UFC 2006 · 2ª Etapa — Questões de Física comentadas — Método TEF

A velocidade média é definida por $v_m=\dfrac{\Delta x}{\Delta t}$.

Pela figura, A está em $x=-40\text{ m}$ e B em $x=70\text{ m}$:

$$\Delta x=70-(-40)=110\text{ m},\qquad \Delta t=6-1=5\text{ s}.$$

$$v_m=\dfrac{110}{5}=22\text{ m/s}.$$

Pontuação oficial: até dez pontos.

O trabalho em cada processo é a área sob a curva no diagrama $p\times V$. Em um ciclo, o trabalho total é a área interna, positiva quando o ciclo é percorrido no sentido horário (como A→B→C→D→A).

A figura é um paralelogramo, com lados horizontais de comprimento $4V_0$ (de $V_0$ a $5V_0$ em cima, de $2V_0$ a $6V_0$ embaixo) e altura $p_2-p_1$:

$$W_{\text{total}}=W_{\text{ciclo}}=(6V_0-2V_0)(p_2-p_1)=4V_0\,(p_2-p_1).$$

Pontuação oficial: até dez pontos.

Pela equação dos fabricantes de lentes,

$$\dfrac1f=(n-1)\left(\dfrac1{R_1}-\dfrac1{R_2}\right),$$

em que $n$ é o índice da lente relativo ao meio. Como $R_1$ e $R_2$ são os mesmos no ar e no fluido,

$$\dfrac{f_{\text{fluido}}}{f_{\text{ar}}}=\dfrac{n-1}{n'-1},\qquad n'=\dfrac{1{,}52}{1{,}31}\approx1{,}16.$$

$$f_{\text{fluido}}=\dfrac{0{,}52}{0{,}16}\,f_{\text{ar}}=3{,}25\cdot40=130\text{ cm}.$$

Pontuação oficial: até dez pontos.

A) Dos gráficos de $v(t)$ e $E_c(t)$, em $t=2\text{ s}$: $v=6\text{ m/s}$ e $E_c=9\text{ J}$. Então

$$\dfrac12 m\,36=9\ \Rightarrow\ m=0{,}5\text{ kg}.$$

Em $t=1\text{ s}$, $E_c=4\text{ J}$:

$$\dfrac12(0{,}5)\,v_1^2=4\ \Rightarrow\ v_1=4{,}0\text{ m/s}.$$

B) $a=\dfrac{v_2-v_1}{\Delta t}=\dfrac{6-4}{1}=2{,}0\text{ m/s}^2.$

C) $F=ma=0{,}5\cdot2=1{,}0\text{ N}.$

D) O gráfico de $x(t)$ é parabólico e o de $v(t)$ é linear, logo o movimento é uniformemente variado: $x(t)=v_0t+\dfrac12at^2$. Com $a=2\text{ m/s}^2$ e $v_1=v_0+a\cdot1=4\text{ m/s}$, resulta $v_0=2\text{ m/s}$ (a reta de $x$ parte da origem):

$$x(2)=2\cdot2+\dfrac12\cdot2\cdot2^2=8{,}0\text{ m}.$$

E) $v_m=\dfrac{\Delta x}{\Delta t}=\dfrac{8-3}{1}=5{,}0\text{ m/s}$, que coincide com a média das velocidades extremas, $\dfrac{4+6}{2}=5{,}0\text{ m/s}$.

Pontuação oficial: até dois pontos por item.

A) A distância entre frentes consecutivas é o comprimento de onda: $\lambda_1=4{,}0\times10^{-2}\text{ m}$.

$$f_1=\dfrac{v_1}{\lambda_1}=\dfrac{200}{4\times10^{-2}}=5000\text{ Hz}.$$

A frequência não muda na refração, então $f_2=5000\text{ Hz}$.

B) Lei de Snell em termos das velocidades:

$$\dfrac{\text{sen}\,\theta_1}{\text{sen}\,\theta_2}=\dfrac{v_1}{v_2}\ \Rightarrow\ v_2=v_1\,\dfrac{\text{sen}\,\theta_2}{\text{sen}\,\theta_1}=200\cdot\dfrac{0{,}5}{0{,}8}=125\text{ m/s}.$$

C) $d=\lambda_2=\dfrac{v_2}{f_2}=\dfrac{125}{5000}=2{,}5\times10^{-2}\text{ m}=2{,}5\text{ cm}.$

D) Como $n\,v=c$ em cada meio, $n_1v_1=n_2v_2$:

$$n_2=\dfrac{200}{125}\,n_1=1{,}6\,n_1.$$

Pontuação oficial: item A até três pontos; item B até dois pontos; item C até três pontos; item D até dois pontos.

A) Na figura, no mesmo intervalo $\Delta t$, a frente de onda percorre uma distância igual ao dobro da percorrida pela fonte: $2x=v\,\Delta t$ e $x=v_f\,\Delta t$. Logo

$$v_f=\dfrac v2=10{,}0\text{ m/s}.$$

B) Em $\Delta t=0{,}9\text{ s}$ a primeira frente percorre $d_1=v\,\Delta t=20\cdot0{,}9=18{,}0\text{ m}$ e a fonte percorre $d'=v_f\,\Delta t=10\cdot0{,}9=9{,}0\text{ m}$. A distância entre a primeira e a última frente, do lado do observador A (para onde a fonte se move), é

$$D=d_1-d'=18-9=9{,}0\text{ m}.$$

Essa distância contém $N=7$ comprimentos de onda (há 8 frentes, portanto 7 intervalos):

$$\lambda_A=\dfrac DN=\dfrac97\approx1{,}286\text{ m}.$$

C) Do lado do observador B (fonte se afastando), a distância entre a primeira e a última frente é

$$D'=d_1+d'=20\cdot0{,}9+10\cdot0{,}9=27{,}0\text{ m},$$

com os mesmos 7 comprimentos de onda: $\lambda_B=\dfrac{D'}{7}=\dfrac{27}{7}\text{ m}$. A frequência medida é

$$f_B=\dfrac{v}{\lambda_B}=\dfrac{20}{27}\cdot7\approx5{,}185\text{ Hz}.$$

D) Para fonte afastando-se do observador, $f_B=\dfrac{v}{v+v_f}\,f_0$. Logo

$$f_0=\dfrac{v+v_f}{v}\,f_B=\dfrac{20+10}{20}\cdot5{,}185\approx7{,}778\text{ Hz}.$$

Conferência: 7 períodos de emissão ocorrem em $0{,}9\text{ s}$, o que dá $f_0=7/0{,}9\approx7{,}78\text{ Hz}$.

Pontuação oficial: item A até três pontos; item B até dois pontos; item C até três pontos; item D até dois pontos.

A) Ligadas por fio condutor, as esferas ficam no mesmo potencial:

$$V=k\dfrac{q_1}{r_1}=k\dfrac{q_2}{r_2}\ \Rightarrow\ \dfrac{q_1}{q_2}=\dfrac{r_1}{r_2}.$$

B) Como estão muito distantes, as cargas se distribuem uniformemente sobre cada superfície, e o campo na superfície é $E_1=k\dfrac{q_1}{r_1^2}$ e $E_2=k\dfrac{q_2}{r_2^2}$:

$$\dfrac{E_1}{E_2}=\dfrac{q_1}{q_2}\cdot\dfrac{r_2^2}{r_1^2}=\dfrac{r_1}{r_2}\cdot\dfrac{r_2^2}{r_1^2}=\dfrac{r_2}{r_1}.$$

O campo é maior na esfera de menor raio.

Pontuação oficial: o item A até cinco pontos, o item B até cinco pontos.

A radiação carrega energia e momento. Ao ser emitida, a caixa recua, de modo que o momento total do sistema permanece constante (nulo). Com $p_{\text{radiação}}=E/c$ e $v$ a velocidade de recuo da caixa:

$$(M-m)\,v=\dfrac Ec\ \Rightarrow\ v=\dfrac{E}{(M-m)c}\approx\dfrac{E}{Mc},$$

pois $M\gg m$.

A radiação percorre a caixa em $t=l/c$, e nesse intervalo a caixa se desloca

$$x=vt=\dfrac{E\,l}{Mc^2}.\qquad(1)$$

Quando a radiação é absorvida no lado direito, a caixa para. Como não há força externa na direção do movimento, o centro de massa do sistema não se move. Tratando as extremidades como pontos de massa $M/2$ cada, o centro de massa inicial está no meio da caixa. Após a transferência da massa $m$ de A para B e o deslocamento $x$:

$$\left(\dfrac12M-m\right)\left(\dfrac l2+x\right)=\left(\dfrac12M+m\right)\left(\dfrac l2-x\right)\ \Rightarrow\ x=\dfrac{m\,l}{M}.\qquad(2)$$

Comparando (1) e (2):

$$\dfrac{m\,l}{M}=\dfrac{E\,l}{Mc^2}\ \Rightarrow\ m=\dfrac{E}{c^2}.$$

Pontuação oficial: até dez pontos.