UFC 1993.2 · 2ª Etapa — Questões de Física comentadas — Método TEF

O gráfico fornece altura máxima H = 20 m e alcance horizontal A = 160 m. O retorno ocorre ao mesmo nível do lançamento. As expressões para essas grandezas são:

$$H=\frac{v_0^2\sin^2\theta_0}{2g}$$

$$A=\frac{v_0^2\sin(2\theta_0)}g$$

Dividimos as expressões para eliminar a velocidade inicial e a gravidade.

$$\frac HA=\frac{\sin^2\theta_0}{2\sin(2\theta_0)}$$

$$\frac HA=\frac{\sin^2\theta_0}{4\sin\theta_0\cos\theta_0}$$

$$\frac HA=\frac{\tan\theta_0}{4}$$

Substituindo os dados lidos no gráfico:

$$\tan\theta_0=\frac{4H}{A}$$

$$\tan\theta_0=\frac{4\cdot20}{160}=\frac12$$

Os 80 m correspondem à posição horizontal do ápice, que é metade do alcance. A razão H/A não é diretamente a tangente do ângulo inicial, pois a trajetória é curva.

O movimento tem duas etapas: primeiro há força aplicada e atrito; depois, apenas o atrito freia o bloco. Como a força aplicada é horizontal:

$$N=mg$$

$$f=\mu mg=0{,}3\cdot5\cdot10=15\text{ N}$$

Primeira etapa. Nos quatro segundos iniciais, a resultante é constante.

$$F_R=60-15=45\text{ N}$$

$$a_1=\frac{45}{5}=9\text{ m/s}^2$$

$$v_1=a_1t=9\cdot4=36\text{ m/s}$$

$$d_1=\frac12a_1t^2$$

$$d_1=\frac12\cdot9\cdot4^2=72\text{ m}$$

Segunda etapa. Retirada a força aplicada, a aceleração tem sentido contrário à velocidade.

$$a_2=-\frac fm=-3\text{ m/s}^2$$

$$0=v_1^2+2a_2d_2$$

$$d_2=\frac{36^2}{2\cdot3}=216\text{ m}$$

Somamos as duas distâncias.

$$D=d_1+d_2$$

$$D=72+216=288\text{ m}$$

O bloco continua em movimento depois que cessa o empurrão; os quatro segundos não são o tempo total até a parada.

O maior aumento de comprimento ocorre entre as temperaturas mínima e máxima. Tomamos o comprimento de 20 m na condição inicial a 15 °C.

$$\Delta T=55-15=40\,^{\circ}\text{C}$$

$$\Delta L=\alpha L_0\Delta T$$

$$\Delta L=11{,}4\times10^{-6}\cdot20\cdot40$$

$$\Delta L=9{,}12\times10^{-3}\text{ m}$$

$$\Delta L=9{,}12\text{ mm}$$

Em uma sequência ideal de trilhos iguais, com expansão simétrica em torno de seus centros, cada extremidade avança metade do aumento de comprimento. Em uma junta, os dois avanços se somam.

$$e_{mín}=\frac{\Delta L}{2}+\frac{\Delta L}{2}$$

$$e_{mín}=\Delta L=9{,}12\text{ mm}$$

Não se soma duas vezes a dilatação completa de um trilho. O valor é o espaço de fechamento térmico no modelo da questão, sem acrescentar critérios de projeto ou condições reais de fixação.

O slide quadrado tem lado 4 cm. A imagem de área 1 m² tem lado 100 cm.

$$a_o=\sqrt{16}=4\text{ cm}$$

$$a_i=100\text{ cm}$$

O módulo do aumento linear é a razão entre os lados, não entre as áreas.

$$|A|=\frac{a_i}{a_o}=\frac{100}{4}=25$$

Projeção em tela. O comentário trata a imagem como real e invertida, com aumento −25.

$$A=-\frac{p'}p=-25$$

$$p'=25p$$

Usamos a equação da lente fina.

$$\frac1f=\frac1p+\frac1{p'}$$

$$\frac15=\frac1p+\frac1{25p}$$

$$\frac15=\frac{26}{25p}$$

$$p=\frac{26}{5}=5{,}2\text{ cm}$$

Nessa condição, a imagem se forma a 130 cm da lente.

Hipótese de formação da imagem. O enunciado não menciona uma tela. Se admitir imagem virtual direita com aumento +25, a equação fica:

$$p'=-25p$$

$$\frac15=\frac1p-\frac1{25p}$$

$$p=\frac{24}{5}=4{,}8\text{ cm}$$

A resposta de 5,2 cm corresponde à interpretação de projeção do slide adotada na fonte. A área, sozinha, fixa o módulo do aumento e não sua orientação.

A carga negativa precisa ficar entre as positivas para que as duas atrações tenham sentidos opostos. Chamamos de r₁ e r₂ suas distâncias às cargas +2q e +8q.

$$\frac{k(2q)q}{r_1^2}=\frac{k(8q)q}{r_2^2}$$

$$\frac{r_2^2}{r_1^2}=4$$

$$r_2=2r_1$$

A distância total entre as cargas positivas corresponde a três partes iguais.

$$r_1+r_2=3r_1$$

$$\frac{r_1}{r_1+r_2}=\frac13$$

O ponto procurado está a um terço do segmento que vai de (0,0) a (6,6). Aplicamos a mesma fração às duas coordenadas.

$$x=0+\frac13(6-0)=2$$

$$y=0+\frac13(6-0)=2$$

$$P=(2,2)$$

As coordenadas (6,6) não significam uma separação escalar de 6: a distância total é 6√2. Trabalhar com a divisão proporcional do segmento evita confundir uma coordenada com uma distância.

Usamos o modelo resistivo à tensão de 220 V. A potência é:

$$P=\frac{U^2}{R}$$

$$P=\frac{220^2}{22}=2200\text{ W}$$

$$P=2{,}2\text{ kW}$$

O tempo acumulado no mês é convertido para horas.

$$\Delta t=30\cdot\frac{10}{60}$$

$$\Delta t=5\text{ h}$$

A energia consumida é o produto da potência pelo tempo total.

$$E=P\Delta t$$

$$E=2{,}2\cdot5$$

$$E=11\text{ kWh}$$

kWh é uma unidade de energia, não de potência. Não é necessário conhecer a tarifa para determinar o consumo; ela seria necessária para calcular o custo.

a. No modo fundamental de uma corda fixa nas duas extremidades, há um ventre e dois nós. O comprimento da corda contém meia onda.

$$\lambda_1=2L$$

$$\lambda_1=2\cdot1=2{,}0\text{ m}$$

As duas cordas têm o mesmo comprimento e as mesmas condições de contorno, portanto o comprimento de onda fundamental é igual.

b. As densidades lineares são massa dividida pelo comprimento. Convertemos gramas para quilogramas.

$$\mu_{25}=\frac{25\times10^{-3}}1=0{,}025\text{ kg/m}$$

$$\mu_4=\frac{4\times10^{-3}}1=0{,}004\text{ kg/m}$$

As velocidades são diferentes sob a mesma tração.

$$v_{25}=\sqrt{\frac{40}{0{,}025}}=40\text{ m/s}$$

$$v_4=\sqrt{\frac{40}{0{,}004}}=100\text{ m/s}$$

Calculamos as frequências pela relação de propagação.

$$f_{25}=\frac{40}{2}=20\text{ Hz}$$

$$f_4=\frac{100}{2}=50\text{ Hz}$$

A corda de menor densidade linear produz a frequência fundamental mais alta, embora tenha o mesmo comprimento de onda fundamental da outra.

O fio puxa a barra para cima na extremidade direita. O peso da barra atua em seu centro, por ser homogênea. Tomamos momentos em torno da articulação para eliminar a força desconhecida do apoio.

$$TL=P_b\frac L2$$

$$T=\frac{P_b}{2}$$

$$T=\frac{100}{2}=50\text{ N}$$

Na esfera, o fio puxa para baixo. Seu equilíbrio exige que o empuxo compense o peso e a tração.

$$E=P_e+T$$

$$E=50+50=100\text{ N}$$

Usando a densidade da água de 1000 kg/m³, o princípio de Arquimedes fornece o volume externo deslocado.

$$E=\rho_{\text{água}} gV$$

$$V=\frac{100}{1000\cdot10}$$

$$V=1{,}0\times10^{-2}\text{ m}^3$$

$$V=10\text{ L}$$

A mesma tração atua em sentidos opostos na esfera e na barra. O volume pedido é o externo, que determina o empuxo, não apenas o volume do material de que a esfera é feita. A fonte omite o nome do elemento de ligação em parte do texto; a transcrição o identifica como fio pela figura e pela resolução.