OBF 2013 — 3ª fase · Nível II (1ª e 2ª séries) | Física resolvida

Q01

Física geral — Grandezas e unidades — Medida do raio da Terra por Eratóstenes

Exclusiva do aluno da 1ª série no caderno original

Eratóstenes foi o primeiro a medir o raio da Terra. Quando o Sol estava mais ao norte, os raios solares eram verticais ao meio-dia em Siene (hoje Assuã). No mesmo instante, em Alexandria, a sombra de um bastão vertical mostrava raios inclinados de aproximadamente $7{,}2^\circ$ com a vertical. A distância de Alexandria a Siene é de 5000 estádios, hoje equivalente a 800 km. Supondo os raios solares paralelos, qual foi o valor do raio da Terra medido por Eratóstenes? Use $\pi=3$.

Resposta TEF: $R\approx6{,}7\times10^{3}\ \text{km}$.

Resolução comentada · Método TEF

O ângulo de $7{,}2^\circ$ é o ângulo central entre Alexandria e Siene, e $\dfrac{360^\circ}{7{,}2^\circ}=50$. O arco de $800\ \text{km}$ é $\dfrac1{50}$ da circunferência: $C=50\cdot800=40\,000\ \text{km}$.

$$R=\frac{C}{2\pi}=\frac{40\,000}{6}\approx6{,}7\times10^{3}\ \text{km}$$

Q02

Mecânica — Movimento circular — Desaceleração angular de um disco

Exclusiva do aluno da 1ª série no caderno original

Uma vitrola® era usada para tocar discos de vinil (LP). O prato da vitrola, onde se posicionava o LP, gira a 33 RPM. Quando se desliga o aparelho, o disco para após executar três rotações. Determine a aceleração angular do disco e o tempo que o disco leva até parar. Use $\pi=3$.

Resposta TEF: $\alpha\approx-0{,}30\ \text{rad/s}^2$ e $t\approx11\ \text{s}$.

Resolução comentada · Método TEF

Velocidade angular inicial: $33\ \text{RPM}=0{,}55\ \text{Hz}$, logo $\omega_0=2\pi f=6\cdot0{,}55=3{,}3\ \text{rad/s}$.

Ângulo percorrido até parar: $\Delta\theta=3\cdot2\pi=18\ \text{rad}$. Desaceleração constante: $0=\omega_0^2+2\alpha\,\Delta\theta$:

$$\alpha=-\frac{\omega_0^2}{2\,\Delta\theta}=-\frac{3{,}3^2}{36}\approx-0{,}30\ \text{rad/s}^2$$

$$t=\frac{\omega_0}{|\alpha|}=\frac{3{,}3}{0{,}30}\approx11\ \text{s}$$

Q03

Mecânica — Cinemática — Velocidade média em trechos

Exclusiva do aluno da 1ª série no caderno original

Um veículo move-se de um ponto A a um ponto B em linha reta. Metade do trajeto é feito com velocidade $v$ e a outra metade é feita de forma que, na metade do tempo restante, a velocidade é $v/2$ e, na outra metade deste tempo, a velocidade é $v/4$. Qual é a velocidade média no trajeto de A até B, em função de $v$?

Resposta TEF: $v_m=\dfrac{6}{11}\,v\approx0{,}55\,v$.

Resolução comentada · Método TEF

Seja $d$ a distância total. Primeira metade: $t_1=\dfrac{d/2}{v}=\dfrac{d}{2v}$.

Segunda metade, em um tempo total $T$: $\dfrac v2\cdot\dfrac T2+\dfrac v4\cdot\dfrac T2=\dfrac{3\,v\,T}{8}=\dfrac d2\Rightarrow T=\dfrac{4\,d}{3\,v}$.

$$v_m=\frac{d}{t_1+T}=\frac{d}{\frac{d}{2v}+\frac{4d}{3v}}=\frac{6\,v}{11}$$

Q04

Mecânica — Estática — Equilíbrio de um ponto sob tração de dois cabos

A figura mostra um lustre preso por dois cabos (a $60^\circ$ e a $45^\circ$ com a horizontal). Cada cabo pode suportar no máximo uma tensão de 14 N. Qual é o maior peso que o lustre pode ter para que o sistema fique em equilíbrio estático? Use $\cos45^\circ=0{,}7$; $\cos60^\circ=0{,}5$ e $\text{sen}\,60^\circ=0{,}8$.

Lustre preso por dois cabos: um a 60° e outro a 45° com a horizontal

Resposta TEF: $P_{max}\approx18{,}2\ \text{N}$.

Resolução comentada · Método TEF

Equilíbrio horizontal: $T_1\cos60^\circ=T_2\cos45^\circ\Rightarrow0{,}5\,T_1=0{,}7\,T_2\Rightarrow T_1=1{,}4\,T_2$. O cabo mais tracionado é o de $60^\circ$: $T_1=14\ \text{N}$ e $T_2=10\ \text{N}$.

Equilíbrio vertical ($\text{sen}\,45^\circ=\cos45^\circ=0{,}7$): $$P=T_1\,\text{sen}\,60^\circ+T_2\,\text{sen}\,45^\circ=14\cdot0{,}8+10\cdot0{,}7=18{,}2\ \text{N}$$

Q05

Mecânica — Cinemática — Lançamento horizontal: intervalo de velocidades

Uma esteira horizontal se desloca com velocidade $v_0$ e descarrega areia dentro de uma caixa, como mostra a figura (a parede da caixa mais próxima da esteira tem o topo $2{,}0\ \text{m}$ abaixo do nível da esteira e fica a $2{,}0\ \text{m}$ de sua extremidade; a parede oposta tem o topo $0{,}5\ \text{m}$ abaixo desse nível e a caixa tem $0{,}5\ \text{m}$ de largura). Qual é o intervalo de velocidades com que a esteira deve se mover para que a areia caia na caixa? Use $\sqrt{10}=3{,}2$ ($g=10\ \text{m/s}^2$).

Esteira horizontal com velocidade v0 descarregando areia em uma caixa a 2,0 m de distância horizontal, com paredes a 0,5 m e 2,0 m abaixo do nível da esteira

Resposta TEF: $3{,}2\ \text{m/s}\le v_0\le7{,}9\ \text{m/s}$.

Resolução comentada · Método TEF

Ressalva: a interpretação das cotas da figura (posição e altura de cada parede) é a descrita no enunciado reescrito.

A areia sai horizontalmente com $v_0$: a queda após percorrer a distância horizontal $x$ é $y=\dfrac{g\,x^2}{2\,v_0^2}$.

Velocidade mínima: a areia precisa passar sobre a parede próxima ($x=2{,}0\ \text{m}$, topo $2{,}0\ \text{m}$ abaixo): $y(2)\le2{,}0\Rightarrow\dfrac{5\cdot4}{v_0^2}\le2\Rightarrow v_0\ge\sqrt{10}\approx3{,}2\ \text{m/s}$.

Velocidade máxima: a areia não pode passar por cima da parede oposta ($x=2{,}5\ \text{m}$, topo $0{,}5\ \text{m}$ abaixo): $y(2{,}5)\ge0{,}5\Rightarrow\dfrac{5\cdot6{,}25}{v_0^2}\ge0{,}5\Rightarrow v_0\le\sqrt{62{,}5}\approx7{,}9\ \text{m/s}$.

$$3{,}2\ \text{m/s}\le v_0\le7{,}9\ \text{m/s}$$

Q06

Mecânica — Estática — Centro de massa e equilíbrio de livros empilhados

Três livros idênticos, de comprimento $L$, estão empilhados com uma taça de $\tfrac1{10}$ do peso de um livro posicionada como mostra a figura (na extremidade esquerda do livro de cima). Qual o valor limite da razão $b/a$ para que o conjunto fique em equilíbrio?

Três livros empilhados em degraus com deslocamentos a e b e uma taça sobre a extremidade esquerda do livro de cima

Resposta TEF: $\left(\dfrac ba\right)_{max}=\dfrac{181}{126}\approx1{,}44$ (com $a_{max}=\dfrac{6L}{11}$ e $b_{max}=\dfrac{181\,L}{231}$).

Resolução comentada · Método TEF

Ressalva: $a$ e $b$ são independentes; a razão $b/a\approx1{,}44$ é obtida quando os dois livros estão simultaneamente no limite de equilíbrio. Para $a$ menor, $b/a$ admissível seria maior.

Seja $W$ o peso de um livro. Meça distâncias a partir da extremidade direita do livro de cima. Livro de cima + taça: peso $1{,}1\,W$ e centro de massa a $x_1=\dfrac{W\cdot\frac L2+0{,}1\,W\cdot L}{1{,}1\,W}=\dfrac{6L}{11}$. Ele fica em equilíbrio sobre o livro do meio se esse ponto estiver sobre o apoio, isto é, a partir da borda do livro do meio: $a\le x_1=\dfrac{6L}{11}$.

Livro do meio + de cima + taça: peso $2{,}1\,W$ e centro de massa a $x_2=\dfrac{1{,}1\,x_1+1\cdot\left(a+\frac L2\right)}{2{,}1}$. Equilíbrio sobre o livro de baixo: $b\le x_2$.

Na situação-limite, $a=\dfrac{6L}{11}$ e

$$b=\frac{0{,}6\,L+\frac{6L}{11}+\frac L2}{2{,}1}=\frac{181}{231}L\ \Rightarrow\ \frac ba=\frac{181}{126}\approx1{,}44$$

Q07

Mecânica — Hidrostática — Período de um pêndulo imerso em fluido

Um pêndulo simples, quando posto para oscilar no interior de um tanque com um fluido, tem seu período aumentado em 40% em relação ao período no ar. Determine a razão entre a densidade do corpo pendular e a densidade do fluido. Despreze a resistência do ar e do fluido sobre o pêndulo.

Resposta TEF: $\dfrac{\rho_{corpo}}{\rho_{fluido}}\approx2{,}0$.

Resolução comentada · Método TEF

No fluido, a força restauradora efetiva é $(P-E)\,\text{sen}\,\theta$ e a massa que oscila é a do corpo: a gravidade efetiva é $g^{\prime}=g\left(1-\dfrac{\rho_f}{\rho_c}\right)$ (desprezando a massa adicionada pelo fluido).

$\dfrac{T^{\prime}}{T}=\sqrt{\dfrac g{g^{\prime}}}=1{,}4\Rightarrow\dfrac{g^{\prime}}{g}=\dfrac1{1{,}96}$. Então $1-\dfrac{\rho_f}{\rho_c}=0{,}51\Rightarrow\dfrac{\rho_f}{\rho_c}=0{,}49$:

$$\frac{\rho_c}{\rho_f}=\frac{1{,}96}{0{,}96}\approx2{,}0$$

Q08

Mecânica — Hidrostática — Encontro de duas esferas em um fluido

Uma pequena esfera com densidade relativa $\rho_1=1{,}5$ é solta na superfície livre de um recipiente com água. No mesmo instante é solta outra pequena esfera, de densidade relativa $\rho_2=0{,}5$, do fundo do recipiente. Em que profundidade, a partir da superfície livre, as esferas irão se encontrar? Despreze a viscosidade e as dimensões das esferas.

Resposta TEF: A $\dfrac H4$ da superfície ($H$ = profundidade da água).

Resolução comentada · Método TEF

Aceleração de cada esfera (peso menos empuxo): $a_1=g\left(1-\dfrac1{\rho_1}\right)=\dfrac g3$ para baixo e $a_2=g\left(\dfrac1{\rho_2}-1\right)=g$ para cima.

Partem do repouso e se encontram quando a soma dos deslocamentos é $H$: $\tfrac12\left(\dfrac g3+g\right)t^2=H$. A esfera 1 desce $\tfrac12\dfrac g3\,t^2$, ou seja,

$$d_1=H\cdot\frac{g/3}{g/3+g}=\frac H4$$

Q09

Termologia — Calorimetria — Equilíbrio térmico com fusão parcial

Exclusiva do aluno da 1ª série no caderno original

Um pedaço de gelo de 0,30 kg a $0\ ^\circ\text{C}$ é colocado em um recipiente termicamente isolado contendo 2,0 kg de água a $10\ ^\circ\text{C}$. Determine a temperatura e a composição final do sistema. Dados: $c_{água}=1{,}0\ \text{cal/g°C}$; $c_{gelo}=0{,}50\ \text{cal/g°C}$; $L_f=80\ \text{cal/g}$.

Resposta TEF: $0\ ^\circ\text{C}$, com $250\ \text{g}$ de gelo fundidos: $50\ \text{g}$ de gelo e $2{,}25\ \text{kg}$ de água líquida.

Resolução comentada · Método TEF

Calor que a água pode ceder ao esfriar até $0\ ^\circ\text{C}$: $Q_{água}=2000\cdot1\cdot10=20\,000\ \text{cal}$.

Calor necessário para fundir todo o gelo: $Q_f=300\cdot80=24\,000\ \text{cal}>20\,000\ \text{cal}$. Logo nem todo o gelo funde e o equilíbrio ocorre a $0\ ^\circ\text{C}$.

Massa fundida: $m=\dfrac{20\,000}{80}=250\ \text{g}$. Composição final: $50\ \text{g}$ de gelo e $2000+250=2250\ \text{g}$ de água líquida, a $0\ ^\circ\text{C}$.

Q10

Mecânica — Quantidade de movimento — Colisões elásticas sucessivas entre três esferas

As duas esferas à direita (de massas $m_1$ e $m_2$) estão inicialmente em repouso e a esfera da esquerda (massa $m_1$) incide sobre a do centro com velocidade $v_0$. Supondo que as colisões sejam frontais e elásticas, mostre que se $m_1\ge m_2$ há duas colisões e se $m_1

Três esferas em linha: a da esquerda (m1) com velocidade v0 em direção às outras duas, m1 e m2

Resposta TEF: Demonstração abaixo.

Resolução comentada · Método TEF

1ª colisão (massas iguais, $m_1$ contra $m_1$ em repouso): a esfera incidente para e a do centro sai com $v_0$.

2ª colisão (esfera do centro, massa $m_1$, com velocidade $v_0$, contra $m_2$ em repouso): $$v_{c}=\frac{m_1-m_2}{m_1+m_2}\,v_0\qquad v_{d}=\frac{2\,m_1}{m_1+m_2}\,v_0$$

Se $m_1\ge m_2$: $v_c\ge0$. A esfera do centro continua para a direita (ou para) e a da direita se afasta mais rápido ($v_d>v_c$). A esfera da esquerda está em repouso; não há mais colisões: duas colisões.

Se $m_1 $v_c<0$: a esfera do centro volta e atinge a da esquerda, que está em repouso: 3ª colisão (massas iguais, a do centro para e a da esquerda sai para a esquerda com $|v_c|$). Depois disso: a esfera da esquerda foge para a esquerda, a do centro fica parada e a da direita se move para a direita: nada mais colide, três colisões.

Q11
Mecânica — Trabalho e energia — Mola, atrito e loop: compressão mínima
Um pequeno corpo de massa $m$ pode deslizar ao longo de uma superfície horizontal de comprimento $3R$ (de A a B) e então ao longo de uma trajetória circular de raio $R$. O coeficiente de atrito cinético é $0{,}5$ entre A e B e nulo ao longo da circunferência. O bloco sai do repouso no ponto A com a mola (de constante $k$) comprimida. Qual deve ser a menor compressão da mola para que o bloco percorra todo o círculo sem perda de contato?
Resposta TEF: $x_{min}=\sqrt{\dfrac{8\,m\,g\,R}{k}}$.
Resolução comentada · Método TEF
Para completar o círculo, no ponto mais alto $N\ge0$: $m\,g\le\dfrac{m\,v_t^2}{R}\Rightarrow v_t^2\ge g\,R$. Conservação da energia de B ao topo (sem atrito): $\tfrac12m\,v_B^2=\tfrac12m\,v_t^2+2\,m\,g\,R\Rightarrow v_B^2\ge5\,g\,R$.
De A a B, o atrito dissipa $\mu\,m\,g\,(3R)=1{,}5\,m\,g\,R$. Energia da mola: $\tfrac12k\,x^2=\tfrac12m\,v_B^2+1{,}5\,m\,g\,R=2{,}5\,m\,g\,R+1{,}5\,m\,g\,R=4\,m\,g\,R$:
$$x_{min}=\sqrt{\frac{8\,m\,g\,R}{k}}$$

Q12
Óptica — Refração da luz — Velocidade aparente de um objeto no fundo de uma piscina
Um observador em O olha diretamente para uma pedra no fundo de uma piscina inicialmente vazia. A piscina tem base retangular de dimensões $L$ e $2L$. À medida que se enche a piscina com água, de índice de refração $n_A$, o observador tem a impressão de que a pedra vai se deslocando. A que velocidade o observador vê a pedra se mover enquanto a piscina enche a uma vazão constante $I_V$? (A linha de visada forma um ângulo $\theta$ com a horizontal.)
Resposta TEF: $v=\dfrac{I_V}{2L^{2}}\left[1-\dfrac{\text{sen}\,\theta}{\sqrt{n_A^{2}-\cos^{2}\theta}}\right]$ (verticalmente, para cima).
Resolução comentada · Método TEF
Ressalva: adotou-se como posição “vista” da pedra a intersecção do prolongamento do raio emergente com a vertical que passa pela pedra (convenção usual para o observador distante).
O nível sobe com velocidade $\dfrac{dh}{dt}=\dfrac{I_V}{2L^2}$ (área da base $2L^2$).
Com a água até a altura $h$, o raio de luz que vai da pedra ao observador sai da superfície a um ângulo $i=90^\circ-\theta$ com a vertical e, na água, forma o ângulo $r$ com a vertical: $\text{sen}\,i=n_A\,\text{sen}\,r$, ou seja $\cos\theta=n_A\,\text{sen}\,r$.
Deslocamento horizontal do raio na água: $h\tan r$. O prolongamento, no ar, do raio emergente corta a vertical da pedra a uma profundidade (aparente) $h_{ap}=\dfrac{h\tan r}{\tan i}$ abaixo da superfície, de modo que a imagem está a uma altura $y=h-h_{ap}$ acima do fundo.
Com $\tan r=\dfrac{\cos\theta}{\sqrt{n_A^2-\cos^2\theta}}$ e $\tan i=\dfrac{\cos\theta}{\text{sen}\,\theta}$: $\dfrac{\tan r}{\tan i}=\dfrac{\text{sen}\,\theta}{\sqrt{n_A^2-\cos^2\theta}}$ e
$$v=\frac{dy}{dt}=\left[1-\frac{\text{sen}\,\theta}{\sqrt{n_A^2-\cos^2\theta}}\right]\frac{I_V}{2L^2}$$
Para observação vertical ($\theta=90^\circ$): $v=\left(1-\dfrac1{n_A}\right)\dfrac{I_V}{2L^2}$, o resultado conhecido de profundidade aparente.

Dados da prova