UFJF PISM 2012 — Módulo 3 — Física resolvida

Eletricidade — Eletrostática — Campo e potencial de esfera condutora

Discursiva

Considere uma esfera condutora de raio R = 1 m eletrizada e situada no vácuo. Em um ponto P à distância d = 3 m do centro da esfera, o campo elétrico tem intensidade E = 9,0 × 10⁻⁹ V/m. Com base nessas informações:

Use K = 9 × 10⁹ N·m²/C².

A) Calcule a carga elétrica q distribuída na superfície da esfera. Admita q > 0.

B) Calcule o potencial elétrico no ponto P a uma distância d = 3 m do centro da esfera, tomando-o nulo no infinito.

C) Qual o valor do campo elétrico no interior da esfera? Justifique sua resposta.

D) Calcule o potencial elétrico em qualquer ponto da superfície e do interior da esfera.

Resolução

A) Para a esfera isolada em equilíbrio, o campo externo é $E=Kq/d^2$. Logo $q=Ed^2/K=(9,0\times10^{-9})(3^2)/(9\times10^9)=9,0\times10^{-18}\,\mathrm C$, positivo.

B) $V_P=Kq/d=(9\times10^9)(9\times10^{-18})/3=2,7\times10^{-8}\,\mathrm V$.

C) No interior do material condutor em equilíbrio eletrostático, $\vec E=0$. Um campo interno não nulo provocaria redistribuição das cargas livres.

D) O potencial é constante no condutor e contínuo na superfície: $V_{int}=V_R=Kq/R=8,1\times10^{-8}\,\mathrm V$. A referência afirma campo nulo também na superfície, o que exige correção: imediatamente fora dela, $E(R^+)=Kq/R^2=8,1\times10^{-8}\,\mathrm{N/C}$, enquanto o limite interno é zero. A continuidade do potencial não implica campo externo nulo.

Resposta: a) +9,0 × 10⁻¹⁸ C; b) 2,7 × 10⁻⁸ V; c) zero no interior; d) 8,1 × 10⁻⁸ V.

Eletricidade — Circuitos elétricos — Curvas características e potências iguais

Discursiva

A figura ao lado mostra um circuito elétrico que contém uma fonte de tensão V₀ e um aquecedor elétrico residencial ligado em série com uma resistência ôhmica R = 20 Ω. A resistência foi escolhida para que a potência dissipada no aquecedor elétrico seja igual à potência dissipada no resistor.

Curvas características e potências iguais — figura original da questão 2, módulo 3

A) O gráfico da figura abaixo mostra a curva característica do aquecedor elétrico, fornecida pelo fabricante. Represente a curva característica i × V do resistor na mesma escala do gráfico abaixo. Justifique sua resposta.

Curvas características e potências iguais — figura original, módulo 3, questão 2

B) A partir do gráfico, determine a corrente i₀ e a diferença de potencial V₀ para as quais a potência dissipada no aquecedor elétrico seja igual à potência dissipada no resistor. Justifique sua resposta.

C) Calcule a potência P₀, em watts, que o aquecedor elétrico dissipará nas condições do item (B).

Resolução

A) Para o resistor ôhmico, $i=V/R=V/20$. Como o eixo horizontal é V e o vertical é i, desenha-se uma reta que passa por (0 V, 0 A), (80 V, 4 A) e (120 V, 6 A).

B) Os elementos em série têm a mesma corrente não nula. Para potências iguais, $V_ai=V_Ri$, portanto $V_a=V_R$. A interseção da curva do aquecedor com a reta do resistor fornece $i_0=4,0\,\mathrm A$ e $V_a=V_R=80\,\mathrm V$.

A referência usa V₀ = 80 V para a queda em cada dispositivo, mas o desenho e a introdução usam V₀ para a fonte. A tensão total da fonte é $V_{fonte}=V_a+V_R=160\,\mathrm V$. Essas grandezas não devem ser confundidas.

C) $P_a=V_ai_0=80(4)=320\,\mathrm W$. O resistor dissipa outros 320 W; a potência total fornecida é 640 W.

Reta do resistor. O ponto (80 V, 4 A) também pertence à curva original do aquecedor: potências iguais.

Resposta: a) i = V/20; b) 4,0 A e 80 V em cada dispositivo; fonte = 160 V; c) 320 W no aquecedor.

Eletricidade — Magnetismo — Aceleração elétrica e raio de trajetória magnética

Discursiva

O ciclotron foi inventado por E. O. Lawrence e M. S. Livingston, em 1932, para acelerar partículas como prótons e dêuterons, até energias cinéticas elevadas. Essas partículas com alta energia são utilizadas para bombardear outros núcleos, permitindo, assim, estudos sobre a estrutura nuclear ou até mesmo a produção de materiais radioativos para serem usados na medicina. A figura ao lado mostra um esquema simplificado desse equipamento. Uma partícula de massa m = 6,0 × 10⁻²⁴ kg e carga q = +12,0 × 10⁻⁹ C encontra-se em repouso no ponto O da figura. Um campo elétrico, constante e uniforme de módulo E = 10 N/C, acelera a partícula entre duas placas planas e paralelas separadas pela distância d = 1,0 × 10⁻⁶ m. A partícula entra numa região de campo magnético constante e uniforme, de módulo B = 1,0 × 10⁻⁶ T, que está saindo do papel.

Aceleração elétrica e raio de trajetória magnética — figura original da questão 3, módulo 3

A) Calcule a velocidade da partícula imediatamente antes de entrar na região de campo magnético.

B) Calcule o raio R da primeira trajetória circular que a partícula descreve na região de campo magnético.

C) Na região de campo magnético, o sentido da trajetória circular da partícula será horário ou anti-horário? Justifique sua resposta.

D) O que deve ocorrer com o raio da trajetória circular quando a massa da partícula é aumentada? Justifique sua resposta.

Resolução

A) O trabalho do campo entre as placas é $qEd=\tfrac12mv^2$. Partindo do repouso, $v=\sqrt{2qEd/m}=\sqrt{[2(12\times10^{-9})(10)(10^{-6})]/(6\times10^{-24})}=2,0\times10^5\,\mathrm{m/s}$.

B) Como a velocidade é perpendicular ao campo, $qvB=mv^2/R$, logo $R=mv/(qB)=10^{-4}\,\mathrm m=0,10\,\mathrm{mm}$.

C) A velocidade inicial aponta para a direita e o campo sai do papel. Para carga positiva, $\vec v\times\vec B$ aponta para baixo, produzindo movimento horário.

D) Mantendo q, E, d e B do experimento, $v\propto m^{-1/2}$ e $R=\sqrt{2mqEd}/(qB)\propto\sqrt m$, portanto o raio aumenta. Se a comparação mantivesse a mesma velocidade, seria $R\propto m$; a condição mantida precisa ser declarada.

Os cálculos correspondem à primeira passagem idealizada. Um ciclotron que acelera repetidamente exige campo elétrico alternado, em vez de campo constante durante todas as travessias. Os dados de carga e massa são os valores formais fornecidos, sem identificação com um próton ou dêuteron real.

Resposta: a) 2,0 × 10⁵ m/s; b) 1,0 × 10⁻⁴ m; c) horário; d) aumenta, com as demais condições mantidas.

Ondulatória — Ondas em cordas — Densidade linear e velocidade em fio tensionado

Discursiva

Numa tarde de verão, o pai de duas crianças resolve ensiná-las a construir um telefone de brinquedo. Para isso, ele utiliza dois copos plásticos furados na base e um fio de nylon de comprimento 6,0 m e diâmetro 0,5 mm. O fio de nylon é amarrado na base dos copos através dos furos e depois esticado com uma tração T = 1,0 N. Quando uma das crianças fala próximo ao copo, uma vibração mecânica é transferida do ar para o copo que, por sua vez, é transferida para o fio de nylon. Essas vibrações são, principalmente, ondas mecânicas transversais que se propagam de uma extremidade a outra do fio, o que possibilita que a segunda criança escute a fala da primeira. Sabendo que a densidade linear do fio de nylon vale 235,2 × 10⁻³ g/m:

A) Calcule a velocidade das ondas mecânicas transversais que se propagam nesse fio.

B) Calcule o tempo necessário para a onda mecânica transversal alcançar a outra extremidade do fio. Despreze o tempo necessário para a onda se propagar do ar para o copo e do copo para o fio.

C) Se for usado um fio de nylon de mesmo comprimento, mas de diâmetro 0,3 mm, qual será a nova densidade linear do fio e qual será a nova velocidade de propagação das ondas mecânicas transversais no mesmo?

Resolução

A) A densidade linear é $\mu_1=235,2\times10^{-3}\,\mathrm{g/m}=235,2\times10^{-6}\,\mathrm{kg/m}$. No modelo de corda tensionada, $v_1=\sqrt{T/\mu_1}\approx65,2\,\mathrm{m/s}$.

B) $\Delta t=L/v_1=6,0/65,2\approx0,092\,\mathrm s$, desconsiderando os atrasos nos copos e no ar conforme o enunciado.

C) Para o mesmo material e seção circular uniforme, $\mu\propto D^2$. Assim $\mu_2=\mu_1(0,3/0,5)^2=84,672\times10^{-6}\,\mathrm{kg/m}\approx84,7\times10^{-6}\,\mathrm{kg/m}$. Mantendo a tração de 1,0 N, $v_2=\sqrt{T/\mu_2}\approx108,7\,\mathrm{m/s}\approx109\,\mathrm{m/s}$. A igualdade da tração e da densidade volumétrica é necessária para essa comparação.

Resposta: a) 65,2 m/s; b) 0,092 s; c) 84,7 × 10⁻⁶ kg/m e 109 m/s.

Física Moderna — Relatividade — Tempo próprio e viagem de ida e volta

Discursiva

Suponha que um amigo seu, que nasceu no mesmo dia e hora que você nasceu, a bordo de uma nave espacial, tenha viajado com velocidade constante até um planeta que está a 4 anos-luz da Terra e imediatamente retorne. Ele afirma que a viagem toda durou 6 anos. Baseado no conceito relativístico da dilatação dos tempos, calcule:

A) A velocidade da nave.

B) O tempo total da viagem no referencial da Terra.

C) A diferença de idade entre vocês dois quando voltarem a se encontrar.

Resolução

Os 6 anos são interpretados como tempo próprio medido pelo viajante. O planeta está em repouso em relação à Terra, a distância L = 4 anos-luz é medida nesse referencial e as duas pernas têm velocidades de mesmo módulo. Idealiza-se o retorno com duração desprezível.

A) Com $\beta=v/c$, o tempo terrestre total é $t=2L/v=8/\beta$ anos. O tempo próprio é $\tau=t\sqrt{1-\beta^2}=6$ anos, logo $6=8\sqrt{1-\beta^2}/\beta$. Elevando ao quadrado, $36\beta^2=64(1-\beta^2)$, portanto $\beta=0,80$ e $v=0,80c$.

B) $t=8/0,80=10$ anos. Equivalentemente, $\gamma=1/\sqrt{1-0,80^2}=5/3$ e $t=\gamma\tau=10$ anos.

C) Quem permaneceu na Terra envelheceu 10 anos, e o viajante, 6 anos: diferença de 4 anos. A mudança de referencial no retorno impede tratar o percurso inteiro da nave como um único referencial inercial e resolve a aparente simetria da dilatação dos tempos.

Resposta: a) 0,80c; b) 10 anos; c) viajante quatro anos mais jovem.

UFJF 2012 · M3 — Questões de Física comentadas — Método TEF

Dados da prova