Delta x^2}{2}\Rightarrow\Delta x=v\sqrt{\frac{m}{k}}$$

Q07

Termologia — Calorimetria — Aquecimento de um lago por usina

Nas proximidades de um lago, com um volume de aproximadamente $4{,}0\times10^{11}\ \text{m}^3$ de água, deseja-se construir uma usina termonuclear. Esta unidade deverá perder 1000 MW de energia (1 MW $=10^6\ \text{W}$), necessária para a refrigeração do reator e que não é utilizada na geração de eletricidade, trocando calor com a água do lago.

a) Determine quanta energia é necessária para elevar a temperatura do lago em $1\ ^\circ\text{C}$.

b) Calcule aproximadamente quantos anos são necessários para que a energia desperdiçada pela usina eleve em $1\ ^\circ\text{C}$ a temperatura do lago, sem perdas de calor.

($c_{água}=4190\ \text{J/(kg·K)}$; $\rho=10^{3}\ \text{kg/m}^3$.)

Resposta TEF: a) $\approx1{,}7\times10^{18}\ \text{J}$; b) $\approx53$ anos.

Resolução comentada · Método TEF

a) Massa do lago: $m=\rho V=10^{3}\cdot4{,}0\times10^{11}=4{,}0\times10^{14}\ \text{kg}$.

$$Q=m\,c\,\Delta\theta=4{,}0\times10^{14}\cdot4190\cdot1\approx1{,}7\times10^{18}\ \text{J}$$

b) $\Delta t=\dfrac{Q}{P}=\dfrac{1{,}7\times10^{18}}{10^{9}}=1{,}7\times10^{9}\ \text{s}\approx\dfrac{1{,}7\times10^{9}}{3{,}15\times10^{7}}\approx53\ \text{anos}$.

Q08

Física moderna — Relatividade restrita — Equivalência massa-energia

O componente básico de uma bomba nuclear é o isótopo $^{235}\text{U}$ de urânio. A desintegração de uma pequena quantidade deste material produz uma enorme quantidade de energia quando comparamos com fontes usuais como carvão, gás natural e petróleo. O entendimento deste fenômeno só foi possível após Albert Einstein mostrar a relação entre a energia e a massa, através da equação $E=mc^2$. Quanta energia é gerada pela desintegração de 1 grama de $^{235}\text{U}$? Expresse em joules.

Resposta TEF: $E=9\times10^{13}\ \text{J}$.

Resolução comentada · Método TEF

Ressalva: na fissão real do $^{235}\text{U}$ apenas cerca de $0{,}1\%$ da massa é convertida em energia; o valor acima é o da conversão total, que é o que a equação $E=mc^2$ pedida no enunciado fornece.

Tomando a massa de 1 g convertida integralmente em energia (como o enunciado sugere): $m=1\ \text{g}=10^{-3}\ \text{kg}$.

$$E=m\,c^2=10^{-3}\cdot(3\times10^{8})^2=9\times10^{13}\ \text{J}$$

Equivale a cerca de $25$ milhões de kWh.

Dados da prova