UFC 2005 · 2ª Etapa — Questões de Física comentadas — Método TEF

A função da velocidade é linear no tempo, portanto a aceleração é constante. As velocidades nos extremos do intervalo são:

$$v(1)=1+2\cdot1=3$$

$$v(5)=1+2\cdot5=11$$

Em movimento uniformemente variado, a velocidade média no intervalo é a média das velocidades inicial e final.

$$v_m=\frac{3+11}{2}=7$$

$$\Delta t=5-1=4\text{ s}$$

$$\Delta x=v_m\Delta t$$

$$\Delta x=7\cdot4=28\text{ unidades de comprimento}$$

O enunciado não especifica a unidade de comprimento da função v(t); por isso, preservamos a resposta em unidades de comprimento, como no comentário fornecido. Se v estiver em m/s, o deslocamento será 28 m.

A normal vertical equilibra o peso. A força de atrito tem módulo constante nos dois percursos.

$$N=mg$$

$$f=\mu mg$$

O semicírculo tem diâmetro d; seu comprimento é πd/2. Como o corpo termina esse percurso em repouso:

$$0-\frac12mv_0^2=-\mu mg\frac{\pi d}{2}$$

$$\mu gd=\frac{v_0^2}{\pi}$$

No trajeto retilíneo, o atrito atua por uma distância menor.

$$\frac12mv^2-\frac12mv_0^2=-\mu mgd$$

$$v^2=v_0^2-2\mu gd$$

Eliminamos μgd com a relação obtida no semicírculo.

$$v^2=v_0^2\left(1-\frac2\pi\right)$$

$$v=v_0\sqrt{1-\frac2\pi}$$

O atrito depende do caminho percorrido, não apenas do deslocamento entre A e B. A trajetória curva pressupõe uma força de vínculo que muda a direção do movimento sem realizar trabalho; o atrito não pode ser a única força horizontal se a trajetória é semicircular.

a. O patamar de 40 minutos corresponde à fusão do gelo. Nos 20 minutos seguintes, a massa total de água aquece de 0 a 2 °C. Usamos gramas para compatibilizar com os dados.

$$m_a=3800\text{ g}$$

$$40P=80m_g$$

$$20P=(3800+m_g)\cdot1\cdot2$$

Dividimos a primeira equação pela segunda, pois a potência é a mesma nos dois intervalos.

$$2=\frac{80m_g}{2(3800+m_g)}$$

$$4(3800+m_g)=80m_g$$

$$15200=76m_g$$

$$m_g=200\text{ g}$$

b. Substituímos a massa no calor de fusão.

$$P=\frac{m_gL}{40}$$

$$P=\frac{200\cdot80}{40}$$

$$P=400\text{ cal/min}$$

No aquecimento, a massa é 4000 g: inclui os 200 g que antes estavam na forma de gelo.

Usamos o modelo com capacidades térmicas molares constantes adotado no comentário. As temperaturas devem ser absolutas. Na transformação adiabática reversível:

$$T_1V_1^{\gamma-1}=T_2V_2^{\gamma-1}$$

Tomando logaritmos:

$$\ln\left(\frac{T_2}{T_1}\right)=(\gamma-1)\ln\left(\frac{V_1}{V_2}\right)$$

As capacidades térmicas molares obedecem à relação de Mayer.

$$C_p-C_v=R$$

$$\gamma-1=\frac R{C_v}$$

Eliminamos γ para obter Cv em termos dos estados.

$$C_v=R\frac{\ln(V_1/V_2)}{\ln(T_2/T_1)}$$

A energia interna por mol varia de acordo com a temperatura.

$$\frac{\Delta U}{n}=C_v(T_2-T_1)$$

$$\frac{\Delta U}{n}=R(T_2-T_1)\frac{\ln(V_1/V_2)}{\ln(T_2/T_1)}$$

Ressalva editorial. A expressão final impressa usa ln(T₁/T₂) no denominador mantendo ln(V₁/V₂) no numerador, o que inverte indevidamente o sinal. Na expansão adiabática, volume aumenta e temperatura diminui: Cv deve permanecer positivo e ΔU deve ser negativo. A fórmula acima satisfaz esse teste. Se os estados forem idênticos, ΔU = 0 diretamente; a razão de logaritmos fica indeterminada e não deve ser usada.

O gráfico fornece A = (1,7), B = (5,4) e P = (9,1), em metros. As distâncias de propagação são:

$$r_A=\sqrt{(9-1)^2+(1-7)^2}=10\text{ m}$$

$$r_B=\sqrt{(9-5)^2+(1-4)^2}=5\text{ m}$$

$$\Delta r=r_A-r_B=5\text{ m}$$

a. Para fontes em fase, máximos de interferência correspondem a diferenças de caminhos inteiras de comprimentos de onda.

$$\Delta r=k\lambda$$

$$f_k=\frac{kv}{\Delta r}$$

Como Δr é diferente de zero, a menor frequência positiva ocorre para k = 1.

$$f_{\min}=\frac{340}{5}=68\text{ Hz}$$

b. Para oposição de fase no ponto de observação, a menor frequência corresponde a meio comprimento de onda na diferença de caminhos.

$$\Delta r=\frac\lambda2$$

$$f_{\min}=\frac{v}{2\Delta r}$$

$$f_{\min}=\frac{340}{10}=34\text{ Hz}$$

As fontes estão em fase na emissão; a diferença de percurso é o que altera a fase relativa em P. O termo destrutiva indica oposição de fase; anulação completa da amplitude exigiria também amplitudes iguais no ponto.

Em cada caso, o ramo com chave aberta não conduz. Os dois ramos fechados formam uma única malha, de modo que os módulos das correntes nesses ramos são iguais. A placa longa indica o polo positivo; a fonte de 6 V está invertida em relação às outras.

S₁ e S₂. As forças eletromotrizes se somam no percurso da malha e as resistências se somam.

$$i=\frac{12+6}{2+1}$$

$$i=6\text{ A}$$

$$i_A=i_B=6\text{ A}$$

$$i_C=0$$

S₁ e S₃. As fontes se opõem na malha.

$$i=\frac{|12-4|}{2+3}$$

$$i=1{,}6\text{ A}$$

$$i_A=i_C=1{,}6\text{ A}$$

$$i_B=0$$

S₂ e S₃. As forças eletromotrizes se somam.

$$i=\frac{6+4}{1+3}$$

$$i=2{,}5\text{ A}$$

$$i_B=i_C=2{,}5\text{ A}$$

$$i_A=0$$

Não há associação em paralelo de três ramos ativos: apenas dois estão fechados em cada configuração.

a. O campo uniforme aponta de A para B. O potencial diminui nesse sentido, e a diferença depende apenas dos extremos.

$$V_B-V_A=-Ed$$

O trecho vertical CB é perpendicular ao campo e não altera o potencial. A trajetória ACB fornece a mesma diferença de potencial que o segmento AB.

b. O módulo da velocidade permanece constante, logo a variação de energia cinética é nula.

$$\Delta E_c=0$$

$$W_{ext}+W_e=0$$

O trabalho da força elétrica sobre a carga positiva é:

$$W_e=2q(V_A-V_B)$$

$$W_e=2qEd$$

O agente externo realiza o trabalho oposto.

$$W_{ext}=-W_e$$

$$W_{ext}=-2qEd$$

O trabalho externo é negativo: o agente retira a energia que o campo forneceria à carga, mantendo seu módulo de velocidade.

A energia total é o produto da energia de repouso pelo fator de Lorentz.

$$E=\gamma E_0$$

$$\gamma=\frac1{\sqrt{1-v^2/c^2}}$$

Isolamos a razão entre as energias.

$$\frac{E_0}{E}=\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}$$

Elevamos ao quadrado e reorganizamos.

$$\left(\frac{E_0}{E}\right)^2=1-\frac{v^2}{c^2}$$

$$\frac{v^2}{c^2}=1-\left(\frac{E_0}{E}\right)^2$$

$$\frac vc=\sqrt{1-\left(\frac{E_0}{E}\right)^2}$$

Usamos a raiz não negativa porque v representa o módulo da velocidade. Se E = E₀, a partícula está em repouso; se E é muito maior que E₀, a razão se aproxima de um por valores inferiores. E é a energia total, que inclui a energia de repouso.