OBF 2012 — 3ª fase · Nível I (8º e 9º anos) | Física resolvida

Q01

Mecânica — Cinemática — Queda livre e tempo de reação

A figura mostra um dispositivo simples que pode ser usado para medir o seu tempo de reação: uma tira de papelão marcada com uma escala e dois pontos. Um colega segura a tira na vertical, com o polegar no ponto da direita. Você posiciona o polegar e o indicador no outro ponto (esquerdo), sem encostar na tira. Seu colega solta a tira e você tenta segurá-la assim que percebe que ela começa a cair. A marca na posição em que você segura a tira corresponde ao seu tempo de reação. Para calibrar o dispositivo, a escala de tempo deve ser marcada em pontos bem definidos. A que distância, aproximadamente, do ponto da esquerda você deve colocar a marca de 200 ms?

Tira de papelão com escala de tempo de reação em ms (0, 50, 100, 150, 200, 250 e 300) e dois pontos nas extremidades

Resposta TEF: $d\approx20\ \text{cm}$.

Resolução comentada · Método TEF

A tira cai em queda livre a partir do repouso: $d=\dfrac{g\,t^2}{2}$. Para $t=200\ \text{ms}=0{,}20\ \text{s}$:

$$d=\frac{10\cdot0{,}20^2}{2}=0{,}20\ \text{m}=20\ \text{cm}$$

Q02

Mecânica — Hidrostática — Empuxo e volume com mesma área superficial

Considere um cubo e uma esfera totalmente submersos num fluido qualquer. O cubo e a esfera são feitos do mesmo material e possuem as mesmas áreas superficiais. Qual deles estará sujeito ao maior empuxo? Justifique sua resposta.

Resposta TEF: A esfera (volume $\approx38\%$ maior que o do cubo de mesma área superficial).

Resolução comentada · Método TEF

O empuxo é $E=\rho_f\,g\,V$ (peso do fluido deslocado) e depende só do volume submerso. Portanto, o corpo de maior volume sofre o maior empuxo.

Para a mesma área superficial $A$: cubo de aresta $a$: $A=6a^2\Rightarrow V_c=\left(\dfrac A6\right)^{3/2}$. Esfera de raio $r$: $A=4\pi r^2\Rightarrow V_e=\dfrac43\pi r^3=\dfrac{4\pi}{3}\left(\dfrac{A}{4\pi}\right)^{3/2}$.

$$\frac{V_e}{V_c}=\frac{4\pi}{3}\left(\frac{6}{4\pi}\right)^{3/2}=\sqrt{\frac{6}{\pi}}\approx1{,}38$$

A esfera é o sólido de maior volume para uma dada área superficial (propriedade isoperimétrica), então a esfera está sujeita ao maior empuxo.

Q03

Termologia — Dilatação térmica — Dilatação volumétrica de cilindros de mesmo material

Três cilindros feitos do mesmo material, o qual pode ser considerado isotrópico, estão inicialmente na mesma temperatura. Os cilindros (alturas $3h$, $2h$ e $4h$; diâmetros $h$, $2h$ e $3h$) são colocados sobre uma chapa quente (reservatório de calor) e a mesma quantidade de calor é transferida para cada um dos cilindros. Quais serão as relações para as variações nos volumes dos cilindros após o equilíbrio térmico?

Três cilindros com alturas 3h, 2h e 4h e diâmetros h, 2h e 3h

Resposta TEF: $\Delta V_1=\Delta V_2=\Delta V_3$.

Resolução comentada · Método TEF

Para o mesmo material (mesmo $\rho$, $c$ e $\gamma$), a variação de temperatura com calor $Q$ é $\Delta T=\dfrac{Q}{m\,c}=\dfrac{Q}{\rho\,V\,c}$.

A variação de volume é $\Delta V=\gamma\,V\,\Delta T=\gamma\,V\,\dfrac{Q}{\rho\,V\,c}=\dfrac{\gamma\,Q}{\rho\,c}$, que não depende do volume: os três cilindros têm a mesma variação de volume, $\Delta V_1=\Delta V_2=\Delta V_3$ (as variações relativas $\Delta V/V$, porém, são inversamente proporcionais aos volumes).

Q04

Mecânica — Trabalho e energia — Conservação da energia em trilho circular

Uma caixa escorrega por uma pista sem atrito. Quando chega no ponto A, início do trecho curvo em forma de arco de circunferência de raio $R=1{,}75\ \text{m}$, a sua velocidade é $3\ \text{m/s}$. Determine a velocidade da caixa quando estiver no ponto B. Dado: $\cos37^\circ=0{,}8$ e $\text{sen}\,37^\circ=0{,}6$.

Caixa em uma pista com trecho curvo de raio R, com os pontos A, B e C e ângulos de 53° e 37° com a vertical

Resposta TEF: $v_B=4\ \text{m/s}$.

Resolução comentada · Método TEF

Os raios que vão ao centro do arco formam, com a vertical que passa por C (ponto mais baixo), $53^\circ$ (ponto A) e $37^\circ$ (ponto B). As alturas acima de C são $h_A=R\,(1-\cos53^\circ)=R\,(1-0{,}6)=0{,}4R$ e $h_B=R\,(1-\cos37^\circ)=0{,}2R$.

Desnível entre A e B: $\Delta h=0{,}2\,R=0{,}35\ \text{m}$. Sem atrito, a energia mecânica se conserva:

$$v_B^2=v_A^2+2\,g\,\Delta h=9+2\cdot10\cdot0{,}35=16\ \Rightarrow\ v_B=4\ \text{m/s}$$

Q05

Mecânica — Trabalho e energia — Pontos de retorno e velocidade máxima a partir de U(x)

A energia potencial de uma partícula de 50 g é mostrada no gráfico em função da sua posição. (a) Estime os pontos de retorno da partícula quando a energia mecânica for 1 J. (b) Determine a velocidade máxima da partícula quando a energia mecânica for 5 J.

Gráfico da energia potencial U (J) em função de x (m), com mínimos locais em x ≈ −0,8 m e x ≈ 1,3 m e máximo em x = 0

Resposta TEF: a) $x\approx-1{,}2\ \text{m}$ e $x\approx1{,}9\ \text{m}$; b) $v_{max}=20\ \text{m/s}$.

Resolução comentada · Método TEF

Ressalva: os valores de $x$ são estimativas lidas no gráfico (±0,1 m).

a) Os pontos de retorno são aqueles em que $U(x)=E=1\ \text{J}$ (energia cinética nula). Pelo gráfico, $U=1\ \text{J}$ em $x\approx-1{,}2\ \text{m}$ (ramo esquerdo) e em $x\approx1{,}9\ \text{m}$ (ramo direito); entre eles $U

b) A velocidade é máxima onde $U$ é mínima: $U_{min}\approx-5\ \text{J}$, em $x\approx1{,}3\ \text{m}$. Então $E_c=E-U=5-(-5)=10\ \text{J}$:

$$v_{max}=\sqrt{\frac{2E_c}{m}}=\sqrt{\frac{2\cdot10}{0{,}050}}=20\ \text{m/s}$$

Q06

Mecânica — Dinâmica — Roldanas ideais e plano inclinado

Um homem está sentado sobre uma prancha e se puxa para cima em um plano inclinado de $30^\circ$, como mostra a figura. Se o peso do homem e da prancha é de 1200 N, determine a aceleração se o homem exerce uma força de 200 N. Despreze todas as formas de atrito e considere ideais as roldanas e os cabos. ($\text{sen}\,30^\circ=0{,}5$)

Homem sentado em uma prancha sobre um plano inclinado de 30°, com roldanas e cabos

Resposta TEF: $a=0$ (o conjunto fica em equilíbrio ou move-se com velocidade constante).

Resolução comentada · Método TEF

Ressalva: a resposta depende de contar três trechos do cabo atuando no conjunto, conforme o desenho original (duas voltas na roldana móvel mais a ponta puxada pelo homem).

A tração em todo o cabo ideal é $T=200\ \text{N}$ (a força que o homem faz sobre a ponta do cabo). Na montagem da figura (roldana fixa no alto, roldana móvel presa à prancha e a ponta do cabo na mão do homem), três trechos do cabo puxam o conjunto homem + prancha para cima do plano: dois chegam à roldana móvel e um à mão do homem. Força total para cima do plano: $3\,T=600\ \text{N}$.

Componente do peso ao longo do plano: $P\,\text{sen}\,30^\circ=1200\cdot0{,}5=600\ \text{N}$.

$$m\,a=3\,T-P\,\text{sen}\,30^\circ=600-600=0\ \Rightarrow\ a=0$$

Q07

Mecânica — Estática — Roldanas, dinamômetro e balança

Uma pessoa gostaria de se pesar, mas dispõe de uma balança com capacidade limitada a 60 kg e de um dinamômetro. Resolve então montar o arranjo de cabos e roldanas ideais mostrado na figura. Com isso, o dinamômetro marca 50 N e a balança 550 N. Qual é o peso do homem?

Homem sobre uma balança, com um dinamômetro e um sistema de roldanas e cabos ligado a uma plataforma triangular

Resposta TEF: $P=800\ \text{N}$.

Resolução comentada · Método TEF

Ressalva: a leitura da montagem (quatro trechos sustentando a plataforma ligada ao homem) segue o desenho original.

Em cabos e roldanas ideais, a tração é a mesma em todo o cabo: $T=50\ \text{N}$ (leitura do dinamômetro, na ponta que o homem segura).

Forças verticais para cima sobre o homem: (i) a ponta do cabo em sua mão: $T=50\ \text{N}$; (ii) o cabo que o liga à plataforma triangular, suspensa por quatro trechos do cabo ($2$ em cada roldana móvel): $4\,T=200\ \text{N}$; (iii) a normal da balança: $N=550\ \text{N}$.

$$P=N+T+4\,T=550+50+200=800\ \text{N}$$ (massa de $80\ \text{kg}$, acima da capacidade da balança).

Q08

Mecânica — Cinemática — Gráficos v × t e a × t a partir de s(t)

O gráfico mostra a posição em função do tempo de uma partícula que se move numa trajetória retilínea, onde $s(t)=t^2+100$ para $0\le t\le10$ e $s(t)=20\,t$ para $10\le t\le30$ (em m e s). Construa os gráficos da velocidade e da aceleração em função do tempo no intervalo mostrado.

Gráfico da posição s (m) em função do tempo (s): parábola de 100 a 200 m até 10 s e reta até 600 m em 30 s

Resposta TEF: $v=2t$ (0 a 10 s) e $v=20\ \text{m/s}$ (10 a 30 s); $a=2\ \text{m/s}^2$ (0 a 10 s) e $a=0$ (10 a 30 s).

Resolução comentada · Método TEF

A velocidade é a derivada de $s$ e a aceleração, a derivada de $v$:

0 a 10 s: $v=\dfrac{ds}{dt}=2\,t$ (reta que sobe de $0$ a $20\ \text{m/s}$) e $a=\dfrac{dv}{dt}=2\ \text{m/s}^2$ (constante).

10 a 30 s: $v=20\ \text{m/s}$ (constante) e $a=0$.

Gráfico $v\times t$: reta de $(0;\,0)$ a $(10;\,20)$ e depois um patamar horizontal em $20\ \text{m/s}$ até $30\ \text{s}$. Gráfico $a\times t$: patamar em $2\ \text{m/s}^2$ de $0$ a $10\ \text{s}$ e, a partir de $10\ \text{s}$, $a=0$ (descontinuidade em $t=10\ \text{s}$). As posições coincidem em $t=10\ \text{s}$ ($s=200\ \text{m}$) e as velocidades também ($20\ \text{m/s}$).

Dados da prova