PISM 2021 · Módulo 3 · 2º dia — questões 01–05 objetivas e 01–05 discursivas. Objetivas comuns às áreas; discursivas de Exatas e Saúde. Enunciados e figuras conferidos no original.
Dados da prova
Valores fornecidos nos enunciados das questões:
Use os valores e hipóteses fornecidos em cada questão.
1
Eletricidade — Eletrodinâmica — Resistividade e potência elétrica
Considere dois resistores cilíndricos de comprimento $L_0$. O primeiro possui área da seção reta $A_1$ e resistividade uniforme $\rho_1$. O segundo, uma área da seção reta $A_2=2A_1$ e resistividade uniforme $\rho_2$. Para que a potência dissipada nesse segundo resistor dobre de valor, quando submetida à mesma corrente que o primeiro, qual será o valor de $\rho_2$ quando comparado com $\rho_1$?
A)$2\rho_1$.
B)$\rho_1/2$.
C)$4\rho_1$.
D)$\rho_1/4$.
E)$\rho_1$.
Alternativa correta: C
Resolução
Para correntes iguais, $P=I^2R$; dobrar a potência exige $R_2=2R_1$. Como $R=\rho L/A$ e $A_2=2A_1$, $\rho_2L/(2A_1)=2\rho_1L/A_1$, portanto $\rho_2=4\rho_1$.
Resposta: C
2
Ondulatória — Oscilações — Gráfico do MHS e pêndulo simples
Um pêndulo simples descreve um comportamento oscilatório que pode ser exibido por uma função senoidal do tipo: $A(t)=A_0\sin(\omega t+\theta)$ como no gráfico abaixo, onde cada subdivisão ao longo do eixo dos tempos (eixo horizontal) equivale a $\pi/2$ segundos. Qual das alternativas abaixo descreve as seguintes propriedades da função senoidal e do pêndulo: amplitude do movimento oscilatório, período de oscilação, o comprimento do pêndulo e os dois instantes iniciais e consecutivos onde a velocidade do pêndulo é máxima? Suponha que a aceleração da gravidade onde foi feito o experimento tenha o valor $g=10\,\mathrm{m/s^2}$ e considere π = 3,14.
A)0,2 m; $4\pi$ s; 40 m; 0 s e $\pi$ s.
B)0,1 m; $2\pi$ s; 10 m; 0 s e $\pi/2$ s.
C)0,1 m; $2\pi$ s; 10 m; $\pi/2$ s e $3\pi/2$ s.
D)0,2 m; $2\pi$ s; 10 m; $\pi/2$ s e $\pi$ s.
E)0,1 m; $8\pi$ s; 160 m; 0 s e $2\pi$ s.
Alternativa correta: C
Resolução
A amplitude é 0,1 m. Entre dois máximos há quatro subdivisões, portanto $T=4(\pi/2)=2\pi\,\mathrm s$. Como $T=2\pi\sqrt{L/g}$, encontra-se $L=10\,\mathrm m$. A rapidez máxima ocorre na passagem pelo equilíbrio: os dois primeiros instantes são $\pi/2$ e $3\pi/2$ s. A expressão velocidade máxima é usada aqui para o módulo da velocidade, conforme o gabarito.
Resposta: C
3
Eletricidade — Indução eletromagnética — Variação do fluxo e lei de Faraday
Um circuito retangular feito de material condutor ideal está posicionado com sua área perpendicularmente ao eixo de um ímã estático, como mostra a figura (a). Mantendo o circuito parado, afasta-se o ímã, perpendicularmente à área do circuito com uma velocidade $v_0$ (figura (b)), a diferença de potencial $V_{ab}$ entre os finais do circuito é medida.
Com base no descrito acima, algumas afirmações são feitas:
I. $V_{ab}$ é nula, independentemente da velocidade com que o ímã é afastado do circuito, já que o circuito e o ímã não estão conectados.
II. $V_{ab}$ aumenta, porque como há uma diminuição do fluxo do campo magnético, isto gerará uma corrente induzida e esta corrente induzida gera uma força eletromotriz, $V_{ab}$.
III. $V_{ab}$ diminui, porque como há uma diminuição do fluxo do campo magnético, isto gerará uma corrente induzida e esta corrente induzida gera uma força eletromotriz, $V_{ab}$.
IV. O valor de $V_{ab}$ dependente da velocidade $v_0$ com que o ímã se move.
Podemos afirmar que:
A)Somente a primeira afirmação está correta.
B)Há duas afirmações corretas.
C)Há somente uma afirmação incorreta.
D)Todas as afirmações estão incorretas.
E)Somente a última afirmação está correta.
Alternativa correta: B
Resolução
Pela lei de Faraday, $
\mathcal E
=
d\Phi_B/dt
$: afastar o ímã altera o fluxo e produz diferença de potencial induzida. A taxa de variação depende da velocidade do ímã. Na interpretação adotada pelo gabarito, II e IV são verdadeiras. Não é necessário contato entre ímã e circuito.
Precisão física: a variação de fluxo induz a força eletromotriz; uma corrente só circula se houver caminho fechado. A frase II inverte essa causalidade. O gabarito B foi preservado, com esta ressalva editorial.
Resposta: B
4
Ondulatória — Acústica — Persistência auditiva e tempo de propagação
O som é uma onda mecânica longitudinal, portanto necessita de um meio material para se propagar. Assim, dependendo do tipo de meio material (gás, líquido ou sólido), a velocidade de propagação da onda sonora é diferente. Exemplos são: velocidade do som no ar 340m/s e a velocidade do som na água 1450m/s. Além disso, quando dois sons incidem sobre o ouvido do observador com uma diferença de tempo pequena, é impossível distinguir as fontes sonoras. Assim, o menor intervalo de tempo entre chegada de duas ondas (persistência da audição) é considerado da ordem de 0,1s para que possam ser percebidas por humanos. A Figura abaixo ilustra uma onda sonora que é emitida ao mesmo instante no ar e água por uma fonte (A) e chega a um observador (O) por dois caminhos distintos. Qual deve ser a faixa de valores para distância d a ser evitada de tal forma que o observador possa distinguir os dois sons? Observação: não leve em consideração qualquer outro efeito que a onda sonora possa ter nas interfaces entre ar/água e água/vidro, ou mesmo variação de pressão e/ou temperatura.
A)entre 1377,5m e 1522,5m
B)entre 1250,0m e 1650m
C)entre 340m e 1360m
D)entre 323m e 357m
E)entre 646m e 714m
Alternativa correta: A
Resolução
No ar, $t_{ar}=680/340=2,0\,\mathrm s$. Na água, o percurso tem dois trechos de comprimento d, portanto $t_{água}=2d/1450$. Não se distinguem os sons quando $
2d/1450-2
<0,1$, ou seja, $1,9<2d/1450<2,1$. Isso fornece $1377,5<d<1522,5\,\mathrm m$: intervalo a evitar.
Resposta: A
5
Física moderna — Física atômica — Transição eletrônica e absorção de fóton
Um modelo atômico aceito é o de Niels Bohr (1885-1982), que propõe que as órbitas dos elétrons são específicas e estacionárias, ocupando somente níveis quantizados de energia. Além disso, ele afirma que é possível que o elétron mude de órbita tal que a diferença de energia entre as órbitas seja fornecida (ou emitida) por um fóton com energia igual a esta diferença. No caso do átomo de hidrogênio os níveis de energia associados às órbitas estacionárias são obtidos pela relação: $E_n=-13,6\,\mathrm{eV}/n^2$. O nível mais interno (n=1) possui energia -13,6eV, o próximo nível (n=2) é -3,4eV, o terceiro (n=3) é -1,51eV e assim por diante. Caso o elétron do átomo de hidrogênio passe do primeiro para o terceiro nível de energia qual alternativa é a correta? (Considere que a constante de Planck seja igual a $h=4,135\times10^{-15}\,\mathrm{eV\,s}$.)
A)absorver um fóton com frequência aproximada de $2,92\times10^{15}$ Hertz.
B)absorver um fóton com frequência aproximada de $5,84\times10^{15}$ Hertz.
C)absorver um fóton com frequência aproximada de $1,46\times10^{15}$ Hertz.
D)emitir um fóton com frequência aproximada de $5,84\times10^{15}$ Hertz.
E)emitir um fóton com frequência aproximada de $2,92\times10^{15}$ Hertz.
Alternativa correta: A
Resolução
A passagem de n = 1 para n = 3 aumenta a energia do elétron, exigindo absorção. A diferença é $\Delta E=-1,51-(-13,6)=12,09\,\mathrm{eV}$. Pela relação $\Delta E=hf$, $f=12,09/(4,135\times10^{-15})\approx2,92\times10^{15}\,\mathrm{Hz}$. O gabarito retificado após recursos altera a resposta de E para A.
Resposta: A
1
Eletricidade — Circuitos elétricos — Baterias ideais e associação de resistores
Discursiva
No circuito abaixo as baterias, $\varepsilon_1=5\,\mathrm V$ e $\varepsilon_2=3\,\mathrm V$, são ideais e as resistências ôhmicas possuem o mesmo valor $R=5\,\Omega$, os segmentos de fios e a chave S não possuem resistência.
A) Antes de a chave S ser fechada e em regime estacionário, qual o valor da corrente elétrica que circula no segmento de fio a-b e em qual sentido? Qual a potência elétrica dissipada nos dois resistores?
B) Após um longo intervalo de tempo que a chave S foi fechada, qual o valor da corrente elétrica no resistor R entre o segmento de fio a-c e em qual sentido? Qual a potência elétrica fornecida pela bateria $\varepsilon_1$?
C) Após um longo intervalo de tempo que a chave S foi fechada, qual o valor da corrente elétrica que circula no segmento de fio a-b e em qual sentido?
Resolução
A) Com S aberta, apenas a bateria de 3 V alimenta os dois resistores paralelos. A resistência equivalente é $5/2=2,5\,\Omega$ e a corrente no trecho a–b é $3/2,5=1,2\,\mathrm A$, de a para b. Cada resistor recebe 0,6 A e dissipa $P=5(0,6)^2=1,8\,\mathrm W$; total 3,6 W, conforme a referência retificada.
B) A bateria ideal de 3 V fixa a tensão nos resistores paralelos. Na malha esquerda, as baterias somam 5 + 3 = 8 V no resistor de 5 Ω. Assim, $I=(5+3)/5=1,6\,\mathrm A$, de a para c. A bateria de 5 V fornece $P=5(1,6)=8\,\mathrm W$.
C) A tensão dos resistores paralelos continua 3 V; a corrente no trecho a–b permanece 1,2 A, de a para b.
Resposta: A) 1,2 A de a para b; 1,8 W em cada resistor, 3,6 W no total. B) 1,6 A de a para c; 8 W. C) 1,2 A de a para b.
2
Eletricidade — Magnetismo — Seletor de velocidades e aceleração elétrica
Discursiva
Uma partícula de massa $m_p$, carga elétrica −q e vetor velocidade inicial $\vec v_i$ (orientado ao longo do eixo x positivo) entra em uma região do espaço que possui campo magnético constante e uniforme $\vec B$ (orientado ao longo do eixo z positivo) e campo elétrico constante e uniforme $\vec E$ (orientado ao longo do eixo y positivo), logo são perpendiculares entre si (conforme figura abaixo – parte A). A carga está alinhada com a fenda F₁.
A) Encontre uma expressão para a intensidade do vetor velocidade inicial $\vec v_i$ para que a partícula viaje, dentro dos campos, em linha reta para que possa passar pela fenda F₁. Supondo que o módulo do campo magnético seja de 500 mT e o módulo do campo elétrico seja 10 V/m, qual a intensidade desta velocidade?
B) Após passar pela fenda F₁ a partícula entra em uma região sujeita a uma diferença de potencial δV (como ilustrado na figura acima – parte B). Encontre uma expressão para o módulo do vetor velocidade final da partícula ao passar pela fenda F₂ (as duas fendas estão alinhadas). Suponha que a massa da partícula seja $m_p=1,6\times10^{-27}\,\mathrm{kg}$, que sua carga seja $q=1,6\times10^{-19}\,\mathrm C$ e que a diferença de potencial $\delta V=2,5\,\mu\mathrm V$.
C) Se, por algum motivo a intensidade do vetor velocidade inicial $\vec v_i$ for muito maior que o valor encontrado no item (a), o que ocorrerá com a partícula? Em outras palavras, para onde a partícula irá se dirigir?
Resolução
A) Para a carga negativa, a força elétrica aponta −y e a magnética aponta +y. A trajetória retilínea exige $qE=qv_iB$, portanto $v_i=E/B=10/0,500=20\,\mathrm{m/s}$.
B) A partícula de carga −q se desloca para o potencial maior indicado, ganhando energia cinética $q\delta V$. Assim, $v_f=\sqrt{v_i^2+2q\delta V/m_p}$. Com $\delta V=2,5\times10^{-6}\,\mathrm V$, $v_f=\sqrt{400+500}=30\,\mathrm{m/s}$.
C) Se $v_i>E/B$, a força magnética em +y supera a elétrica em −y. A partícula se desvia para cima, deixando de passar pela fenda alinhada.
Resposta: A) $v_i=E/B=20\,\mathrm{m/s}$. B) $v_f=\sqrt{v_i^2+2q\delta V/m_p}=30\,\mathrm{m/s}$. C) Desvio para +y, acima da fenda.
3
Ondulatória — Ondas eletromagnéticas — Onda plana e vetor de onda
Discursiva
Em uma determinada região do espaço onde se faz vácuo e na ausência de cargas e correntes, incide-se uma onda eletromagnética plana monocromática de comprimento de onda λ = 1,0 m. Considerando a direção de propagação da onda como sendo o eixo x (a orientação do eixo é - ∞ à esquerda e +∞ à direita) e que a onda se propaga para a direita, se a onda é linearmente polarizada na direção do eixo y, com a amplitude do vetor campo elétrico dado por E₀ e que a amplitude do vetor campo elétrico é máximo no instante t=0 s, pede-se: (dados: π = 3,14; velocidade da luz no vácuo: c = 3 × 10⁸ m/s)
A) Escreva uma expressão matemática para o vetor campo elétrico para esta onda.
B) Calcule o valor do vetor de onda e a frequência da onda.
Resolução
A) Para propagação em +x e polarização em y, $\vec E=E_0\cos(kx-\omega t)\hat y$. O cosseno coloca o máximo na origem em t = 0. Como $k=2\pi/\lambda=6,28\,\mathrm{m^{-1}}$ e $\omega=ck=1,884\times10^9\,\mathrm{rad/s}$, obtém-se a expressão indicada.
B) O vetor de onda aponta na direção de propagação: $\vec k=6,28\hat x\,\mathrm{m^{-1}}$, e $f=c/\lambda=3,0\times10^8\,\mathrm{Hz}$. A referência oficial imprime a direção y para o vetor de onda; essa direção corresponde à polarização elétrica, não à propagação. Foi corrigida para x na resolução editorial.
Resposta: A) $\vec E(x,t)=E_0\cos(6,28x-1,884\times10^9t)\hat y$. B) $\vec k=6,28\,\mathrm{m^{-1}}\hat x$; $f=3,0\times10^8\,\mathrm{Hz}$.
4
Ondulatória — Acústica — Harmônicos de tubos abertos
Discursiva
Incide-se um fluxo de ar sobre dois tubos ocos cilíndricos constituídos do mesmo material, de mesma seção reta transversal, com as extremidades abertas e com comprimentos diferentes: um com comprimento L₁ e outro com L₂ < L₁. O som é produzido pela vibração da coluna de ar dentro dos tubos dos instrumentos.
A) Calcule as frequências de som emitidas por estes tubos em função do comprimento de cada tubo e da velocidade do som no ar, vₛₒₘ.
B) Calcule a razão entre as frequências fundamentais dos dois tubos e indique qual dos dois tubos emite som mais agudo.
Resolução
A) Em um tubo aberto nas duas extremidades, existem ventres de deslocamento nas extremidades. Os modos permitidos satisfazem $L=n\lambda/2$, logo $f_n=nv_{som}/(2L)$, com n inteiro positivo. A expressão aplica-se separadamente aos dois comprimentos.
B) Para as frequências fundamentais, $f_1/f_2=L_2/L_1$. Como $L_2<L_1$, o tubo mais curto L₂ tem maior frequência fundamental e emite som mais agudo.
Resposta: A) $f_{n,1}=nv_{som}/(2L_1)$ e $f_{n,2}=nv_{som}/(2L_2)$. B) $f_1/f_2=L_2/L_1<1$; tubo L₂ mais agudo.
5
Física moderna — Dualidade onda-partícula — Comprimento de onda de de Broglie
Discursiva
Em 1925, de Broglie postulou em sua tese de doutorado que deveria existir uma dualidade entre matéria e onda, por meio da hoje conhecida relação de de Broglie (p = h/l ), onde $h=6,62\times10^{-34}\,\mathrm{J\,s}$. Se h é a constante de Planck e l o comprimento de onda associada à matéria.
A) Com base na relação de de Broglie, calcule o comprimento de onda associado a uma pessoa com massa de 66,2 kg, correndo a uma velocidade de 10 m/s.
B) Qual teria que ser o tamanho, em ordens de grandeza, de uma fenda para que se pudesse observar o efeito ondulatório dessa pessoa?
Resolução
A) O momento linear é $p=mv=66,2(10)=662\,\mathrm{kg\,m/s}$. A relação de de Broglie dá $\lambda=h/p=6,62\times10^{-34}/662=1,0\times10^{-36}\,\mathrm m$.
B) A difração seria significativa para uma fenda com largura da ordem do comprimento de onda, $10^{-36}\,\mathrm m$. Uma pessoa não pode atravessar essa abertura; o resultado evidencia por que esse efeito não é observável nessa situação macroscópica.
Resposta: A) $1,0\times10^{-36}\,\mathrm m$. B) Da ordem de $10^{-36}\,\mathrm m$.
