OBF 2013 — 3ª fase · Nível I (8º e 9º anos) | Física resolvida

Q01

Mecânica — Movimento circular — Desaceleração angular de um disco

Uma vitrola® era usada para tocar discos de vinil (LP). O prato da vitrola, onde se posicionava o LP, gira a 33 RPM. Quando se desliga o aparelho, o disco para após executar três rotações. Determine a aceleração angular do disco e o tempo que o disco leva até parar. Use $\pi=3$.

Resposta TEF: $\alpha\approx-0{,}30\ \text{rad/s}^2$ e $t\approx11\ \text{s}$.

Resolução comentada · Método TEF

Velocidade angular inicial: $33\ \text{RPM}=0{,}55\ \text{Hz}$, logo $\omega_0=2\pi f=6\cdot0{,}55=3{,}3\ \text{rad/s}$.

Ângulo percorrido até parar: $\Delta\theta=3\cdot2\pi=18\ \text{rad}$. Desaceleração constante: $0=\omega_0^2+2\alpha\,\Delta\theta$:

$$\alpha=-\frac{\omega_0^2}{2\,\Delta\theta}=-\frac{3{,}3^2}{36}\approx-0{,}30\ \text{rad/s}^2$$

$$t=\frac{\omega_0}{|\alpha|}=\frac{3{,}3}{0{,}30}\approx11\ \text{s}$$

Q02

Termologia — Calorimetria — Equilíbrio térmico com fusão parcial

Um pedaço de gelo de 0,30 kg a $0\ ^\circ\text{C}$ é colocado em um recipiente termicamente isolado contendo 2,0 kg de água a $10\ ^\circ\text{C}$. Determine a temperatura e a composição final do sistema. Dados: $c_{água}=1{,}0\ \text{cal/g°C}$; $c_{gelo}=0{,}50\ \text{cal/g°C}$; $L_f=80\ \text{cal/g}$.

Resposta TEF: $0\ ^\circ\text{C}$, com $250\ \text{g}$ de gelo fundidos: $50\ \text{g}$ de gelo e $2{,}25\ \text{kg}$ de água líquida.

Resolução comentada · Método TEF

Calor que a água pode ceder ao esfriar até $0\ ^\circ\text{C}$: $Q_{água}=2000\cdot1\cdot10=20\,000\ \text{cal}$.

Calor necessário para fundir todo o gelo: $Q_f=300\cdot80=24\,000\ \text{cal}>20\,000\ \text{cal}$. Logo nem todo o gelo funde e o equilíbrio ocorre a $0\ ^\circ\text{C}$.

Massa fundida: $m=\dfrac{20\,000}{80}=250\ \text{g}$. Composição final: $50\ \text{g}$ de gelo e $2000+250=2250\ \text{g}$ de água líquida, a $0\ ^\circ\text{C}$.

Q03

Física geral — Grandezas e unidades — Medida do raio da Terra por Eratóstenes

Eratóstenes foi o primeiro a medir o raio da Terra. Quando o Sol estava mais ao norte, os raios solares eram verticais ao meio-dia em Siene (hoje Assuã). No mesmo instante, em Alexandria, a sombra de um bastão vertical mostrava raios inclinados de aproximadamente $7{,}2^\circ$ com a vertical. A distância de Alexandria a Siene é de 5000 estádios, hoje equivalente a 800 km. Supondo os raios solares paralelos, qual foi o valor do raio da Terra medido por Eratóstenes? Use $\pi=3$.

Resposta TEF: $R\approx6{,}7\times10^{3}\ \text{km}$.

Resolução comentada · Método TEF

O ângulo de $7{,}2^\circ$ é o ângulo central entre Alexandria e Siene, e $\dfrac{360^\circ}{7{,}2^\circ}=50$. O arco de $800\ \text{km}$ é $\dfrac1{50}$ da circunferência: $C=50\cdot800=40\,000\ \text{km}$.

$$R=\frac{C}{2\pi}=\frac{40\,000}{6}\approx6{,}7\times10^{3}\ \text{km}$$

Q04

Mecânica — Cinemática — Alcance em plano inclinado: faixa de velocidades de lançamento

Um pulverizador é projetado para atuar em terrenos inclinados. Ele lança os produtos com velocidades variáveis de acordo com a pressão da bomba e, assim, cobre uma determinada faixa do terreno. Do ponto A de um terreno inclinado (de comprimento $R$ e inclinação $\theta$) lança-se um jato com velocidade $v_0$ perpendicularmente ao plano, como mostra a figura. Quais os possíveis valores da velocidade de lançamento para que a região pulverizada seja todo o plano?

Terreno inclinado de ângulo θ e comprimento R, com um jato lançado perpendicularmente do ponto A com velocidade v0

Resposta TEF: $0

Resolução comentada · Método TEF

Para um lançamento perpendicular ao plano, o jato volta ao plano em $T=\dfrac{2v_0}{g\cos\theta}$ (movimento perpendicular ao plano, com $g_\perp=g\cos\theta$) e, ao longo do plano, parte do repouso com aceleração $g\,\text{sen}\,\theta$, atingindo a distância

$$d=\tfrac12\,g\,\text{sen}\,\theta\,T^2=\frac{2\,v_0^2\,\text{sen}\,\theta}{g\cos^2\theta}$$

Quanto maior $v_0$, mais longe o jato cai; como $v_0$ varia continuamente a partir de zero, o jato molha todos os pontos de A até a distância $d(v_0)$. Para cobrir todo o plano de comprimento $R$ é preciso (e basta) chegar até o seu final: $d(v_0)\ge R$ para o máximo, isto é, a pressão da bomba deve permitir velocidades de $0$ até

$$v_{max}=\cos\theta\sqrt{\frac{g\,R}{2\,\text{sen}\,\theta}}$$

Qualquer valor $0

Q05

Mecânica — Dinâmica — Sistema de polias e vantagem mecânica

No sistema de polias mostrado na figura, qual deve ser a força aplicada na extremidade livre da corda para levantar o objeto de 2 kg? (Polias e cordas ideais; $g=10\ \text{m/s}^2$.)

Sistema com três polias e duas cordas, força F aplicada na ponta livre e objeto de 2 kg suspenso

Resposta TEF: $F=5\ \text{N}$ (a extremidade da corda percorre $8$ cm para cada $2$ cm de subida do objeto).

Resolução comentada · Método TEF

Ressalva: a leitura do desenho (haste ligando a polia do meio à ponta da corda B) é a descrita acima; o resultado supõe elevação lenta (equilíbrio).

Há duas cordas. A corda A, onde se aplica $F$, passa pela polia móvel do meio (presa por uma haste à outra corda) e pela polia que sustenta o objeto, e termina no teto. A corda B passa pela polia fixa de cima: numa ponta sustenta a polia do meio e na outra, a polia do objeto. Todas as trações de A valem $F$.

Polia do meio (sem massa): a corda A a puxa para baixo com $2F$ (dois trechos), equilibrada pela tração $T_B$ da corda B: $T_B=2F$.

Polia do objeto: sustentada por dois trechos da corda A ($2F$) e pela corda B ($T_B=2F$): $4F=m\,g=20\ \text{N}$:

$$F=5\ \text{N}$$

Vantagem mecânica 4: para levantar o objeto de $2\ \text{cm}$ puxa-se a corda de $8\ \text{cm}$ (o trabalho é o mesmo: $5\cdot0{,}08=20\cdot0{,}02=0{,}4\ \text{J}$).

Q06

Mecânica — Cinemática — Distância mínima de frenagem com móvel à frente

Quando um carro com velocidade de 20 m/s entra numa rua, o motorista vê outro carro à sua frente, a uma distância $d$, trafegando no mesmo sentido. Para evitar um acidente, ele pisa imediatamente nos freios. Se o carro da frente está a 10 m/s e a aceleração do primeiro, devido à frenagem, é de $5\ \text{m/s}^2$, qual deve ser o menor valor de $d$ para que os carros não colidam?

Resposta TEF: $d_{min}=10\ \text{m}$.

Resolução comentada · Método TEF

No referencial do carro da frente, o carro de trás se aproxima com velocidade relativa $20-10=10\ \text{m/s}$ e desacelera a $5\ \text{m/s}^2$. Para não bater, a velocidade relativa deve se anular antes de a distância se esgotar:

$$d_{min}=\frac{v_{rel}^2}{2\,a}=\frac{10^2}{2\cdot5}=10\ \text{m}$$

Q07

Mecânica — Hidrostática — Empuxo e leitura de balança

Um cubo de certo material, com densidade relativa $\rho>1$, está preso a um fio e totalmente imerso num béquer de 200 g com 500 mL de água, apoiado numa balança. Se a leitura da balança for 17 N, qual é a medida da aresta do cubo? Dados: densidade da água $10^{3}\ \text{kg/m}^3$ e $g=10\ \text{m/s}^2$.

Cubo preso por um fio, totalmente imerso em um béquer com água sobre uma balança que marca 17 N

Resposta TEF: $a=10\ \text{cm}$.

Resolução comentada · Método TEF

O béquer e a água pesam $(0{,}200+0{,}500)\cdot10=7\ \text{N}$. O cubo está preso ao fio (e, portanto, não pesa sobre a balança), mas a água é empurrada pelo cubo com uma força igual ao empuxo (terceira lei): a leitura é $7+E=17\ \text{N}\Rightarrow E=10\ \text{N}$.

$$E=\rho_{água}\,g\,V\Rightarrow V=\frac{10}{10^3\cdot10}=10^{-3}\ \text{m}^3\Rightarrow a=\sqrt[3]{V}=0{,}10\ \text{m}=10\ \text{cm}$$

Q08

Mecânica — Movimento circular — Frequência de rotação e taxa de quadros

O cinematógrafo é um projetor de imagens em movimento. Fendas verticais são posicionadas na periferia de um tambor; na parte interna são colocadas, nos intervalos entre as fendas, imagens sucessivas de uma cena. Enquanto o tambor gira, o observador tem a ilusão de movimento. Um fabricante de celulares anunciou que seu produto produz vídeos em full HD a uma taxa de 60 quadros por segundo. Qual deveria ser a velocidade angular de um cinematógrafo com 15 fendas para obter a taxa de 60 quadros por segundo? ($\pi=3$)

Tambor de um cinematógrafo com fendas verticais na periferia e imagens de um cavalo em sequência

Resposta TEF: $f=4\ \text{Hz}$ ($240$ RPM), $\omega=24\ \text{rad/s}$.

Resolução comentada · Método TEF

Cada fenda que passa diante do observador corresponde a um quadro. Com $15$ fendas, cada volta produz $15$ quadros. Para $60$ quadros por segundo:

$$f=\frac{60}{15}=4\ \text{voltas/s}\ \Rightarrow\ \omega=2\pi f=6\cdot4=24\ \text{rad/s}$$

Dados da prova