Prova escrita de 2013. Enunciados reunidos com o texto de apoio de cada questão; figuras recortadas do caderno original. Gabarito e critérios: oficiais da OBF, com resolução própria do Método TEF. Prova de 8 questões (Parte I: respostas diretas; Parte II: abertas). Erros e ambiguidades do original são explicados nas resoluções.
Q01
Mecânica — Cinemática — Velocidade e deslocamento a partir do gráfico a × t
Um veículo parte do repouso e move-se em trajetória retilínea com a variação de aceleração mostrada na figura: $a$ cresce linearmente de $0$ a $2{,}0\ \text{m/s}^2$ entre $0$ e $20\ \text{s}$ e é constante ($2{,}0\ \text{m/s}^2$) a partir daí. a) Qual a velocidade do veículo em $t=20\ \text{s}$? b) Qual é o tempo necessário para o veículo atingir $30\ \text{m/s}$ a partir de $t=0$? c) Qual o espaço percorrido pelo veículo entre $20$ e $30\ \text{s}$?
Gabarito oficial: a) $20\ \text{m/s}$; b) $25\ \text{s}$; c) $300\ \text{m}$.
Resolução comentada · Método TEF
a) $\Delta v$ é a área sob $a\times t$: $v(20)=\dfrac{20\cdot2}{2}=20\ \text{m/s}$.
b) De $20\ \text{s}$ em diante $a=2\ \text{m/s}^2$: $30=20+2\,(t-20)\Rightarrow t=25\ \text{s}$.
c) Entre $20$ e $30\ \text{s}$, MUV com $v_0=20\ \text{m/s}$: $$\Delta S=20\cdot10+\tfrac12\cdot2\cdot10^2=200+100=300\ \text{m}$$
Q02
Óptica — Refração da luz — Reflexão interna total em bloco de vidro submerso
Um raio luminoso incide em um bloco retangular de vidro, de índice de refração $n_v$, quase totalmente submerso em água, de índice $n_a$. a) Qual a condição para os índices de refração para que possa haver reflexão interna do feixe dentro do bloco? b) Supondo válida a condição do item a), determine o maior ângulo de incidência $\theta$ para ocorrer reflexão interna total na lateral esquerda do bloco de vidro. Use o índice do ar $1{,}0$.
Gabarito oficial: a) $n_v>n_a$; b) $\theta_{max}=\arcsin\sqrt{n_v^{2}-n_a^{2}}$ (exige $n_v^2-n_a^2<1$).
Resolução comentada · Método TEF
Ressalva: o gabarito oficial escreve a expressão de modo abreviado ($\text{sen}\,\theta_c=(n_v-n_a)^{1/2}$); a forma correta, com os quadrados dos índices, é a apresentada.
a) A reflexão interna total só ocorre quando a luz vai de um meio mais refringente para um menos refringente: $n_v>n_a$.
b) Na face de cima (ar–vidro): $\text{sen}\,\theta=n_v\,\text{sen}\,\theta^{\prime}$. A lateral é perpendicular à face de cima, de modo que o ângulo de incidência na lateral é $90^\circ-\theta^{\prime}$. Há reflexão total se $n_v\,\text{sen}(90^\circ-\theta^{\prime})\ge n_a\cdot1$, isto é, $n_v\cos\theta^{\prime}\ge n_a$.
Então $\cos\theta^{\prime}\ge\dfrac{n_a}{n_v}\Rightarrow\text{sen}^2\theta^{\prime}\le1-\dfrac{n_a^2}{n_v^2}$, e
Eletricidade — Potência e energia elétrica — Custo da energia elétrica
Um chuveiro elétrico tem potência de 6000 W na posição inverno e 4000 W na posição verão. O custo do quilowatt-hora é de 50 centavos de real. Calcule: a) o custo ao fim de um mês de 30 dias pelo uso diário de 30 minutos na posição inverno; b) a economia na conta se o chuveiro for colocado na posição verão e o uso passar para 20 minutos diários.
Gabarito oficial: a) $45{,}00$ reais; b) $25{,}00$ reais de economia.
Resolução comentada · Método TEF
a) $E=30\cdot6\ \text{kW}\cdot0{,}5\ \text{h}=90\ \text{kWh}$; custo $=90\cdot0{,}50=45{,}00$ reais.
b) Verão: $E=30\cdot4\cdot\tfrac13=40\ \text{kWh}$, custo $20{,}00$ reais. Economia: $45-20=25{,}00$ reais.
Q04
Óptica — Espelhos esféricos — Feixe paralelo com dois espelhos côncavos
Para obter um feixe de luz paralelo a partir de uma fonte pontual, dois espelhos esféricos côncavos ($E_1$ e $E_2$) podem ser usados, como mostra o diagrama. O raio do espelho $E_1$ é $R$ e o raio do espelho $E_2$ é $8R$. a) Qual é o valor do foco dos espelhos? b) Para que o feixe produzido seja paralelo, qual deve ser a distância entre os vértices $V_1$ e $V_2$?
Gabarito oficial: a) $f_1=\dfrac R2$ e $f_2=4R$; b) $V_1V_2=5R$.
Resolução comentada · Método TEF
a) Em um espelho esférico, $f=\dfrac{R_{curv}}{2}$: $f_1=\dfrac R2$ e $f_2=\dfrac{8R}{2}=4R$.
b) Para que o feixe refletido por $E_2$ seja paralelo, a fonte deve estar no foco de $E_2$, a $4R$ de $V_2$. O espelho $E_1$ (raio $R$) tem a fonte em seu centro de curvatura, a $R$ de $V_1$, e devolve a luz na direção da própria fonte, que então a envia ao espelho $E_2$. Assim, o vértice $V_1$ fica do lado oposto a $E_2$ e
$$V_1V_2=4R+R=5R$$
Q05
Mecânica — Cinemática — Encontro de móveis em trechos
Uma moto, com o motorista e o passageiro, parte de um ponto A em direção a outro ponto B, distante 15 km de A. No mesmo instante, uma pessoa parte do mesmo ponto A e caminha em direção a B. Num certo momento do trajeto, o motociclista decide retornar para dar carona à pessoa que partiu caminhando. Neste momento, o passageiro que saiu com a moto do ponto A salta e caminha até B. Todos chegam ao mesmo tempo a B. A velocidade média da moto foi de 30 km/h, a dos pedestres, de 6 km/h, e os trajetos foram em linha reta. Qual foi o tempo total gasto no trajeto entre A e B?
Gabarito oficial: $t_3=1\ \text{h}$.
Resolução comentada · Método TEF
Sejam $t_1$ o instante em que o passageiro salta, $t_2$ o instante em que a moto encontra o outro pedestre e $t_3$ a chegada a B (moto $v=30$; pedestres $v^{\prime}=6$ km/h).
Moto: avança até $t_1$, volta até $t_2$ e avança até B: $30\,t_1-30\,(t_2-t_1)+30\,(t_3-t_2)=15$, isto é, $60\,t_1-60\,t_2+30\,t_3=15$.
Pedestre 1 (parte a pé, depois de carona): $6\,t_2+30\,(t_3-t_2)=15$, isto é, $-24\,t_2+30\,t_3=15$.
Pedestre 2 (parte de moto, depois a pé): $30\,t_1+6\,(t_3-t_1)=15$, isto é, $24\,t_1+6\,t_3=15$.
Resolvendo: $t_1=0{,}375\ \text{h}$, $t_2=0{,}625\ \text{h}$ e
$$t_3=1\ \text{h}$$
Q06
Mecânica — Dinâmica — Atrito estático entre blocos: intervalo de força
Dois corpos idênticos A e B, de massas $2\ \text{kg}$, são posicionados como na figura (A é um triângulo apoiado sobre B, com a interface formando $37^\circ$ com a horizontal). O coeficiente de atrito estático entre os blocos é $0{,}2$ e a superfície horizontal em que B está apoiado é lisa. Qual é o intervalo de valores da força $F$, aplicada em B, para que o bloco A não deslize sobre o bloco B? ($\text{sen}\,37^\circ=0{,}6$; $\cos37^\circ=0{,}8$; $\tan37^\circ=0{,}75$)
Gabarito oficial: Gabarito oficial: $19\ \text{N}
Resolução comentada · Método TEF
Ressalva: o gabarito oficial dá o limite superior como $22\ \text{N}$ (omite o fator 2 de $2m\,g$ no segundo cálculo: $\tfrac{0{,}95}{0{,}85}mg\approx22\ \text{N}$ em vez de $2\,\tfrac{0{,}95}{0{,}85}mg\approx45\ \text{N}$). Um intervalo $19$–$22$ N nem sequer contém $F=30\ \text{N}$, que é a força para o caso sem atrito.
Os dois blocos se movem juntos com aceleração $a=\dfrac{F}{2m}$. Na interface inclinada de ângulo $\theta=37^\circ$ (referencial inercial), a normal $N$ e o atrito $f=\mu N$ sobre A devem fornecer, na horizontal, $m\,a$ e, na vertical, equilibrar $m\,g$.
Tendência de A deslizar para baixo (força pequena, atrito para cima): $N\,\text{sen}\,\theta-\mu N\cos\theta=m\,a$ e $N\cos\theta+\mu N\,\text{sen}\,\theta=m\,g$. Dividindo:
$$19\ \text{N}\lesssim F\lesssim45\ \text{N}$$ (sem atrito, $F=2m\,g\tan\theta=30\ \text{N}$, que está dentro do intervalo, como esperado).
Q07
Termologia — Termodinâmica — Ciclo Otto: rendimento e consumo
Considere um motor de combustão interna de Ciclo Otto, formado por duas adiabáticas e duas isocóricas (diagrama $P\times V$: do estado 1 ($P$, $V$) ao 2 ($3P$, $V$), adiabática até 3 e isocórica até 4, com volume final $4V$). Qual é a eficiência do motor se a mistura gasolina-ar for considerada um gás ideal diatômico ($\gamma=1{,}4$)? Cada quilograma de gasolina fornece $4{,}4\times10^{4}\ \text{kJ}$ e sua densidade é $0{,}7\ \text{kg/L}$. Qual é o consumo de gasolina por hora de um motor de 67 HP ($5{,}0\times10^{4}\ \text{W}$) sujeito ao ciclo de Otto ideal?
No ciclo Otto, o calor é trocado nas isocóricas: $Q_q=C_V\,(T_2-T_1)$ e $Q_f=C_V\,(T_3-T_4)$. Então $\eta=1-\dfrac{T_3-T_4}{T_2-T_1}$.
Nas adiabáticas, $T\,V^{\gamma-1}=\text{constante}$: $T_2V^{\gamma-1}=T_3(4V)^{\gamma-1}$ e $T_1V^{\gamma-1}=T_4(4V)^{\gamma-1}$, de modo que $\dfrac{T_3}{T_2}=\dfrac{T_4}{T_1}=\left(\dfrac14\right)^{\gamma-1}$ e
Consumo. Energia útil por hora: $1{,}8\times10^{8}\ \text{J}$. Energia do combustível: $\dfrac{1{,}8\times10^{8}}{0{,}43}\approx4{,}2\times10^{8}\ \text{J}$ e
$$m=\frac{4{,}2\times10^{8}}{4{,}4\times10^{7}}\approx9{,}6\ \text{kg/h}\ \ (\approx13{,}7\ \text{L/h})$$ (o gabarito usa $\eta\approx0{,}42$ e obtém $9{,}7\ \text{kg/h}$).
Q08
Ondas — Interferência — Interferência de duas fontes sonoras: mínimos
Dois alto-falantes idênticos A e B emitem ondas sonoras de comprimento de onda $\lambda$ e estão separados por uma distância $d=3\lambda$. São alimentados por um mesmo amplificador e produzem ondas de amplitudes iguais. Considerando-os fontes puntiformes, responda: a) Quantos pontos de interferência mínima existem sobre o eixo $x$ (que parte de B, perpendicular à linha AB)? b) Onde estão localizados esses pontos a partir do alto-falante B?
Gabarito oficial: a) 3 pontos; b) $x=\dfrac{35}{4}\lambda$, $\dfrac94\lambda$ e $\dfrac{11}{20}\lambda$.
Resolução comentada · Método TEF
Um ponto do eixo à distância $x$ de B está a $\sqrt{x^2+9\lambda^2}$ de A. A interferência é destrutiva quando a diferença de caminhos é um múltiplo ímpar de meio comprimento de onda:
