Prova escrita de 2011. Enunciados reunidos com o texto de apoio de cada questão; figuras recortadas do caderno original. Gabarito oficial não localizado: as respostas são do Método TEF, calculadas e conferidas pelo autor. Prova teórica de 16 questões (8 a escolher). g = 10 m/s². Erros e ambiguidades do original são explicados nas resoluções.
Q01
Matemática aplicada — Cálculo — Velocidade instantânea como limite da velocidade média
Exclusiva do aluno do 1º ano no caderno original
Neste problema você será apresentado a um método desenvolvido por Isaac Newton e Gottfried Leibniz independentemente, para obter a velocidade de um corpo em movimento conhecendo apenas a sua função horária da posição. Considere um móvel cuja equação horária é $x(t)=3t^2-2t+1$, com $x$ em metros e $t$ em segundos.
(a) Qual a posição do móvel nos instantes $t_0=0\ \text{s}$, $t_1=1\ \text{s}$ e $t_2=2\ \text{s}$?
(b) Sabendo que a velocidade média entre $t$ e $t+\Delta t$ é $v_m=\dfrac{x(t+\Delta t)-x(t)}{\Delta t}$, determine a velocidade média nos intervalos $(t_0,t_1)$, $(t_1,t_2)$ e $(t_0,t_2)$.
(c) Determine a velocidade média do móvel entre $t_1$ e $t_1+\Delta t$, em função de $\Delta t$.
(d) A velocidade no instante $t_1=1\ \text{s}$ é obtida fazendo $\Delta t\to0$ na expressão anterior. Determine-a.
(e) Repita o procedimento de (c) e (d) para obter a velocidade em um instante $t$ qualquer.
Resposta TEF: a) $1\ \text{m},\ 2\ \text{m},\ 9\ \text{m}$; b) $1;\ 7;\ 4\ \text{m/s}$; c) $4+3\Delta t$; d) $4\ \text{m/s}$; e) $v(t)=6t-2$.
Conferência: $v(1)=6-2=4\ \text{m/s}$, como em (d). Essa operação é a derivada de $x$ em relação a $t$.
Q02
Física moderna — Relatividade restrita — Energia cinética newtoniana com massa relativística
Exclusiva do aluno do 1º ano no caderno original
Segundo a teoria da Relatividade de Einstein, um elétron relativístico tem uma massa de repouso $m_0$ e uma massa inercial $m=\dfrac{m_0}{\sqrt{1-v^2/c^2}}$, onde $v$ é a velocidade do elétron em um referencial inercial e $c$ a velocidade da luz no vácuo.
a) Escreva a energia cinética newtoniana para o elétron usando a massa inercial da teoria de Einstein, em função de $m_0$, $v$ e $c$.
b) Segundo a Relatividade, a energia total do elétron é $E^2=m_0^2c^4+p^2c^2$, onde $p$ é o momento da partícula. Qual a diferença entre a energia do elétron na teoria de Newton e a relativística?
Resposta TEF: a) $K_N=\dfrac{m_0v^2}{2\sqrt{1-v^2/c^2}}$; b) $E-E_N=\dfrac{m_0c^2\,(\gamma-1)^2}{2\gamma}\approx\dfrac{m_0v^4}{8c^2}$ ($v\ll c$).
Resolução comentada · Método TEF
a) Com $m=\gamma\,m_0$, $\gamma=\dfrac1{\sqrt{1-v^2/c^2}}$: $$K_N=\frac12\,m\,v^2=\frac{m_0\,v^2}{2\sqrt{1-v^2/c^2}}$$
b) A energia relativística é $E=\sqrt{m_0^2c^4+p^2c^2}=\gamma\,m_0c^2$ (com $p=\gamma m_0v$). Na teoria de Newton, tomando a energia de repouso mais a cinética do item (a): $E_N=m_0c^2+\dfrac12\gamma\,m_0v^2$.
Com $\gamma\beta^2=\gamma-\dfrac1\gamma$, onde $\beta=v/c$: $\tfrac12\gamma m_0v^2=\tfrac12m_0c^2\left(\gamma-\tfrac1\gamma\right)$. A diferença é
Para $v\ll c$: $\gamma-1\approx\dfrac{v^2}{2c^2}$ e $E-E_N\approx\dfrac{m_0v^4}{8c^2}$: as teorias coincidem a baixas velocidades e a diferença cresce rapidamente perto de $c$.
Q03
Mecânica — Cinemática — Lançamento perpendicular a um plano inclinado
Uma partícula é lançada com velocidade $v_0$ perpendicularmente a um plano inclinado, de inclinação $\alpha$ com a horizontal, como mostra a figura. Determine: (a) a distância máxima $\overline{AB}$ que a partícula fica do plano inclinado; (b) o alcance da partícula ao longo do plano inclinado; (c) a razão entre $d_1$ e $d_2$ mostrada na figura. (Sendo A o ponto em que a partícula está à distância máxima do plano e B sua projeção sobre o mesmo, $d_1$ é a distância do ponto de lançamento a B e $d_2$ a distância de B ao ponto de retorno da partícula ao plano.)
Resposta TEF: a) $\overline{AB}=\dfrac{v_0^2}{2\,g\cos\alpha}$; b) $R=\dfrac{2\,v_0^2\,\text{sen}\,\alpha}{g\cos^2\alpha}$; c) $\dfrac{d_1}{d_2}=\dfrac13$.
Resolução comentada · Método TEF
Escolhem-se os eixos $x$ (ao longo do plano, para baixo) e $y$ (perpendicular ao plano). A gravidade tem componentes $g_y=-g\cos\alpha$ e $g_x=g\,\text{sen}\,\alpha$. A velocidade inicial é só em $y$: $v_{0y}=v_0$, $v_{0x}=0$.
a) Em $y$, movimento uniformemente retardado: a distância é máxima quando $v_y=0$: $$\overline{AB}=\frac{v_0^2}{2\,g\cos\alpha}\qquad(\text{em }t_A=\tfrac{v_0}{g\cos\alpha})$$
b) A partícula volta ao plano em $T=2t_A=\dfrac{2v_0}{g\cos\alpha}$. Ao longo do plano, parte do repouso com aceleração $g\,\text{sen}\,\alpha$:
c) $d_1$ é o deslocamento em $x$ no instante $t_A=T/2$: $d_1=\dfrac12g\,\text{sen}\,\alpha\left(\dfrac T2\right)^2=\dfrac R4$. Logo $d_2=R-d_1=\dfrac{3R}{4}$ e
$$\frac{d_1}{d_2}=\frac13$$
Q04
Mecânica — Cinemática — Gráficos v × t e distância percorrida
Um paraquedista de 80 kg em queda livre leva 3 minutos, após a abertura (início da contagem do tempo $t=0$) do paraquedas, para atingir o solo de uma altura de 1700 m. O gráfico representa a velocidade do paraquedista nos primeiros dois minutos após a abertura do paraquedas; a dependência da aceleração está indicada no gráfico anexo (inserido).
a) Faça um esboço do gráfico da distância percorrida pelo paraquedista $s(t)$ como função do tempo de queda a partir da abertura do paraquedas ($s(0)=0$).
b) Estime a distância percorrida pelo paraquedista em $t=20\ \text{s}$.
Resposta TEF: a) $s(t)$ crescente, com inclinação inicial de $45\ \text{m/s}$ que diminui até $\approx5\ \text{m/s}$ ($t\gtrsim100\ \text{s}$) e depois é praticamente uma reta, chegando a $1700\ \text{m}$ em $180\ \text{s}$; b) $\approx6\times10^{2}\ \text{m}$.
Resolução comentada · Método TEF
a) A inclinação de $s(t)$ é a velocidade: começa em $45\ \text{m/s}$ (curva muito inclinada), diminui continuamente (concavidade para baixo) até $\approx5\ \text{m/s}$ por volta de $t=100$ a $120\ \text{s}$, e daí em diante $s(t)$ é aproximadamente uma reta de inclinação $5\ \text{m/s}$, atingindo $s(180)=1700\ \text{m}$.
b) O gráfico $v(t)$ é bem descrito por $v=v_f+(v_i-v_f)\,e^{-t/\tau}$ com $v_i=45$, $v_f=5\ \text{m/s}$; pelo gráfico, $v(20)\approx20\ \text{m/s}$, o que dá $\tau\approx20\ \text{s}$ (e aceleração inicial $-40/20=-2\ \text{m/s}^2$, como no gráfico anexo).
Verificação: com o mesmo modelo, $s(180)\approx5\cdot180+40\cdot20=1700\ \text{m}$, como no enunciado.
Q05
Mecânica — Dinâmica — Atrito em uma vala em V
Na figura, um caixote escorrega para baixo em uma vala inclinada cujos lados fazem um ângulo reto entre si. O coeficiente de atrito cinético entre o caixote e a vala é $\mu_C$. Qual é a aceleração do caixote em termos de $\mu_C$, $\theta$ e $g$? (A vala faz um ângulo $\theta$ com a horizontal.)
Componentes do peso: $m\,g\,\text{sen}\,\theta$ ao longo da vala (para baixo) e $m\,g\cos\theta$ perpendicular ao eixo da vala, no plano vertical.
Na seção reta, a vala é um “V” de $90^\circ$: as duas faces têm normais a $45^\circ$ da direção em que o peso é suportado. Cada face exerce uma normal $N$, e a soma das componentes na direção do peso equilibra $m\,g\cos\theta$:
Óptica — Refração da luz — Reflexão interna total em uma lâmina de faces paralelas
O diamante possui índice de refração $n=2{,}4$, maior que o do vidro ($1{,}5$), o que contribui para as múltiplas reflexões internas nas joias. No modelo da figura, um raio de luz penetra numa barra de diamante de faces planas e paralelas, de espessura $D$, com um ângulo $\theta$ com a superfície, como indicado. Determine os valores de $\theta$ para que a luz fique confinada na barra (não saia mais para o ar).
Resposta TEF: Nenhum valor de $\theta$: com faces paralelas, o raio sempre emerge pela face oposta.
Resolução comentada · Método TEF
Ressalva: a figura mostra a luz entrando pela face superior e saindo pela inferior; nessa configuração a pergunta não tem solução. A análise da entrada pela face de extremidade é apresentada como complemento.
Seja $i=90^\circ-\theta$ o ângulo de incidência (em relação à normal) na face de cima. Pela lei de Snell, $\text{sen}\,i=n\,\text{sen}\,r$, de modo que $\text{sen}\,r=\dfrac{\text{sen}\,i}{n}\le\dfrac1n=0{,}42$.
Como as faces são paralelas, o ângulo de incidência na face de baixo é o próprio $r$. A reflexão interna total exigiria $\text{sen}\,r>\dfrac1n$ (ângulo crítico $\theta_c=\text{arcsen}\dfrac1{2{,}4}\approx24{,}6^\circ$). Mas $\text{sen}\,r\le\dfrac1n$ para qualquer $i$, então $r\le\theta_c$ sempre: o raio emerge pela face inferior (princípio da reversibilidade: um raio que entrou por uma face pode sair pela paralela).
Portanto, não há valor de $\theta$ que confine a luz na configuração da figura (entrada pela face superior).
Comentário: o confinamento só ocorre se a luz entrar pela face de extremidade da barra. Com incidência $\alpha$ nessa face, $\text{sen}\,\alpha=n\,\text{sen}\,\beta$ e a incidência nas faces laterais é $90^\circ-\beta$; há reflexão total se $\cos\beta>\dfrac1n$, ou seja, $\text{sen}\,\alpha<\sqrt{n^2-1}=\sqrt{4{,}76}\approx2{,}18>1$. Para $n=2{,}4$ essa condição vale para qualquer $\alpha$ (por isso as fibras e as joias de alto índice “prendem” a luz).
Q07
Óptica — Espelhos esféricos — Imagem de um objeto fora do eixo (espelho gaussiano)
Vamos determinar a posição da imagem formada por um espelho esférico (gaussiano) quando o objeto não se encontra sobre seu eixo principal. Seja $p$ a distância do objeto ao centro (vértice) do espelho e $\theta$ o ângulo com o eixo principal, suficientemente pequeno para que as aproximações gaussianas valham. Se uma imagem bem definida se formar, ela deve estar no plano da figura e a um ângulo $\theta$ com o eixo.
a) Sendo $f$ a distância focal, prove, usando os dois raios ilustrados (um que passa pelo centro e outro paralelo ao eixo principal), que $p'$, a distância da imagem até o centro do espelho, obedece a $\dfrac1p+\dfrac1{p'}=\dfrac{\cos\theta}{f}$.
b) Um raio que sai do objeto atinge o espelho a uma distância $l$ acima de seu centro e encontra o raio que passava pelo centro a uma distância $p^*$ do centro (figura). Mostre que $p^*=p'$, isto é, todos os raios, independentemente de $l$, convergem para o mesmo ponto.
Resposta TEF: a) $\dfrac1p+\dfrac1{p'}=\dfrac{\cos\theta}{f}$ (demonstração abaixo); b) $p^*=p'$.
Resolução comentada · Método TEF
Coordenadas. Vértice $O$ na origem; eixo principal ao longo de $x$ (positivo para o lado dos objetos); na aproximação gaussiana a superfície do espelho é o plano $x\approx0$. Foco $F=(f,0)$, objeto em $P=(p\cos\theta,\ p\,\text{sen}\,\theta)$.
a)Raio pelo vértice: incide em $O$ e reflete simetricamente em relação ao eixo, descendo a $\theta$: reta $y=-x\tan\theta$ (a imagem fica sobre ela). Raio paralelo ao eixo: parte de $P$ na horizontal, atinge o espelho em $(0,\,y_0)$, com $y_0=p\,\text{sen}\,\theta$, e reflete passando por $F$: $y=y_0\,(1-x/f)$.
b) Um raio de $P$ ao ponto $(0,l)$ tem inclinação $m_i=\dfrac{p\,\text{sen}\,\theta-l}{p\cos\theta}=\tan\theta-\dfrac{l}{p\cos\theta}$. Em um espelho esférico de raio $R=2f$, a normal em $(0,l)$ aponta para o centro de curvatura $(R,0)$, isto é, $\vec n\approx(1,\,-l/R)$ para $l\ll R$. A reflexão $\vec d_{out}=\vec d_{in}-2(\vec d_{in}\cdot\vec n)\vec n$, com $\vec d_{in}=(-1,-m_i)$, dá, em primeira ordem, $\vec d_{out}\approx(1,\ -m_i-l/f)$. O raio refletido é $y=l-\left(m_i+\dfrac lf\right)x$.
Interseção com $y=-x\tan\theta$: $x=\dfrac{l}{m_i+l/f-\tan\theta}=\dfrac{l}{\dfrac lf-\dfrac{l}{p\cos\theta}}=\dfrac{p\,f\cos\theta}{p\cos\theta-f}$.
Esse valor não depende de $l$ e coincide com o do item (a): o ponto de encontro está a $x=p^*\cos\theta=p'\cos\theta$, ou seja, $p^*=p'$. Todos os raios convergem para a mesma imagem.
Q08
Mecânica — Quantidade de movimento — Efeito estilingue gravitacional
O efeito estilingue gravitacional já foi bastante usado para impulsionar naves e sondas espaciais sem gasto de combustível, apenas aproveitando o movimento de planetas. Considere um modelo simples: uma nave se aproxima com velocidade $v$ de um planeta (muito mais pesado que a nave) que se move em sua direção, com velocidade $u$; as velocidades são medidas em um referencial inercial. Assuma que a nave apenas inverta o sentido de sua velocidade ao contornar o astro, com os motores desligados. A nave é então lançada com velocidade $v'$, contrária à velocidade inicial. Calcule $v'$ em função de $v$ e $u$, supondo todas as velocidades paralelas.
Resposta TEF: $v'=v+2\,u$.
Resolução comentada · Método TEF
No referencial do planeta (que, por ser muito mais pesado, não é acelerado pela nave), a nave chega com velocidade $v+u$ (soma das velocidades, pois vão um contra o outro). Como a interação gravitacional é conservativa e a nave ganha e perde a mesma energia potencial na aproximação e no afastamento, ela se afasta com a mesma velocidade em módulo, $v+u$, no sentido oposto (nesse referencial, a colisão é “elástica”).
Voltando ao referencial inercial (o planeta se move a $u$, no sentido contrário ao do movimento inicial da nave):
$$v'=(v+u)+u=v+2\,u$$
A nave ganha $2u$ de velocidade à custa de uma variação desprezível da velocidade do planeta.
Q09
Mecânica — Quantidade de movimento — Choque elástico com mola: compressão máxima e velocidades finais
Exclusiva do aluno do 1º ano no caderno original
Uma massa $m_1$, com velocidade inicial $V_0$, atinge um sistema massa-mola, cuja massa é $m_2$, inicialmente em repouso, mas livre para se movimentar. A mola é ideal e possui constante elástica $k$, conforme a figura. Não há atrito com o solo.
a) Qual é a compressão máxima da mola?
b) Se, após um longo tempo, ambos os objetos se deslocam na mesma direção, quais serão as velocidades finais $V_1$ e $V_2$ das massas $m_1$ e $m_2$, respectivamente?
Resposta TEF: a) $x_{max}=V_0\sqrt{\dfrac{m_1\,m_2}{k\,(m_1+m_2)}}$; b) $V_1=\dfrac{m_1-m_2}{m_1+m_2}V_0$ e $V_2=\dfrac{2\,m_1}{m_1+m_2}V_0$.
Resolução comentada · Método TEF
a) A compressão é máxima quando as duas massas têm a mesma velocidade $v$. Conservação do momento: $m_1V_0=(m_1+m_2)\,v$. Conservação da energia: $\dfrac{m_1V_0^2}{2}=\dfrac{(m_1+m_2)v^2}{2}+\dfrac{k\,x^2}{2}$:
Para que ambos sigam na mesma direção ($V_1>0$) é necessário $m_1>m_2$; se $m_1
Q10
Termologia — Transmissão de calor — Formação de gelo em um tanque (condução)
Exclusiva do aluno do 1º ano no caderno original
Em uma região de inverno rigoroso, um tanque com água é deixado aberto ao ar livre até que se forme sobre a superfície da água uma camada de gelo com espessura de 5 cm. O ar acima da água está a $-10\ ^\circ\text{C}$. Calcule a taxa de formação de gelo (em cm/h) sobre a superfície inferior da camada de gelo. Considere a condutividade térmica, a densidade e o calor de fusão do gelo como $0{,}0040\ \text{cal/(s·cm·°C)}$, $0{,}92\ \text{g/cm}^3$ e $80\ \text{cal/g}$, respectivamente. Assuma que nenhuma quantidade de calor deixa ou passa para a água através das paredes do tanque.
Resposta TEF: $\approx0{,}39\ \text{cm/h}$.
Resolução comentada · Método TEF
A face inferior do gelo está a $0\ ^\circ\text{C}$ (água em equilíbrio com o gelo) e a superior, a $-10\ ^\circ\text{C}$. O fluxo de calor por unidade de área, conduzido da água para o ar através do gelo de espessura $e=5\ \text{cm}$, é
Esse calor é liberado pela água que congela na base: em um intervalo $dt$, uma espessura $dx$ de gelo se forma, com massa por unidade de área $\rho\,dx$ e calor liberado $\rho\,L\,dx$ por unidade de área:
Mecânica — Quantidade de movimento — Cunha móvel sem atrito: aceleração e velocidade
Considere um plano inclinado (uma cunha) de massa $M$ e ângulo de inclinação $\theta$ que pode deslizar sem atrito sobre o chão. Um pequeno bloco de massa $m$ também pode deslizar sem atrito sobre a superfície do plano inclinado. O bloco é solto, a partir do repouso, de uma altura $h$ em relação ao solo.
a) Calcule a aceleração da cunha em função de $m$, $M$, $\theta$ e $g$.
b) Calcule a velocidade da cunha quando o bloco chegar ao chão. Expresse o resultado em termos de $m$, $M$, $\theta$, $h$ e $g$.
Resposta TEF: a) $A=\dfrac{m\,g\,\text{sen}\,\theta\cos\theta}{M+m\,\text{sen}^2\theta}$; b) $V=m\cos\theta\sqrt{\dfrac{2\,g\,h}{(M+m)\,(M+m\,\text{sen}^2\theta)}}$.
Resolução comentada · Método TEF
a) Seja $N$ a normal entre bloco e cunha e $A$ a aceleração da cunha (horizontal, em sentido oposto ao do deslocamento horizontal do bloco). Cunha: $M\,A=N\,\text{sen}\,\theta$. Bloco, na direção perpendicular ao plano, no referencial da cunha (não inercial): $N=m\,g\cos\theta-m\,A\,\text{sen}\,\theta$.
b) Seja $u$ a velocidade do bloco em relação à cunha (ao longo do plano) e $V$ a da cunha. O momento horizontal total é nulo: $m\,(u\cos\theta-V)-M\,V=0\Rightarrow V=\dfrac{m\,u\cos\theta}{M+m}$.
Energia: $m\,g\,h=\dfrac12m\left[(u\cos\theta-V)^2+u^2\text{sen}^2\theta\right]+\dfrac12M\,V^2=\dfrac12\,m\,u^2\,\dfrac{M+m\,\text{sen}^2\theta}{M+m}$, ou seja $u^2=\dfrac{2\,g\,h\,(M+m)}{M+m\,\text{sen}^2\theta}$.
Verificação cruzada: a aceleração constante $A$ aplicada ao deslocamento da cunha, $X=\dfrac{m\,h\cot\theta}{M+m}$, dá $V^2=2AX$, que coincide com o resultado acima.
Q12
Mecânica — Dinâmica — Movimento circular com mola e oscilações radiais
Um corpo de massa $m$ é conectado por uma mola a um ponto $O$ sobre uma superfície horizontal, na qual o corpo pode se mover sem atrito. O comprimento relaxado da mola é $l_0$ e sua constante elástica é $k$. Num dado instante, a distância do corpo até $O$ é $r$. Suponha que se faça o corpo girar com frequência angular $\omega$ e que no instante inicial ele não tenha componente radial de velocidade.
a) Calcule o raio de equilíbrio $r=r_0$ para o qual o corpo realiza movimento circular em torno de $O$. Expresse $r_0$ em termos de $m$, $k$, $l_0$ e $\omega$.
b) Calcule o período de pequenas oscilações radiais do corpo em relação ao raio de equilíbrio $r_0$. Imagine que inicialmente o corpo se encontrava em movimento circular em $r_0$ com velocidade angular $\omega_0$ quando uma pequena perturbação radial fez com que ela começasse a oscilar. Dê o resultado em função de $k$, $m$ e $\omega_0$. (Pode ser útil: $(1+x)^n\approx1+nx$ para $x\ll1$.)
Resposta TEF: a) $r_0=\dfrac{k\,l_0}{k-m\,\omega^{2}}$ (para $k>m\omega^2$); b) $T=\dfrac{2\pi}{\sqrt{k/m+3\,\omega_0^{2}}}$.
Resolução comentada · Método TEF
a) No movimento circular, a força elástica é a resultante centrípeta: $k\,(r_0-l_0)=m\,\omega^2\,r_0\Rightarrow r_0=\dfrac{k\,l_0}{k-m\,\omega^2}$ (exige $k>m\omega^2$).
b) A força é central, logo o momento angular $L=m\,r^2\omega$ se conserva. Na direção radial: $m\,\ddot r=\dfrac{L^2}{m\,r^3}-k\,(r-l_0)$.
Com $r=r_0+\delta$: $\dfrac{L^2}{m\,r^3}\approx\dfrac{L^2}{m\,r_0^3}\left(1-\dfrac{3\delta}{r_0}\right)$; no equilíbrio, $\dfrac{L^2}{m\,r_0^3}=m\,r_0\,\omega_0^2=k\,(r_0-l_0)$. Então
Mecânica — Trabalho e energia — Dois discos ligados por mola: MHS, perda de contato e saltos
Dois discos estão ligados por uma mola de constante elástica $k$. Cada disco tem massa $m$ e a gravidade local vale $g$. Eles estão sobre o chão, conforme o desenho. Quando o sistema está em equilíbrio (em repouso) sob a ação do peso, a distância entre os discos é $l$.
a) Calcule o comprimento $l_0$ relaxado desta mola, em termos de $m$, $l$, $k$ e $g$. Pressiona-se o disco superior para baixo, deslocando-o de uma quantidade $x$, e o mantém-se assim em repouso. Solta-se então o sistema.
b) Supondo que o disco inferior não perca contato com o solo, mostre que o disco superior realizará um movimento harmônico simples e calcule seu período.
c) Há um valor máximo de $x$ para o qual a suposição do item anterior seja válida (o disco inferior não perde contato com o solo). Chame esse $x$ limite de $x_0$ e calcule-o.
d) Pressionando-se o disco superior de um $x>x_0$, o disco inferior será levantado da mesa. Calcule a altura máxima atingida pelo centro de massa do sistema, em termos de $x$ e dos parâmetros básicos.
e) Enquanto o sistema estiver todo no ar, os discos vão oscilar em relação ao centro de massa. Calcule o período dessas oscilações.
Resposta TEF: a) $l_0=l+\dfrac{m\,g}{k}$; b) $T=2\pi\sqrt{\dfrac mk}$; c) $x_0=\dfrac{2\,m\,g}{k}$; d) $\Delta h_{cm}=\dfrac{k\,x^{2}}{8\,m\,g}+\dfrac{m\,g}{2\,k}$ acima do centro de massa de equilíbrio; e) $T=2\pi\sqrt{\dfrac{m}{2k}}$.
Resolução comentada · Método TEF
a) No equilíbrio, a mola (comprimida de $l_0-l$) sustenta o disco superior: $k\,(l_0-l)=m\,g\Rightarrow l_0=l+\dfrac{m\,g}{k}$.
b) Seja $y$ o deslocamento do disco superior em relação ao equilíbrio (para cima). A força líquida é $-k\,y$ (a parte constante $m g$ é compensada pela compressão de equilíbrio): $m\,\ddot y=-k\,y$, um MHS de período
c) Com o disco superior $y$ acima do equilíbrio, a mola tem comprimento $l+y$ e exerce sobre o disco inferior a força vertical (positiva para cima) $k\,(l+y-l_0)=k\,y-m\,g$. A normal do chão é $N=m\,g-(k\,y-m\,g)=2\,m\,g-k\,y$. O contato é mantido enquanto $N\ge0$ no ponto mais alto ($y=x$):
$$x_0=\frac{2\,m\,g}{k}$$
d) O disco inferior deixa o chão quando $y=x_0$. Nesse instante, o disco superior tem velocidade $v_1$ dada pela energia do MHS: $v_1^2=\dfrac km\,(x^2-x_0^2)$, e o inferior está parado. A velocidade do centro de massa é $V_{cm}=\dfrac{v_1}{2}$, e daí em diante só atua a gravidade sobre o sistema (a mola é força interna): o centro de massa sobe mais $\dfrac{V_{cm}^2}{2g}=\dfrac{v_1^2}{8g}$.
Em $y=x_0$, o centro de massa já subiu $\dfrac{x_0}{2}=\dfrac{m\,g}{k}$ em relação à sua posição de equilíbrio. Assim, a elevação máxima do centro de massa (em relação à posição de equilíbrio) é
Em relação à mesa, a altura (dos centros) é $\dfrac{l}{2}+\Delta h_{cm}$. Para $x=x_0$, resulta $\Delta h_{cm}=\dfrac{m g}{k}$, coerente com o início do descolamento.
e) No ar, os discos oscilam com a massa reduzida $\mu=\dfrac m2$ sob a força da mola:
Termologia — Mudanças de estado — Condensação lenta em um cilindro com êmbolo
Um cilindro de paredes condutoras térmicas possui um êmbolo de massa $m$ bem ajustado (mas sem atritos), cuja seção transversal é $S$. O cilindro contém água e vapor à temperatura $T=100\ ^\circ\text{C}$, ou seja, na temperatura de condensação. Observa-se que o êmbolo cai vagarosamente, com velocidade constante $v$, porque alguma quantidade de calor flui através das paredes do cilindro, fazendo com que um pouco de vapor se condense continuamente. A densidade do vapor no interior do recipiente é $\rho$.
a) Calcule a taxa de condensação do vapor e a variação de massa de vapor por unidade de tempo, em termos dos parâmetros dados.
b) A que taxa o calor flui para fora do cilindro? Dê o resultado em função do calor de condensação $L$ da água e dos outros dados.
c) Qual a taxa de variação da energia interna do vapor? O calor específico molar a volume constante do vapor é $C_v$ e sua massa molar é $M$.
d) Qual a taxa de variação da energia interna da água líquida?
Resposta TEF: a) $\dfrac{dm_v}{dt}=-\rho\,S\,v$; b) $\dot Q=L\,\rho\,S\,v$; c) $\dfrac{dU_v}{dt}=-\dfrac{\rho\,S\,v}{M}\,C_v\,T$; d) $\dfrac{dU_\ell}{dt}=\rho\,S\,v\left[\dfrac{(C_v+R)\,T}{M}-L\right]$, $T=373\ \text{K}$.
Resolução comentada · Método TEF
Ressalva: o vapor foi tratado como gás ideal nos itens (c) e (d), como sugere o uso do calor molar $C_v$; $R$ é a constante universal dos gases e $T=373\ \text{K}$. O valor absoluto de (d) depende da referência de energia adotada para o líquido.
A pressão no cilindro é constante ($P=P_{ext}+m\,g/S$) e a temperatura também ($100\ ^\circ\text{C}$): o vapor está saturado, com densidade $\rho$ constante.
a) O êmbolo desce com velocidade $v$, de modo que o volume do vapor diminui à taxa $S\,v$. Com densidade $\rho$ constante, a massa de vapor diminui, e a massa condensada por unidade de tempo é
b) A condensação ocorre à pressão e temperatura constantes; o calor liberado por unidade de massa é o calor latente $L$ (que inclui o trabalho de compressão do êmbolo sobre o vapor). O calor que sai pelas paredes é
$$\dot Q=L\,\dot m_{cond}=L\,\rho\,S\,v$$
c) Para o vapor como gás ideal com $T$ constante, $U_v=\dfrac{m_v}{M}\,C_v\,T$ e só $m_v$ varia:
d) Para o sistema todo (líquido + vapor), a primeira lei dá $\dfrac{dU}{dt}=-\dot Q+P\,S\,v$ (calor que sai; trabalho do exterior sobre o sistema, pela descida do êmbolo). Com $P=\dfrac{\rho\,R\,T}{M}$ (gás ideal): $P\,S\,v=\dfrac{\rho\,S\,v\,R\,T}{M}$. Então
$$\frac{dU_\ell}{dt}=\frac{dU}{dt}-\frac{dU_v}{dt}=-L\rho S v+\frac{\rho S v\,R\,T}{M}+\frac{\rho S v\,C_v\,T}{M}=\rho\,S\,v\left[\frac{(C_v+R)\,T}{M}-L\right]$$
Interpretação: o resultado é $\dot m_{cond}\,u_\ell$, em que $u_\ell=u_v+\dfrac P\rho-L=\dfrac{(C_v+R)\,T}{M}-L$ é a energia interna específica do líquido na mesma referência de energia usada para o vapor (desprezando o volume do líquido). Numericamente, $L\approx2{,}26\times10^{6}\ \text{J/kg}$ é maior que $\dfrac{C_pT}{M}\approx5\times10^{5}\ \text{J/kg}$, e o colchete é negativo: o líquido tem menos energia interna por kg que o vapor, de modo que a energia interna do líquido diminui nessa referência.
Q15
Termologia — Termodinâmica — Segunda lei: entropia e equilíbrio térmico
Há um copo de água em contato com o ambiente, e ambos se encontram a uma temperatura $T_0$.
a) Mostre, usando o conceito de entropia (e a segunda lei da termodinâmica), que não é natural ver a água do copo variar sua temperatura e resolver se manter em equilíbrio a uma temperatura diferente de $T_0$. Dicas: a variação de entropia de uma massa $m$ de calor específico $c$ que vai de $T_0$ a $T$ é $\Delta S=m\,c\,\ln\dfrac{T}{T_0}$; vale também $\ln(1+x)-1$ e $x\neq0$.
b) Dois corpos em contato térmico encontram-se isolados do resto do universo. Eles possuem massas e calores específicos $m_1,c_1$ e $m_2,c_2$. Se ambos estão na mesma temperatura $T_0$, mostre que não é esperado que eles troquem calor e se equilibrem (termicamente) em temperaturas diferentes.
Resposta TEF: Em ambos os casos $\Delta S_{total}<0$, o que violaria a segunda lei; logo os processos não ocorrem espontaneamente.
Resolução comentada · Método TEF
a) Suponha que a água passe de $T_0$ para $T\neq T_0$. A água troca com o ambiente (grande reservatório a $T_0$) o calor $Q=m\,c\,(T-T_0)$ (recebido pela água se $T>T_0$). As variações de entropia são
Com $x=\dfrac{T-T_0}{T_0}>-1$ e $x\neq0$: $$\Delta S_{total}=m\,c\,\big[\ln(1+x)-x\big]<0$$
Como a entropia do conjunto (água + ambiente, isolado) não pode diminuir, esse processo é impossível: o estado de equilíbrio é $T=T_0$.
b) Suponha que, isolados, os corpos fiquem em $T_1$ e $T_2$ finais, com $x_i=\dfrac{T_i-T_0}{T_0}$. A conservação da energia exige $m_1c_1(T_1-T_0)+m_2c_2(T_2-T_0)=0$, isto é, $m_1c_1x_1+m_2c_2x_2=0$.
$$\Delta S=m_1c_1\ln(1+x_1)+m_2c_2\ln(1+x_2)
Logo $\Delta S<0$ (a menos que $x_1=x_2=0$), o que contraria a segunda lei para um sistema isolado: não há troca de calor espontânea entre corpos à mesma temperatura. (Para $|x|\ll1$: $\Delta S\approx-\tfrac12\left(m_1c_1x_1^2+m_2c_2x_2^2\right)<0$, usando $\ln(1+x)\approx x-x^2/2$.)
Q16
Ondas — Ondas sonoras — Efeito Doppler com vento
Ana Beatriz está sentada próxima à janela aberta de um trem que se move com velocidade $v$ para o norte. Seu tio está parado perto dos trilhos vendo o trem se afastar. O apito da locomotiva vibra com frequência $f_0$ e a velocidade do som no ar vale $s$.
a) Se o ar estiver parado, quais são as frequências ouvidas pelo tio e por Ana, em função de $v$, $f_0$ e $s$?
b) Se um vento constante e uniforme soprar à velocidade $u$ para o norte, quais serão as frequências ouvidas pelo tio e por Ana, em função de $v$, $f_0$, $s$ e $u$?
Resposta TEF: a) tio: $f=\dfrac{f_0\,s}{s+v}$; Ana: $f_0$. b) tio: $f=f_0\,\dfrac{s-u}{s-u+v}$; Ana: $f_0$.
Resolução comentada · Método TEF
Efeito Doppler: $f=f_0\,\dfrac{s-v_o}{s-v_f}$, com $v_o$ e $v_f$ as componentes das velocidades do observador e da fonte em relação ao ar ao longo da direção de propagação do som (da fonte ao observador).
a) Ar parado. O tio está atrás do trem, que se afasta: o som vai do apito para o sul. A fonte se afasta do tio ($v_f=-v$ na direção de propagação) e o tio está parado ($v_o=0$):
$$f_{tio}=f_0\,\frac{s}{s+v}$$
Ana viaja junto com a fonte (sem movimento relativo): $f_{Ana}=f_0$.
b) Com vento de $u$ para o norte, as velocidades em relação ao ar são: fonte $(v-u)$ para o norte; tio $u$ para o sul (ele está parado em relação ao solo e o ar passa por ele para o norte). O som se propaga em relação ao ar com velocidade $s$. Na direção de propagação (sul): $v_o=u$ e $v_f=-(v-u)=u-v$:
