OBF 2012 — 2ª fase · Nível I (8º e 9º anos) | Física resolvida

Q01

Física geral — Medidas — Medidas de comprimento e massa a partir da densidade superficial

A folha de papel na qual esta prova foi impressa tem uma densidade de $75\ \text{g/m}^2$. Considere o retângulo desenhado.

a) Meça os valores de $L_1$ e $L_2$ e indique seus valores expressos em cm.

b) Se este retângulo for recortado e sua massa $M_P$ aferida com uma balança, qual será o valor em gramas?

Retângulo com lados L1 (horizontal) e L2 (vertical)

Gabarito oficial: a) $4{,}5\ \text{cm}\le L_1\le4{,}6\ \text{cm}$ e $3{,}0\ \text{cm}\le L_2\le3{,}1\ \text{cm}$; b) $0{,}10\ \text{g}\le M_P\le0{,}11\ \text{g}$.

Resolução comentada · Método TEF

Ressalva: as medidas do gabarito oficial foram feitas sobre a prova impressa em escala real; numa tela a figura não tem a mesma escala.

a) Medindo com a régua de 20 cm, no papel impresso em escala real: $L_1\approx4{,}5$ a $4{,}6\ \text{cm}$ e $L_2\approx3{,}0$ a $3{,}1\ \text{cm}$.

b) Área: $A\approx4{,}55\cdot3{,}05\approx13{,}9\ \text{cm}^2=1{,}39\times10^{-3}\ \text{m}^2$. A massa é a densidade superficial vezes a área:

$$M_P=75\ \text{g/m}^2\cdot1{,}39\times10^{-3}\ \text{m}^2\approx0{,}10\ \text{g}$$

Q02

Mecânica — Movimento circular — Circunferência e velocidade do ponteiro de minutos

Considere um relógio analógico com um ponteiro de minutos (ponteiro maior) e outro menor que indica a hora, como na figura.

a) Determine o comprimento $L$ da circunferência que a extremidade do ponteiro de minutos circunscreve em 1 hora. Seu valor deve ser expresso em cm. (use $\pi=3$)

b) Qual a velocidade da extremidade do ponteiro de minutos em cm/s?

Relógio analógico com o ponteiro de minutos apontando para as 12 e o ponteiro de horas para as 3

Gabarito oficial: a) $11\ \text{cm}\le L\le11{,}5\ \text{cm}$; b) $3{,}0\times10^{-3}\le v\le3{,}1\times10^{-3}\ \text{cm/s}$.

Resolução comentada · Método TEF

Ressalva: as medidas do gabarito oficial foram feitas sobre a prova impressa em escala real; numa tela a figura não tem a mesma escala.

a) Medindo na figura (escala real) o ponteiro de minutos, obtém-se $r\approx3{,}7$ a $3{,}8\ \text{cm}$, e $L=2\pi r=6\,r\approx11$ a $11{,}5\ \text{cm}$.

b) Em 1 hora ($3600\ \text{s}$) a ponta percorre uma volta:

$$v=\frac{L}{T}=\frac{11{,}2}{3600}\approx3{,}1\times10^{-3}\ \text{cm/s}$$

Q03

Mecânica — Cinemática — Equação horária do MUV: posição e velocidade média

Um carro em trajetória retilínea realiza um movimento descrito pela equação horária $x(t)=30\,t+3\,t^2$, onde $x$ é a posição do carro em metros num referencial e $t$ o tempo em segundos. Determine: a) a posição do carro em $t=2\ \text{s}$; b) a velocidade média do carro no intervalo entre $2\ \text{s}$ e $4\ \text{s}$.

Gabarito oficial: a) $x(2)=72\ \text{m}$; b) $v_m=48\ \text{m/s}$.

Resolução comentada · Método TEF

a) $x(2)=30\cdot2+3\cdot2^2=60+12=72\ \text{m}$.

b) $x(4)=30\cdot4+3\cdot4^2=120+48=168\ \text{m}$:

$$v_m=\frac{x(4)-x(2)}{4-2}=\frac{168-72}{2}=48\ \text{m/s}$$

Q04

Termologia — Calorimetria — Calor sensível e latente: vapor e gelo

Uma quantidade de 10 g de vapor de água a $120\ ^\circ\text{C}$ e 70 g de gelo a $-20\ ^\circ\text{C}$ são adicionados a 200 g de água líquida a $50\ ^\circ\text{C}$ num reservatório isolado termicamente. Dados: $c_{água}=1\ \text{cal/g°C}$; $c_{gelo}=0{,}5\ \text{cal/g°C}$; $L_f=80\ \text{cal/g}$; $c_{vapor}=0{,}5\ \text{cal/g°C}$; $L_v=540\ \text{cal/g}$. Determine: a) o calor liberado pelo vapor de água quando a sua temperatura diminui para $100\ ^\circ\text{C}$; b) o calor necessário para derreter os 70 g de gelo.

Gabarito oficial: a) $100\ \text{cal}$; b) $6300\ \text{cal}$.

Resolução comentada · Método TEF

a) $Q_v=m\,c_{vapor}\,\Delta\theta=10\cdot0{,}5\cdot20=100\ \text{cal}$ (liberado).

b) O gelo precisa subir de $-20$ a $0\ ^\circ\text{C}$ e depois fundir: $$Q=70\cdot0{,}5\cdot20+70\cdot80=700+5600=6300\ \text{cal}$$

Q05

Termologia — Calorimetria — Aquecimento de água por radiação solar

Num dia normal, a energia solar média que incide sobre a superfície da Terra é da ordem de $1000\ \text{W/m}^2$. Um reservatório cúbico contém $1\ \text{m}^3$ de água e é aberto no lado perpendicular aos raios solares. Este recebe radiação solar durante 8 horas. No início da manhã a temperatura da água é $20\ ^\circ\text{C}$. Ao final das 8 horas, qual será a temperatura do reservatório, supondo que somente 50% da energia solar que incide no reservatório é absorvida pela água (e que não há perdas de calor)? Considere $c_{água}=1\ \text{cal/g°C}$ ($1\ \text{cal}=4{,}2\ \text{J}$) e densidade $1\ \text{g/cm}^3$.

Gabarito oficial: $T_f\approx23{,}4\ ^\circ\text{C}$.

Resolução comentada · Método TEF

A face aberta do cubo ($1\ \text{m}^2$) recebe $Q=I\,A\,\Delta t=10^{3}\cdot1\cdot8\cdot3600=2{,}88\times10^{7}\ \text{J}$.

Absorvido pela água ($50\%$): $Q_{abs}=1{,}44\times10^{7}\ \text{J}$.

Massa de água: $10^{6}\ \text{g}$, com $c=4{,}2\ \text{J/(g·°C)}$:

$$\Delta T=\frac{Q_{abs}}{m\,c}=\frac{1{,}44\times10^{7}}{10^{6}\cdot4{,}2}\approx3{,}4\ ^\circ\text{C}\ \Rightarrow\ T_f\approx23{,}4\ ^\circ\text{C}$$

Q06

Mecânica — Gravitação — Ponto de força gravitacional nula entre Terra e Lua

O módulo da força de atração gravitacional entre a Terra e a Lua, postulado por Newton, é $F=\dfrac{G\,M_T\,M_L}{R^2}$, onde $G$ é a constante da Gravitação Universal, $M_T$ a massa da Terra, $M_L$ a massa da Lua e $R$ a distância entre os centros. Determine a distância $x$ entre o centro da Lua e um ponto $O$ (no eixo Terra-Lua) onde a força de atração resultante em qualquer corpo ali posicionado será nula.

Terra e Lua com a distância R entre os centros e o ponto O a uma distância x do centro da Lua

Gabarito oficial: $x=\dfrac{R}{1+\sqrt{M_T/M_L}}$.

Resolução comentada · Método TEF

Num ponto a $x$ do centro da Lua (e $R-x$ do centro da Terra), um corpo de massa $m$ sofre forças opostas $F_T=\dfrac{G\,m\,M_T}{(R-x)^2}$ e $F_L=\dfrac{G\,m\,M_L}{x^2}$.

Igualando: $\dfrac{M_T}{(R-x)^2}=\dfrac{M_L}{x^2}\Rightarrow R-x=x\sqrt{\dfrac{M_T}{M_L}}$:

$$x=\frac{R}{1+\sqrt{M_T/M_L}}$$

Q07

Mecânica — Trabalho e energia — Conservação da energia com mola e atrito na rampa

Um bloco de massa $m$ é posicionado sobre uma rampa inclinada a uma altura $h$ com relação ao nível do chão. O bloco é solto e desliza até colidir com uma mola (de constante elástica $k$) fixa numa das extremidades. Use $g$ como a aceleração gravitacional local.

a) Considerando que não há atrito entre o bloco e a superfície em toda a sua extensão, determine o valor da máxima deformação $X$ que a mola irá sofrer.

b) Se na região inclinada da trajetória o atrito entre o bloco e a superfície for $\mu$, qual será o novo valor da deformação máxima $X$ da mola?

Bloco de massa m sobre uma rampa de altura h e ângulo θ, com uma mola de constante k fixa no final do trecho horizontal

Gabarito oficial: a) $X=\sqrt{\dfrac{2\,m\,g\,h}{k}}$; b) $X=\sqrt{\dfrac{2\,m\,g\,h}{k}\left(1-\dfrac{\mu}{\tan\theta}\right)}$.

Resolução comentada · Método TEF

a) Sem atrito, a energia potencial gravitacional vira energia elástica na compressão máxima: $m\,g\,h=\dfrac{k\,X^2}{2}\Rightarrow X=\sqrt{\dfrac{2\,m\,g\,h}{k}}$.

b) No plano inclinado, o percurso é $\Delta s=\dfrac{h}{\text{sen}\,\theta}$ e o atrito vale $\mu\,m\,g\cos\theta$; o trabalho dissipado é

$$\tau_{at}=\mu\,m\,g\cos\theta\cdot\frac{h}{\text{sen}\,\theta}=\frac{\mu\,m\,g\,h}{\tan\theta}$$

Energia: $m\,g\,h=\dfrac{\mu\,m\,g\,h}{\tan\theta}+\dfrac{k\,X^2}{2}$:

$$X=\sqrt{\frac{2\,m\,g\,h}{k}\left(1-\frac{\mu}{\tan\theta}\right)}$$

Q08

Mecânica — Cinemática — Fotos sucessivas: tabela, gráfico e velocidade média

Um móvel realiza um movimento numa superfície horizontal sem atrito. Uma câmera digital fez fotos sucessivas em intervalos de 0,1 s. As fotos montadas formam a figura. A posição 1 representa a 1ª foto do móvel. Na montagem de fotos 1 centímetro (medido na folha) representa 1 metro na escala real do movimento.

a) A partir da montagem de fotos, determine a velocidade média do móvel durante todo o percurso.

b) Monte uma tabela com os valores de tempo ($t$) e espaço ($x$).

c) Faça um gráfico de $x$ como função do tempo $t$.

Oito posições igualmente espaçadas de um móvel (fotos sucessivas), com a primeira marcada como 1

Gabarito oficial: a) $14{,}8\ \text{m/s}\le v_m\le15{,}1\ \text{m/s}$; b) tabela abaixo; c) reta.

Resolução comentada · Método TEF

Ressalva: as medidas do gabarito oficial foram feitas sobre a prova impressa em escala real; numa tela a figura não tem a mesma escala.

a) A distância entre os 8 pontos (7 intervalos) é de $\approx10{,}6\ \text{cm}$, isto é, $10{,}6\ \text{m}$ na escala real, em $7\cdot0{,}1=0{,}7\ \text{s}$. Medir todo o percurso reduz o erro das medidas individuais.

$$v_m=\frac{10{,}6}{0{,}7}\approx15\ \text{m/s}$$

b) Pontos igualmente espaçados ($\approx1{,}5\ \text{m}$ a cada $0{,}1\ \text{s}$), logo movimento uniforme:

t (s)	0,0	0,1	0,2	0,3	0,4	0,5	0,6	0,7
x (m)	0,0	1,5	3,0	4,5	6,1	7,6	9,1	10,6

c) O gráfico de $x\times t$ é uma reta que passa pela origem, com inclinação $\approx15\ \text{m/s}$ ($x=15\,t$), com os eixos nomeados ($t$ em s, $x$ em m).

Dados da prova