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Q01

Física Moderna — Relatividade e quântica — Energia relativística

Um elétron é acelerado a partir do repouso até atingir uma energia relativística final igual a 2,5 MeV. A energia de repouso do elétron é $E_0=0{,}5$ MeV. Determine:

a energia cinética do elétron quando ele atinge a velocidade final;
a velocidade escalar atingida pelo elétron como uma fração da velocidade da luz no vácuo, $c$.

Resposta — UFC 2002 · 2ª Etapa

a) $K=2{,}0\text{ MeV}$

b) $v\approx0{,}98\,c$

Resolução

a) A energia relativística é a soma da energia cinética com a energia de repouso: $E_R=K+E_0$. Logo

$$K=E_R-E_0=2{,}5-0{,}5=2{,}0\ \text{MeV}.$$

b) A energia relativística é $E_R=mc^2$, com $m=\dfrac{m_0}{\sqrt{1-v^2/c^2}}$. Como $E_0=m_0c^2$,

$$E_R=\dfrac{E_0}{\sqrt{1-v^2/c^2}}\ \Rightarrow\ 1-\dfrac{v^2}{c^2}=\left(\dfrac{E_0}{E_R}\right)^2\ \Rightarrow\ v=c\sqrt{1-\left(\dfrac{E_0}{E_R}\right)^2}.$$

Com $E_0/E_R=0{,}5/2{,}5=\tfrac15$:

$$v=c\sqrt{1-\dfrac1{25}}=c\sqrt{\dfrac{24}{25}}=\dfrac{2\sqrt6}{5}\,c\approx0{,}98\,c.$$

Nota: a solução oficial da CCV/UFC fornece $v=0{,}96\,c$, que é o valor de $v^2/c^2$. A velocidade é a raiz quadrada, cerca de $0{,}98\,c$.

Q02

Mecânica — Dinâmica do movimento circular — Força central atrativa

Considere uma partícula de massa $m$, submetida à ação de uma força central atrativa do tipo $F=k/r$, onde $r$ é a distância entre a partícula e o centro de forças fixo no ponto O, e $k$ é uma constante.

Mostre que se a partícula estiver descrevendo uma órbita circular sob a ação de tal força, sua velocidade independe do raio da órbita.
Mostre que o período de rotação da partícula, em torno do ponto O, é proporcional a $r$.

Resposta — UFC 2002 · 2ª Etapa

a) $v=\sqrt{k/m}$, independente de $r$

b) $T=2\pi\sqrt{m/k}\;r$, proporcional a $r$

Resolução

a) A força é a única, está dirigida ao centro e é, portanto, a resultante centrípeta:

$$\dfrac kr=\dfrac{mv^2}{r}\ \Rightarrow\ v=\sqrt{\dfrac km}.$$

O raio $r$ se cancela, então $v$ não depende dele.

b) O período é o comprimento da órbita dividido pela velocidade:

$$T=\dfrac{2\pi r}{v}=2\pi\sqrt{\dfrac mk}\;r.$$

Como $m$ e $k$ são constantes, $T$ é diretamente proporcional a $r$.

Q03

Eletricidade — Circuitos elétricos — Potência dissipada em associação de resistores

No circuito ao lado, quando a chave S está aberta, a potência dissipada no resistor $R_0$ esquerdo é $P$. Quando a chave S é fechada, a potência total dissipada nos dois resistores $R_0$ tem o mesmo valor $P$. Calcule o valor de $R$, em termos de $R_0$. A resistência interna da fonte de fem $E$ é desprezível.

Circuito com fonte E, resistor R em série, um resistor Ro em paralelo e, após a chave S, outro resistor Ro

Resposta — UFC 2002 · 2ª Etapa

$R=\dfrac{\sqrt2}{2}\,R_0$

Resolução

Chave aberta. R e $R_0$ estão em série, a corrente é $i=\dfrac{E}{R+R_0}$ e a potência em $R_0$ é

$$P=R_0\,i^2=\dfrac{R_0E^2}{(R+R_0)^2}.$$

Chave fechada. Os dois $R_0$ ficam em paralelo, com resistência equivalente $R_0/2$. A corrente total é $\dfrac{E}{R+R_0/2}$ e cada $R_0$ recebe metade dela, $i_f=\dfrac12\cdot\dfrac{E}{R+R_0/2}$. A potência total nos dois resistores é

$$P_f=2R_0\,i_f^2=\dfrac{R_0E^2}{2\left(R+\frac{R_0}{2}\right)^2}.$$

Igualando $P=P_f$:

$$(R+R_0)^2=2\left(R+\dfrac{R_0}{2}\right)^2\ \Rightarrow\ R+R_0=\sqrt2\left(R+\dfrac{R_0}{2}\right),$$

onde se tomou a raiz positiva, pois $R$ e $R_0$ são positivos. Então

$$R(\sqrt2-1)=R_0\left(1-\dfrac{\sqrt2}{2}\right)\ \Rightarrow\ R=\dfrac{\sqrt2}{2}\,R_0.$$

Q04

Eletricidade — Eletrostática — Placas condutoras paralelas

Duas placas de espessura fina, condutoras e idênticas, inicialmente descarregadas, estão dispostas em paralelo e separadas por uma distância pequena quando comparada às dimensões delas. Uma quantidade de cargas, $+Q$, é depositada na placa superior (ver figura).

Duas placas paralelas, com a carga +Q sobre a superior; as faces são numeradas de 1 a 4, de cima para baixo

Qual a quantidade de carga, com seu respectivo sinal, presente em cada uma das quatro faces das placas após o equilíbrio eletrostático ser atingido?

Resposta — UFC 2002 · 2ª Etapa

Face 1: $+Q/2$; face 2: $+Q/2$; face 3: $-Q/2$; face 4: $+Q/2$.

Resolução

Na placa superior, a carga $+Q$ se distribui de modo que as faces 1 e 2 tenham cargas iguais, $+Q/2$ cada uma.

A carga $+Q/2$ da face 2 induz, na face 3 da placa inferior, a carga $-Q/2$. A placa inferior estava descarregada, então sua carga total continua nula, e a face 4 fica com $+Q/2$.

Q05

Eletricidade — Potência e energia elétrica — Rendimento de conversor solar

Suponha que você mora em uma casa que precisa de uma potência elétrica igual a 3,0 kW. Você tem um conversor que transforma energia solar em energia elétrica com uma eficiência de 10%. A energia solar que incide sobre sua casa, por unidade de tempo e por unidade de área, é 200 W/m². Qual deve ser a menor área da superfície do coletor solar necessário para atender sua casa?

Resposta — UFC 2002 · 2ª Etapa

$A=150\text{ m}^2$

Resolução

A potência elétrica útil é a eficiência vezes a potência solar incidente, que é a intensidade vezes a área $A$:

$$3{,}0\times10^{3}\ \text{W}=0{,}10\times200\ \dfrac{\text{W}}{\text{m}^2}\cdot A\ \Rightarrow\ A=\dfrac{3{,}0\times10^{3}}{20}\ \text{m}^2=150\ \text{m}^2.$$

Q06

Mecânica — Energia e trabalho — Teorema trabalho-energia cinética

Um bloco de massa $m=2{,}0$ kg é liberado do repouso, no alto de um edifício de 130 metros de altura. Após cair 120 metros, o bloco atinge sua velocidade terminal, de 20 m/s, por causa da resistência do ar. Use $g=10\ \text{m/s}^2$ para a aceleração da gravidade.

Determine o trabalho realizado pela força devida à resistência do ar ao longo dos primeiros 120 metros de queda.
Determine o trabalho total realizado sobre o bloco nos últimos 10 metros de queda.

Resposta — UFC 2002 · 2ª Etapa

a) $W_D=-2.000\text{ J}$

b) $W_{\text{total}}=0$

Resolução

a) O trabalho da força resultante (peso mais resistência do ar) é igual à variação da energia cinética. Neste trecho:

trabalho do peso: $W_P=mgh=2{,}0\cdot10\cdot120=2.400$ J;
variação da energia cinética: $\Delta K=\tfrac12mv^2=\tfrac12\cdot2{,}0\cdot20^2=400$ J;
trabalho da resistência do ar: $W_D$, negativo, pois a força se opõe ao deslocamento.

Então $W_P+W_D=\Delta K$, ou seja, $2.400+W_D=400$ e

$$W_D=-2.000\ \text{J}.$$

b) Nos últimos 10 m a velocidade é constante, a energia cinética não varia, e pelo mesmo teorema o trabalho total sobre o bloco é nulo. O trabalho do peso é compensado pelo da resistência do ar.

Q07

Eletromagnetismo — Eletrólise — Carga, massa depositada e corrente

Para inibir a corrosão em peças de ferro ou aço, é prática comum revesti-las com uma fina camada de cádmio. Suponha um puxador de gavetas feito de ferro e submetido a esse processo. A superfície total de cada puxador corresponde a uma área de 100 cm², sobre a qual é aplicada uma camada de cádmio de 0,1 mm de espessura. Para formar a camada, íons de cádmio, $\text{Cd}^{++}$, sob a forma de uma corrente elétrica, são arrastados até a superfície do puxador e ali ficam depositados. Cada íon de cádmio transporta dois "quanta" de carga elétrica (1 "quantum" de carga elétrica $=1{,}6\times10^{-19}$ C). Se os íons de cádmio formam uma corrente de 80 ampères, determine:

(Para o cálculo pedido, use para o cádmio uma massa atômica $M=112$ g e densidade $\rho=8{,}4\ \text{g/cm}^3$. O número de Avogadro é $N_0=6{,}0\times10^{23}$.)

a massa de cádmio depositada durante uma hora;
o número de puxadores cadmiumados (revestidos com cádmio) por mês, supondo-se 8 horas de produção diária e mês de 25 dias úteis.

Resposta — UFC 2002 · 2ª Etapa

a) $m=168\text{ g}$

b) $n=4.000$ puxadores

Resolução

a) Pela definição de corrente, a carga transportada em 1 h é

$$\Delta q=i\,\Delta t=80\times3.600=2{,}88\times10^{5}\ \text{C}.$$

Cada íon $\text{Cd}^{++}$ carrega $2e=3{,}2\times10^{-19}$ C, então o número de íons é

$$N=\dfrac{\Delta q}{2e}=\dfrac{2{,}88\times10^{5}}{3{,}2\times10^{-19}}=9{,}0\times10^{23}.$$

Como $N_0=6{,}0\times10^{23}$ íons correspondem a 112 g (um mol), a massa depositada é

$$m=\dfrac{N}{N_0}M=\dfrac{9{,}0\times10^{23}}{6{,}0\times10^{23}}\cdot112=168\ \text{g}.$$

b) A massa depositada em 8 h por dia durante 25 dias é

$$m_T=8\times25\times168=33.600\ \text{g}.$$

A massa de cádmio em cada puxador é o volume da camada vezes a densidade, com espessura 0,1 mm $=0{,}01$ cm:

$$m_P=\rho V=8{,}4\ \dfrac{\text{g}}{\text{cm}^3}\times100\ \text{cm}^2\times0{,}01\ \text{cm}=8{,}4\ \text{g}.$$

O número de puxadores é

$$n=\dfrac{m_T}{m_P}=\dfrac{33.600}{8{,}4}=4.000.$$

Q08

Física Moderna — Relatividade e quântica — Efeito fotoelétrico

A função trabalho de um dado metal é 2,5 eV.

Verifique se ocorre emissão fotoelétrica quando sobre esse metal incide luz de comprimento de onda $\lambda=6{,}0\times10^{-7}$ m. A constante de Planck é $h\approx4{,}2\times10^{-15}\ \text{eV·s}$ e a velocidade da luz no vácuo é $c=3{,}0\times10^{8}$ m/s.
Qual é a freqüência mais baixa da luz incidente capaz de arrancar elétrons do metal?

Resposta — UFC 2002 · 2ª Etapa

a) Não ocorre emissão fotoelétrica.

b) $\nu_0\approx6{,}0\times10^{14}\text{ Hz}$

Resolução

a) A energia cinética máxima é $K_m=h\nu-\varphi$. Há emissão apenas se $K_m\ge0$, isto é, $\dfrac{hc}{\lambda}\ge\varphi$, o que dá

$$\lambda\le\dfrac{hc}{\varphi}=\dfrac{4{,}2\times10^{-15}\cdot3{,}0\times10^{8}}{2{,}5}\approx5{,}0\times10^{-7}\ \text{m}.$$

A luz incidente tem $\lambda=6{,}0\times10^{-7}\ \text{m}>5{,}0\times10^{-7}\ \text{m}$, então a energia do fóton é menor que a função trabalho e não ocorre emissão.

b) A freqüência mais baixa corresponde ao maior comprimento de onda, $\lambda_{\max}\approx5{,}0\times10^{-7}$ m:

$$\nu_0=\dfrac{c}{\lambda_{\max}}=\dfrac{3{,}0\times10^{8}}{5{,}0\times10^{-7}}=6{,}0\times10^{14}\ \text{Hz}.$$