OBF 2012 — 2ª fase · Nível III (3ª série) | Física resolvida

Q01

Mecânica — Cinemática — Lançamento horizontal a partir de fotos estroboscópicas

Uma bola rola sem deslizar por uma superfície plana até atingir um degrau (posição 1 da figura) a uma altura $H$ do chão. Uma máquina fotográfica fez várias fotos em sequência do movimento da bola, compostas para formar a figura. Cada foto foi tirada com um intervalo de 0,3 s. Na escala real, $1\ \text{m}=1\ \text{cm}$ (da sua folha de papel). Determine, a partir dos dados e medições na figura: a) a velocidade $V_x$ da bolinha na direção horizontal, em m/s; b) a aceleração gravitacional local, em m/s².

Fotos sucessivas de uma bola que rola num degrau (posição 1) e cai até o chão (posição 2), com altura H

Gabarito oficial: a) $5{,}0\le V_x\le5{,}1\ \text{m/s}$; b) $8{,}2\le g\le8{,}5\ \text{m/s}^2$.

Resolução comentada · Método TEF

Ressalva: as medidas do gabarito oficial foram feitas sobre a prova impressa em escala real; numa tela a figura não tem a mesma escala.

a) Na horizontal o movimento é uniforme: de $x=0$ a $x\approx7{,}5\ \text{m}$ em $1{,}5\ \text{s}$, $V_x=\dfrac{7{,}5}{1{,}5}=5{,}0\ \text{m/s}$.

b) Na vertical, $y=\dfrac g2\,t^2$; com $y\approx9{,}4\ \text{m}$ em $t=1{,}5\ \text{s}$ (ou pela diferença entre deslocamentos sucessivos, $\Delta^2y=g\,T^2$):

$$g=\frac{2\,y}{t^2}=\frac{2\cdot9{,}4}{1{,}5^2}\approx8{,}4\ \text{m/s}^2$$

Q02

Mecânica — Trabalho e energia — Velocidade na queda e colisão inelástica

(Mesma situação.) Use o valor da aceleração gravitacional local obtido na questão anterior. a) Calcule o módulo da velocidade da bolinha na posição 2. b) Ao chocar-se com o chão a bolinha perde 30% da sua energia. Qual será a altura máxima que a bolinha atingirá na sequência do movimento?

Gabarito oficial: a) $13{,}2\le v_2\le13{,}8\ \text{m/s}$; b) $6{,}0\le H\le6{,}3\ \text{m}$.

Resolução comentada · Método TEF

Ressalva: as medidas do gabarito oficial foram feitas sobre a prova impressa em escala real; numa tela a figura não tem a mesma escala.

a) Com $g\approx8{,}4\ \text{m/s}^2$ e queda de $1{,}5\ \text{s}$: $v_y=12{,}6\ \text{m/s}$ e $v_x=5{,}0\ \text{m/s}$:

$$v_2=\sqrt{v_x^2+v_y^2}=\sqrt{5{,}0^2+12{,}6^2}\approx13{,}6\ \text{m/s}$$

b) No choque só $v_y$ é alterado e a energia total fica $70\%$: $v_x^2+v_y'^2=0{,}7\,(v_x^2+v_y^2)\Rightarrow v_y'^2=0{,}7\,v_y^2-0{,}3\,v_x^2=0{,}7\cdot159-0{,}3\cdot25\approx104\ \text{m}^2/\text{s}^2$.

$$H=\frac{v_y'^2}{2g}=\frac{104}{16{,}8}\approx6{,}2\ \text{m}$$

Q03

Termologia — Termodinâmica — Variação de entropia por transferência de calor

A temperatura na superfície do Sol é de aproximadamente 6000 K. Num dia normal, a superfície da Terra recebe do Sol cerca de $1000\ \text{W/m}^2$. Durante 10 horas recebendo a radiação solar, a temperatura numa superfície de $1\ \text{m}^2$ mantém-se em 300 K. Qual a variação de entropia desta área da Terra, considerando esta quantidade de energia transferida do Sol?

Gabarito oficial: $\Delta S=1{,}2\times10^{5}\ \text{J/K}=120\ \text{kJ/K}$.

Resolução comentada · Método TEF

Energia recebida em 10 h por $1\ \text{m}^2$: $Q=P\,A\,t=1000\cdot1\cdot36\,000=3{,}6\times10^{7}\ \text{J}$.

A área da Terra recebe esse calor à temperatura constante $T=300\ \text{K}$ (processo isotérmico):

$$\Delta S_{Terra}=\frac{Q}{T}=\frac{3{,}6\times10^{7}}{300}=1{,}2\times10^{5}\ \text{J/K}$$

Para comparação, o Sol perde entropia $\dfrac{Q}{6000}=6{,}0\times10^{3}\ \text{J/K}$; a soma é positiva (cerca de $1{,}14\times10^{5}\ \text{J/K}$), em acordo com a segunda lei.

Q04

Óptica — Lentes esféricas — Foco e tipo de lente a partir da imagem

Uma lente foi utilizada para fazer uma imagem da régua fornecida no início da prova, quando esta foi posicionada a 5 cm da lente. A imagem observada está indicada na figura. Determine o foco e o tipo da lente utilizada.

Imagem de uma régua (marcas 8 a 12) observada através de uma lente circular

Gabarito oficial: $-6{,}5\ \text{cm}\le f\le-5{,}0\ \text{cm}$; lente divergente.

Resolução comentada · Método TEF

Ressalva: as medidas do gabarito oficial foram feitas sobre a prova impressa em escala real; numa tela a figura não tem a mesma escala. A ampliação foi estimada na figura original.

A imagem é virtual, direita e menor que o objeto (a divisão de 1 cm da régua aparece com $\approx0{,}5$ a $0{,}56$ do tamanho real): só lentes divergentes formam esse tipo de imagem para um objeto real.

Com $p=5\ \text{cm}$ e ampliação $m=\dfrac{|q|}{p}\approx0{,}5$ a $0{,}56$ (imagem virtual, $q<0$): $f=\dfrac{p\,m}{m-1}$:

$$f\approx-5{,}0\ \text{a}\ -6{,}5\ \text{cm}$$

Q05

Mecânica — Dinâmica de rotação — Cilindro que rola: energias de translação e rotação

Um cilindro de massa $m$ e raio $R$ é solto de uma altura $h$ como indicado na figura. Na rampa inclinada o cilindro rola sem deslizar. Na parte horizontal não há atrito entre o cilindro e a superfície. Ao final da superfície horizontal é fixa uma mola de constante elástica $k$. Ao colidir com a mola, toda a energia cinética de rotação do cilindro é dissipada por atrito no anteparo fixo na outra extremidade da mola. A energia cinética de rotação é $E_R=\tfrac12 I\omega^2$, com $I=\tfrac12 mR^2$. Use $g$ para a gravidade.

a) Determine a deformação máxima $X$ que a mola sofrerá durante a colisão.

b) Determine a altura máxima $H$, em relação à horizontal, que o cilindro atingirá ao retornar à rampa após a primeira colisão com a mola.

Cilindro de massa m e raio R sobre uma rampa de altura h e ângulo θ, com uma mola de constante k no final do trecho horizontal

Gabarito oficial: a) $X=\sqrt{\dfrac{4\,m\,g\,h}{3\,k}}$; b) $H=\dfrac{2}{3}\,h$.

Resolução comentada · Método TEF

Sem deslizamento, $v_{cm}=\omega R$. Ao chegar à base: $m\,g\,h=\tfrac12m\,v^2+\tfrac12\left(\tfrac12mR^2\right)\omega^2=\tfrac12m\,v^2+\tfrac14m\,v^2=\tfrac34m\,v^2$. Portanto $E_{trans}=\tfrac12m\,v^2=\tfrac23\,m\,g\,h$ e $E_{rot}=\tfrac13\,m\,g\,h$.

a) Só a energia de translação comprime a mola: $\tfrac12k\,X^2=\tfrac23\,m\,g\,h$:

$$X=\sqrt{\frac{4\,m\,g\,h}{3\,k}}$$

b) A energia de rotação foi dissipada no anteparo; o cilindro sai (sem rotação) com $\tfrac23$ da energia original, que se converte em energia potencial ao retornar (sobe sem rolar, pois não há atrito na parte horizontal e a rotação foi dissipada):

$$m\,g\,H=\tfrac23\,m\,g\,h\ \Rightarrow\ H=\tfrac23\,h$$

Q06

Eletricidade — Indução eletromagnética — Força eletromotriz de movimento e potência

Um cilindro (barra) condutor de 35 cm é livre para deslizar sobre duas barras, também condutoras, conectadas aos terminais de dois resistores de $2\ \Omega$ e $5\ \Omega$ (figura), formando um circuito. Este circuito está numa região de campo magnético constante $B=2{,}5\ \text{T}$, perpendicular à folha e penetrando nesta. O cilindro se movimenta com velocidade constante de $8\ \text{m/s}$ devido a um agente externo.

a) Calcule a potência total dissipada no circuito.

b) Determine o módulo da força do agente externo que mantém o cilindro com velocidade constante $v$.

Barra condutora que se move com velocidade v para a esquerda sobre trilhos ligados a resistores de 2 Ω e 5 Ω, em campo magnético B entrando na folha

Gabarito oficial: a) $P\approx34\ \text{W}$ ($34{,}3\ \text{W}$); b) $F\approx4{,}3\ \text{N}$.

Resolução comentada · Método TEF

A f.e.m. entre as extremidades da barra é $\varepsilon=B\,\ell\,v=2{,}5\cdot0{,}35\cdot8=7{,}0\ \text{V}$. Os dois resistores ficam ligados em paralelo à barra (cada lado forma um circuito com a barra), cada um submetido a $7\ \text{V}$.

a) $i_{tot}=\dfrac{7}{2}+\dfrac75=3{,}5+1{,}4=4{,}9\ \text{A}$ e

$$P=\varepsilon\,i_{tot}=7\cdot4{,}9=34{,}3\ \text{W}$$

b) Em velocidade constante, a potência mecânica do agente externo é igual à dissipada: $P=F\,v$:

$$F=\frac{P}{v}=\frac{34{,}3}{8}\approx4{,}3\ \text{N}$$ (igual à força magnética $B\,i_{tot}\,\ell=2{,}5\cdot4{,}9\cdot0{,}35\approx4{,}3\ \text{N}$).

Q07

Eletricidade — Campo elétrico — Carga em campos de dois capacitores perpendiculares

Uma carga $q<0$ de massa $m$ é colocada em repouso no ponto $(0,0)$ de um sistema de coordenadas $(x,y)$ posicionado numa região com dois capacitores de placas planas. O capacitor 1 tem uma separação entre as placas de $2L$ e o capacitor 2, de $2H$. Os capacitores estão posicionados perpendicularmente entre si e submetidos a diferenças de potencial $V_1$ e $V_2$, conforme a figura. Desconsidere a gravidade e os efeitos de borda. O campo do capacitor 2 existe só na região $L\le x\le2L$.

a) Determine a velocidade vetorial da carga $q$ na posição $(L,0)$.

b) Determine o valor da diferença de potencial $V_2$ para que a carga $q$ atinja o ponto $(2L,H)$.

Dois capacitores de placas planas perpendiculares: o 1 (separação 2L, tensão V1) e o 2 (separação 2H, tensão V2); carga q na origem

Gabarito oficial: a) $\vec v=\sqrt{\dfrac{-q\,V_1}{m}}\ \hat x$; b) $V_2=\left[\dfrac{H}{(\sqrt2-1)\,L}\right]^{2}V_1$.

Resolução comentada · Método TEF

Ressalva: na correção oficial o fator está escrito de forma resumida; a expressão acima mantém a consistência dimensional (V₂ proporcional a V₁ e adimensional em H/L), com a dedução completa.

O campo do capacitor 1 é $E_1=\dfrac{V_1}{2L}$ (direção $x$); como $q<0$, a aceleração é $a_x=\dfrac{|q|\,V_1}{2\,m\,L}$, no sentido de $+x$, em toda a região ($0\le x\le2L$). O campo do capacitor 2, $E_2=\dfrac{V_2}{2H}$ (direção $y$), só existe em $L\le x\le2L$, com $a_y=\dfrac{|q|\,V_2}{2\,m\,H}$.

a) De $x=0$ a $x=L$, partindo do repouso (Torricelli): $v_x^2=2\,a_x\,L=\dfrac{|q|\,V_1}{m}$:

$$\vec v(L,0)=\sqrt{\frac{|q|\,V_1}{m}}\ \hat x=\sqrt{\frac{-q\,V_1}{m}}\ \hat x$$

b) De $(L,0)$ até $x=2L$ a carga leva o tempo $t$ dado por $L=v_x\,t+\tfrac12a_x\,t^2$, com $v_x=\sqrt{2a_xL}$: $\tfrac12a_xt^2+\sqrt{2a_xL}\,t-L=0\Rightarrow t=(\sqrt2-1)\sqrt{\dfrac{2L}{a_x}}$, ou $t^2=(\sqrt2-1)^2\dfrac{4\,m\,L^2}{|q|\,V_1}$.

Para atingir $y=H$ (deslocamento vertical partindo de $v_y=0$) nesse mesmo tempo: $H=\tfrac12a_y\,t^2=\dfrac{|q|\,V_2}{4\,m\,H}\,t^2$. Substituindo $t^2$:

$$H=\frac{|q|\,V_2}{4\,m\,H}\cdot(\sqrt2-1)^2\frac{4\,m\,L^2}{|q|\,V_1}\ \Rightarrow\ V_2=\left[\frac{H}{(\sqrt2-1)\,L}\right]^{2}V_1$$

Q08

Eletricidade — Eletrodinâmica — Projeto de um circuito a partir de correntes medidas

Um circuito elétrico único é montado com dois resistores $R_1=100\ \Omega$ e $R_2=1\ \text{k}\Omega$ e duas fontes que fornecem $10\ \text{V}$ e $5\ \text{V}$. Nos resistores $R_1$ e $R_2$ foram medidas as correntes $i_1=0{,}05\ \text{A}$ e $i_2=0{,}005\ \text{A}$, respectivamente. As fontes não devem ser associadas em série e/ou em paralelo. Desenhe o circuito (use a simbologia indicada: resistores, fontes e fio para conexões).

Gabarito oficial: Fonte de 10 V em série com $R_1$; a fonte de 5 V em paralelo com $R_2$ (cada fonte em um ramo diferente).

Resolução comentada · Método TEF

Tensões nos resistores: $V_1=R_1\,i_1=100\cdot0{,}05=5\ \text{V}$ e $V_2=R_2\,i_2=1000\cdot0{,}005=5\ \text{V}$. Como $i_1\neq i_2$, os resistores não estão em série.

Ligue a fonte de $10\ \text{V}$ em série com $R_1$, e ligue a outra extremidade de $R_1$ a um nó $A$. Entre o nó $A$ e o terminal negativo da fonte de $10\ \text{V}$ coloque, em paralelo, o resistor $R_2$ e a fonte de $5\ \text{V}$ (terminal positivo no nó $A$).

Verificação: o nó $A$ está a $5\ \text{V}$ (imposto pela fonte de $5\ \text{V}$). Então $i_1=\dfrac{10-5}{100}=0{,}05\ \text{A}$ ✓ e $i_2=\dfrac{5}{1000}=0{,}005\ \text{A}$ ✓; a fonte de $5\ \text{V}$ absorve $0{,}05-0{,}005=0{,}045\ \text{A}$ (é carregada).

Dados da prova