OBF 2013 — 2ª fase · Nível II (1ª e 2ª séries) | Física resolvida

Q01

Mecânica — Movimento circular — Movimento em pista com trechos curvos

Exclusiva do aluno da 1ª série no caderno original

Considere uma pista de atletismo composta de duas partes retilíneas de 80 m de comprimento e duas semicirculares de 40 m de raio. Os pontos A e B estão no encontro entre as partes retilíneas e uma curva. Um corredor de 50 kg completa uma volta com velocidade constante, no sentido anti-horário, em 50 s. A rosa dos ventos indica as direções Norte-Sul e Leste-Oeste. Use $\pi=3$. a) Qual é a velocidade média do corredor durante o percurso? b) Qual a frequência do movimento (Hz)? c) Qual(is) a(s) direção(ões) em que a aceleração do corredor é maior? d) Qual é a força centrípeta que atua no corredor entre A e B?

Pista de atletismo com duas retas e duas semicircunferências, pontos A e B e rosa dos ventos

Gabarito oficial: a) $8\ \text{m/s}$ (escalar; a velocidade vetorial média é nula); b) $0{,}02\ \text{Hz}$; c) nos trechos curvos (centrípeta; Leste-Oeste); d) $80\ \text{N}$.

Resolução comentada · Método TEF

Comprimento da volta: $2\cdot80+2\pi R=160+2\cdot3\cdot40=400\ \text{m}$.

a) Velocidade média escalar: $\dfrac{400}{50}=8\ \text{m/s}$. (A velocidade vetorial média é nula, pois o deslocamento em uma volta é zero.)

b) $f=\dfrac1T=\dfrac1{50}=0{,}02\ \text{Hz}$.

c) Nos retos, com velocidade constante, $a=0$. Nos trechos curvos $a=\dfrac{v^2}{R}=\dfrac{64}{40}=1{,}6\ \text{m/s}^2$, voltada ao centro; no ápice das curvas essa aceleração tem direção Leste-Oeste.

d) $F_c=\dfrac{m\,v^2}{R}=\dfrac{50\cdot64}{40}=80\ \text{N}$.

Q02

Termologia — Termodinâmica — Rendimento e consumo de combustível

Exclusiva do aluno da 1ª série no caderno original

Cada quilograma de gasolina fornece $4{,}4\times10^{4}\ \text{kJ}$ de energia e sua densidade é 0,7 kg/litro. a) Qual a massa de 100 litros de gasolina? b) Qual é o consumo de gasolina por hora para um motor de 67 HP ($5{,}0\times10^{4}\ \text{W}$) se o rendimento é de 20%?

Gabarito oficial: a) $70\ \text{kg}$ (o gabarito oficial registra 700 kg); b) $\approx20{,}5\ \text{kg/h}$ ($\approx29\ \text{L/h}$).

Resolução comentada · Método TEF

Ressalva: o gabarito oficial traz $700\ \text{kg}$ no item (a), que resulta de um erro de conta ($0{,}7\cdot100=70$).

a) $m=d\,V=0{,}7\ \text{kg/L}\cdot100\ \text{L}=70\ \text{kg}$.

b) Energia útil em 1 h: $E=P\,t=5{,}0\times10^{4}\cdot3600=1{,}8\times10^{8}\ \text{J}$. Com rendimento de $20\%$, a energia química consumida é $\dfrac{1{,}8\times10^{8}}{0{,}20}=9{,}0\times10^{8}\ \text{J}$.

$$m=\frac{9{,}0\times10^{8}}{4{,}4\times10^{7}\ \text{J/kg}}\approx20{,}5\ \text{kg/h}\quad\left(\approx\frac{20{,}5}{0{,}7}\approx29\ \text{L/h}\right)$$

Q03

Mecânica — Trabalho e energia — Energia potencial total e constante elástica a partir de gráfico

Uma mola de massa desprezível é pendurada na vertical. Um bloco de massa $m=0{,}5\ \text{kg}$ é preso na extremidade livre da mola e abandonado com velocidade nula. O gráfico mostra a energia potencial total $U$ do bloco em função de $y$ (posição em relação ao comprimento livre da mola); a resistência do ar é desprezada ($g=10\ \text{m/s}^2$). O gráfico é uma parábola com $U=0$ em $y=0$ e em $y=0{,}5\ \text{m}$ e mínimo $\approx-0{,}06\ \text{J}$ em $y=0{,}25\ \text{m}$.

Questão 3: a) Qual(is) a(s) posição(ões) do bloco onde a energia (potencial) é mínima? b) Qual(is) onde é máxima?

Questão 4: Qual(is) o(s) ponto(s) onde a velocidade do bloco é nula?

Questão 5: Qual o valor da constante elástica da mola?

Gráfico da energia potencial U (J) em função de y (m): parábola com zeros em 0 e 0,5 m e mínimo de cerca de −0,06 J em 0,25 m

Gabarito oficial: Q3: a) $y\approx0{,}25\ \text{m}$ (equilíbrio); b) $y=0$ e $y=0{,}5\ \text{m}$. Q4: $y=0$ e $y=0{,}5\ \text{m}$. Q5: $k=2\ \text{N/m}$ pelo gráfico (a massa dada é inconsistente com o gráfico).

Resolução comentada · Método TEF

Ressalva: o valor de $m=0{,}5$ kg é incompatível com o gráfico (que corresponde a $m=0{,}05$ kg). O gabarito oficial aceita várias respostas para a Q5.

3. A energia mecânica total é constante; a energia potencial $U$ é mínima na posição de equilíbrio, $y\approx0{,}25\ \text{m}$, e máxima nos extremos $y=0$ e $y=0{,}5\ \text{m}$ (onde $U=0$).

4. A velocidade é nula onde $U$ é máxima, isto é, nos pontos de retorno: $y=0$ (onde o bloco foi abandonado) e $y=0{,}5\ \text{m}$.

5. $U=\dfrac{k\,y^2}{2}-m\,g\,y$ (com $y$ medido para baixo). Do gráfico, a parábola é $U=y^2-0{,}5\,y$ (zeros em $0$ e $0{,}5$; mínimo $-0{,}0625$ em $0{,}25$). Comparando: $\dfrac k2=1\Rightarrow k=2\ \text{N/m}$ e $m\,g=0{,}5\ \text{N}$ ($m=0{,}05\ \text{kg}$).

Com $m=0{,}5\ \text{kg}$ ($m\,g=5\ \text{N}$) o equilíbrio em $y=0{,}25\ \text{m}$ daria $k=20\ \text{N/m}$, e o mínimo de $U$ seria $-\dfrac{(m g)^2}{2k}=-0{,}625\ \text{J}$, incompatível com o gráfico ($-0{,}06\ \text{J}$): a massa do enunciado está inconsistente com o gráfico (o gabarito aceita $k=2$, $20$ ou $\approx24\ \text{N/m}$ ou apontar a inconsistência).

Q04

Ondas — Ondas sonoras — Tubo sonoro fechado: frequência fundamental

Uma clarineta pode ser modelada por um tubo de madeira fechado em um dos lados e aberto no outro. O instrumentista faz o ar vibrar na entrada do tubo com uma palheta, criando uma onda estacionária no interior do tubo. Sabendo que a velocidade do som no ar é 340 m/s, qual é a frequência fundamental (em Hz) de uma clarineta de 60 cm de comprimento?

Gabarito oficial: $f_1\approx142\ \text{Hz}$.

Resolução comentada · Método TEF

Tubo fechado em uma extremidade: o comprimento é um quarto de onda no modo fundamental, $L=\dfrac{\lambda}{4}$, logo

$$f_1=\frac{v}{4L}=\frac{340}{4\cdot0{,}60}\approx142\ \text{Hz}$$

Q05

Óptica — Óptica geométrica — Semelhança de triângulos: raio da Lua

Exclusiva do aluno da 1ª série no caderno original

Numa noite de Lua cheia, um estudante decide estimar o raio da Lua. Dispõe de um pequeno botão de 10 mm de diâmetro e conhece a distância da Terra à Lua. Colocando o botão a 110 cm do olho, na frente da Lua, notou que a imagem da Lua ficava completamente encoberta pelo botão. Qual o valor encontrado pelo estudante do raio da Lua, sabendo que a distância da Terra à Lua é de 380 000 km?

Gabarito oficial: $R\approx1{,}7\times10^{6}\ \text{m}$.

Resolução comentada · Método TEF

O botão e a Lua subtendem o mesmo ângulo visual: $\dfrac rd_b=\dfrac R{D}$, com $r=5\ \text{mm}$, $d_b=1{,}10\ \text{m}$ e $D=3{,}8\times10^{8}\ \text{m}$:

$$R=D\,\frac r{d_b}=3{,}8\times10^{8}\cdot\frac{5{,}0\times10^{-3}}{1{,}10}\approx1{,}7\times10^{6}\ \text{m}$$

Q06

Mecânica — Estática — Equilíbrio de forças e tração mínima

Exclusiva do aluno da 1ª série no caderno original

Uma balsa B é rebocada por dois pequenos barcos A e C. A balsa deve se mover na horizontal e em linha reta. a) Faça o diagrama das forças que atuam na balsa B. b) Qual deve ser o ângulo $\alpha$ que o barco C deve manter para que a tração na corda ligada ao barco C seja mínima? ($\text{sen}\,30^\circ=0{,}5$; $\cos30^\circ=0{,}87$)

Balsa B rebocada por dois barcos: A, com a corda a 30° da horizontal, e C, com a corda a um ângulo α abaixo da horizontal

Gabarito oficial: b) $\alpha=60^\circ$ (cordas perpendiculares entre si).

Resolução comentada · Método TEF

a) Sobre a balsa atuam, no plano horizontal, as trações $\vec T_A$ (a $30^\circ$ da horizontal, para cima) e $\vec T_C$ (a $\alpha$ abaixo da horizontal); verticalmente, peso e empuxo se anulam (e há a resistência da água).

b) A balsa se move na horizontal: a componente vertical da resultante é nula, $T_A\,\text{sen}\,30^\circ=T_C\,\text{sen}\,\alpha$. A resultante horizontal é $R=T_A\cos30^\circ+T_C\cos\alpha$, que deve ter um valor dado. Para uma resultante $R$ fixa na horizontal, a menor força $T_C$ ocorre quando $\vec T_C$ é perpendicular a $\vec T_A$: $\alpha+30^\circ=90^\circ\Rightarrow\alpha=60^\circ$ (triângulo de forças: o menor lado é o perpendicular à direção de $\vec T_A$).

Q07

Óptica — Refração da luz — Reflexão interna total em bloco de vidro submerso

Um raio luminoso incide em um bloco retangular de vidro, de índice de refração $n_v$, quase totalmente submerso em água, de índice $n_a$. a) Qual a condição para os índices de refração para que possa haver reflexão interna do feixe dentro do bloco? b) Supondo válida a condição do item a), determine o maior ângulo de incidência $\theta$ para ocorrer reflexão interna total na lateral esquerda do bloco de vidro. Use o índice do ar $1{,}0$.

Raio de luz do ar incidindo a um ângulo θ em um bloco de vidro submerso em água e refletindo na lateral esquerda

Gabarito oficial: a) $n_v>n_a$; b) $\theta_{max}=\arcsin\sqrt{n_v^{2}-n_a^{2}}$ (exige $n_v^2-n_a^2<1$).

Resolução comentada · Método TEF

Ressalva: o gabarito oficial escreve a expressão de modo abreviado ($\text{sen}\,\theta_c=(n_v-n_a)^{1/2}$); a forma correta, com os quadrados dos índices, é a apresentada.

a) A reflexão interna total só ocorre quando a luz vai de um meio mais refringente para um menos refringente: $n_v>n_a$.

b) Na face de cima (ar–vidro): $\text{sen}\,\theta=n_v\,\text{sen}\,\theta^{\prime}$. A lateral é perpendicular à face de cima, de modo que o ângulo de incidência na lateral é $90^\circ-\theta^{\prime}$. Há reflexão total se $n_v\,\text{sen}(90^\circ-\theta^{\prime})\ge n_a\cdot1$, isto é, $n_v\cos\theta^{\prime}\ge n_a$.

Então $\cos\theta^{\prime}\ge\dfrac{n_a}{n_v}\Rightarrow\text{sen}^2\theta^{\prime}\le1-\dfrac{n_a^2}{n_v^2}$, e

$$\text{sen}\,\theta=n_v\,\text{sen}\,\theta^{\prime}\le\sqrt{n_v^2-n_a^2}\ \Rightarrow\ \theta_{max}=\arcsin\sqrt{n_v^2-n_a^2}$$

Q08

Mecânica — Hidrostática — Empuxo e equilíbrio de torques

Uma haste leve tem ligadas às suas extremidades duas esferas idênticas. Uma das esferas está parcialmente imersa num tanque de água, com $\tfrac13$ do seu volume submerso. Sabendo que a densidade das esferas em relação à água é 2, qual é a razão entre $x_1$ e $x_2$ para que o sistema esteja em equilíbrio com a haste na horizontal?

Haste leve com duas esferas, uma parcialmente imersa em um tanque de água, a distâncias x1 e x2 do apoio

Gabarito oficial: $\dfrac{x_1}{x_2}=\dfrac65$.

Resolução comentada · Método TEF

Seja $V$ o volume e $\rho_e=2\rho_a$ a densidade das esferas. Na esfera 1 (a $x_1$ do apoio), a força efetiva para baixo é o peso menos o empuxo: $\rho_e V g-\rho_a\dfrac V3\,g=\left(2-\dfrac13\right)\rho_aVg=\dfrac53\rho_aVg$. Na esfera 2: $\rho_eVg=2\rho_aVg$.

Equilíbrio de torques: $\dfrac53\,x_1=2\,x_2$:

$$\frac{x_1}{x_2}=\frac{6}{5}$$

Q09

Termologia — Transmissão de calor — Condução em camadas em série

Uma parede é feita de três camadas de espessuras $L_1$, $L_2=0{,}7L_1$ e $L_3=0{,}35L_1$, com condutividades $k_1$, $k_2=1{,}4k_1$ e $k_3=0{,}7k_1$. As temperaturas das faces esquerda (camada 1) e direita (camada 3) são $30\ ^\circ\text{C}$ e $10\ ^\circ\text{C}$. Qual é a diferença de temperatura entre as faces esquerda e direita da camada 2?

Parede formada por três camadas de espessuras L1, L2 e L3

Gabarito oficial: $\Delta T_2=5\ ^\circ\text{C}$.

Resolução comentada · Método TEF

Em regime estacionário o fluxo de calor é o mesmo nas três camadas e $\Delta T=R\,\Phi$ com $R=\dfrac{L}{k\,A}$. Em unidades de $\dfrac{L_1}{k_1A}$: $R_1=1$, $R_2=\dfrac{0{,}7}{1{,}4}=0{,}5$ e $R_3=\dfrac{0{,}35}{0{,}7}=0{,}5$; total $2$.

Como a diferença total é $20\ ^\circ\text{C}$ e as diferenças de temperatura são proporcionais às resistências:

$$\Delta T_2=20\cdot\frac{0{,}5}{2}=5\ ^\circ\text{C}$$

Q10

Mecânica — Dinâmica — Atrito estático entre blocos: intervalo de força

Dois corpos idênticos A e B, de massas $2\ \text{kg}$, são posicionados como na figura (A é um triângulo apoiado sobre B, com a interface formando $37^\circ$ com a horizontal). O coeficiente de atrito estático entre os blocos é $0{,}2$ e a superfície horizontal em que B está apoiado é lisa. Qual é o intervalo de valores da força $F$, aplicada em B, para que o bloco A não deslize sobre o bloco B? ($\text{sen}\,37^\circ=0{,}6$; $\cos37^\circ=0{,}8$; $\tan37^\circ=0{,}75$)

Bloco A, triangular, sobre o bloco B, com interface a 37° da horizontal; força F horizontal sobre B

Gabarito oficial: Gabarito oficial: $19\ \text{N}

Resolução comentada · Método TEF

Ressalva: o gabarito oficial dá o limite superior como $22\ \text{N}$ (omite o fator 2 de $2m\,g$ no segundo cálculo: $\tfrac{0{,}95}{0{,}85}mg\approx22\ \text{N}$ em vez de $2\,\tfrac{0{,}95}{0{,}85}mg\approx45\ \text{N}$). Um intervalo $19$–$22$ N nem sequer contém $F=30\ \text{N}$, que é a força para o caso sem atrito.

Os dois blocos se movem juntos com aceleração $a=\dfrac{F}{2m}$. Na interface inclinada de ângulo $\theta=37^\circ$ (referencial inercial), a normal $N$ e o atrito $f=\mu N$ sobre A devem fornecer, na horizontal, $m\,a$ e, na vertical, equilibrar $m\,g$.

Tendência de A deslizar para baixo (força pequena, atrito para cima): $N\,\text{sen}\,\theta-\mu N\cos\theta=m\,a$ e $N\cos\theta+\mu N\,\text{sen}\,\theta=m\,g$. Dividindo:

$$a_{min}=g\,\frac{\tan\theta-\mu}{1+\mu\tan\theta}\ \Rightarrow\ F_{min}=2m\,g\,\frac{\tan\theta-\mu}{1+\mu\tan\theta}=40\cdot\frac{0{,}55}{1{,}15}\approx19\ \text{N}$$

Tendência de A subir (força grande, atrito para baixo): $N\,\text{sen}\,\theta+\mu N\cos\theta=m\,a$ e $N\cos\theta-\mu N\,\text{sen}\,\theta=m\,g$:

$$a_{max}=g\,\frac{\tan\theta+\mu}{1-\mu\tan\theta}\ \Rightarrow\ F_{max}=40\cdot\frac{0{,}95}{0{,}85}\approx45\ \text{N}$$

$$19\ \text{N}\lesssim F\lesssim45\ \text{N}$$ (sem atrito, $F=2m\,g\tan\theta=30\ \text{N}$, que está dentro do intervalo, como esperado).

Dados da prova