PISM 2011 · Módulo 1 — questões 21–25 objetivas e 01–02 discursivas. Enunciados e figuras conferidos nos cadernos fornecidos; resoluções editoriais revisadas por cálculo.
Dados da prova
Valores fornecidos nos enunciados das questões:
Use os dados e as unidades fornecidos em cada questão; quando indicado, g = 10 m/s².
21
Mecânica — Cinemática — Taxas de consumo e análise dimensional
Seja um carro em movimento com velocidade escalar v. Se o consumo de gasolina por quilômetro rodado é q e o consumo de gasolina por minuto é r , então a relação CORRETA entre q e r é:
A)$q=r/v$
B)$q=r$
C)$r=q/v$
D)$v=qr$
E)$v^2=q/r$
Alternativa correta: A
Resolução
Em um intervalo $\Delta t$, o carro percorre $\Delta s=v\Delta t$ e consome $\Delta G=q\Delta s=r\Delta t$. Portanto $r=qv$ e $q=r/v$, alternativa A. Para que as unidades fechem, v deve estar em km/min, pois q é consumo por quilômetro e r por minuto. Se v for numérica em km/h, a relação passa a $q=60r/v$.
Resposta: A
22
Mecânica — Cinemática — Alcance e duração do lançamento oblíquo
Uma perereca adulta pode saltar a uma distância máxima de x = 0,80 m com um ângulo de lançamento de θ = 45°. Desprezando a resistência do ar, podemos afirmar que o tempo total que a perereca permanece no ar é:
A)0,1 s
B)0,2 s
C)0,3 s
D)0,4 s
E)0,5 s
Alternativa correta: D
Resolução
Para lançamento e chegada à mesma altura, $R=v_0^2\sin(2\theta)/g$. Com $R=0,80\,\mathrm m$ e $\theta=45^\circ$, $v_0=\sqrt{8}\,\mathrm{m/s}$. O tempo é $T=2v_0\sin45^\circ/g=0,40\,\mathrm s$, alternativa D. A hipótese de alturas iguais é a interpretação do alcance na questão.
Resposta: D
23
Mecânica — Dinâmica — Pêndulo em referencial acelerado
Um vagão possui no seu interior um ponto material de massa m, sujeito à aceleração da gravidade g, suspenso por um fio de massa desprezível e inextensível. O valor da aceleração escalar do trem para que o ponto material permaneça com o ângulo constante θ, mostrado na figura ao lado, é:
A)$a=g\cos\theta\sin\theta$
B)$a=g\sin\theta$
C)$a=mg\tan\theta$
D)$a=mg\sin\theta$
E)$a=g\tan\theta$
Alternativa correta: E
Resolução
Com ângulo constante no vagão acelerado, a componente vertical da tração equilibra o peso: $T\cos\theta=mg$. A horizontal produz a aceleração: $T\sin\theta=ma$. Dividindo, $\tan\theta=a/g$, logo $a=g\tan\theta$, alternativa E. A massa cancela.
Resposta: E
24
Mecânica — Colisões — Conservação do momento e perda de energia
Um projétil, de massa m =20 g, é atirado horizontalmente contra um bloco de madeira de massa M =9980 g, que está em repouso sobre uma superfície horizontal. O projétil fica alojado no bloco e o sistema bloco + projétil inicia um movimento com velocidade v =0,50 m/ s. De acordo com esses dados, é INCORRETO afirmar que:
A)na colisão, ocorre conservação da quantidade de movimento (momento linear).
B)a velocidade inicial do projétil era de 250 m/ s.
C)na colisão, ocorre conservação da energia mecânica do sistema.
D)a energia cinética do sistema, imediatamente após a colisão, é de 1,25 J .
E)a quantidade de movimento do projétil, imediatamente antes da colisão, era de 5,0 kg· m/ s.
Alternativa correta: C
Resolução
A colisão é perfeitamente inelástica. Desprezando o impulso externo horizontal durante o impacto, $mv_i=(M+m)v$, com $m=0,020\,\mathrm{kg}$ e $M+m=10,0\,\mathrm{kg}$. Assim $v_i=250\,\mathrm{m/s}$ e $p_i=5,0\,\mathrm{kg\,m/s}$. Depois, $K_f=\tfrac12(10)(0,50)^2=1,25\,\mathrm J$, enquanto $K_i=\tfrac12(0,020)(250)^2=625\,\mathrm J$. Há perda de energia mecânica para deformação e aquecimento; C é a afirmação incorreta.
Resposta: C
25
Mecânica — Gravitação — Condições de uma órbita geostacionária
Examinemos a seguinte notícia de jornal: “O satélite de comunicação V23 foi colocado em órbita da Terra de modo que ele permaneça sempre acima da cidade de Atenas”. Considerando-se a notícia, é CORRETO afirmar que:
A)o jornal cometeu um enorme equívoco, pois isso é impossível acontecer.
B)a velocidade angular do satélite terá que ser, obrigatoriamente, igual à velocidade angular da Terra.
C)a velocidade de rotação da Terra é o dobro daquela do satélite.
D)a gravidade no local, onde se encontra o satélite, é nula.
E)a velocidade tangencial do satélite terá que ser obrigatoriamente igual à da Terra.
Alternativa correta: B
Resolução
O gabarito oficial indica B: para permanecer fixo em relação à superfície, o satélite teria de acompanhar a velocidade angular da Terra, $\omega_s=\omega_T$. Isso não exige velocidades tangenciais iguais, pois $v=\omega r$ e os raios são diferentes; a gravidade orbital também não é nula.
Ressalva física: uma órbita geostacionária gravitacional deve ser circular e equatorial. Atenas está fora do equador, portanto a notícia não descreve uma órbita geostacionária possível. A também exprime essa objeção. Mantém-se B como resposta oficial, explicitando que a igualdade de velocidades angulares é uma condição necessária, mas não suficiente para validar a notícia.
Resposta: B
1
Mecânica — Cinemática — Gráfico de velocidade e energia no voo
Discursiva
Um pequeno foguete, de massa m = 1,0 kg, dotado de um dispositivo retropropulsor, é lançado do solo verticalmente para cima. Sua velocidade varia de acordo com o gráfico abaixo, no qual o ponto F indica a situação final, isto é, o momento em que o pequeno foguete atinge o solo. Com base no gráfico, calcule:
A) As acelerações escalares do projétil em cada trecho.
B) A altura máxima atingida pelo projétil.
C) O intervalo de tempo tF que o projétil permanece no ar.
D) A energia potencial na altura máxima e a energia cinética quando o projétil atinge o chão.
Resolução
A) De 0 a 10 s, $a=(250-0)/10=25\,\mathrm{m/s^2}$. A partir de 10 s, a reta descendente tem $a=(0-250)/(35-10)=-10\,\mathrm{m/s^2}$, incluindo a queda até F.
B) A altura máxima é a área positiva sob v(t): $h=\tfrac12(10)(250)+\tfrac12(25)(250)=4375\,\mathrm m$, atingida aos 35 s.
C) A queda a partir do repouso na altura máxima dura $\Delta t=\sqrt{2h/g}=\sqrt{875}\approx29,58\,\mathrm s$. Portanto $t_F=35+29,58=64,58\,\mathrm s$.
D) Com energia potencial nula no solo, $U_{\max}=mgh=43750\,\mathrm J$. Após a propulsão e sem resistência do ar, a energia mecânica se conserva; ao atingir o solo, $K_F=43750\,\mathrm J$. Ela não é conservada na fase propulsada inicial.
Resposta: a) +25 e −10 m/s²; b) 4.375 m; c) 64,58 s; d) 43.750 J para ambas.
2
Mecânica — Dinâmica — Curvas horizontais e pistas inclinadas
Discursiva
A figura ao lado mostra um ciclista efetuando uma curva de raio R = 100 m. Na figura, são mostrados dois casos diferentes. No caso (I), o ciclista faz a curva, a uma velocidade v, numa superfície horizontal com coeficiente de atrito μ entre a superfície e o pneu da bicicleta. No caso (II), o ciclista faz a curva numa superfície inclinada de ângulo θ, supondo nula a força de atrito entre a superfície e o pneu da bicicleta.
A) Faça os diagramas de forças do sistema ciclista + bicicleta, identificando cada uma delas, para ambos os casos (I) e (II).
B) Calcule o coeficiente de atrito μ entre a superfície e o pneu para que a bicicleta não saia da pista no caso (I), supondo v = 10 m/s.
C) Calcule o valor limite da velocidade v para que a bicicleta não saia da pista no caso (II), supondo θ = 45°.
Resolução
A) Na pista horizontal: peso $mg$ vertical para baixo, normal N para cima e atrito estático horizontal para o centro da curva. Na pista inclinada sem atrito: peso vertical para baixo e normal perpendicular ao piso, inclinada para o centro. Força centrípeta é a resultante radial, não uma força adicional.
B) Na pista horizontal, $N=mg$ e $f_s=mv^2/R$. Como $f_s\le\mu_sN$, $\mu_s\ge v^2/(Rg)=100/1000=0,10$. O valor 0,10 é o coeficiente mínimo necessário, não o único possível.
C) Sem atrito, $N\cos\theta=mg$ e $N\sin\theta=mv^2/R$, logo $v=\sqrt{Rg\tan\theta}=\sqrt{1000}=10\sqrt{10}\approx31,6\,\mathrm{m/s}$. Para raio e inclinação fixos, essa é a velocidade de equilíbrio, não um limite superior com toda velocidade inferior admissível.
Resposta: b) μ mínimo = 0,10; c) 10√10 m/s ≈ 31,6 m/s.
