UFJF PISM 2022 — Módulo 3 — Física resolvida

Física moderna — Relatividade — Transformação relativística do intervalo de tempo

Um observador S’ dentro de um vagão, que está se deslocando com velocidade v constante para a direita em relação a um observador S que se encontra fora do trem e em repouso em relação à Terra, observa a queda livre de uma esfera que estava inicialmente presa no teto do vagão a uma altura H do piso do vagão (ver desenho abaixo). Como é de se esperar, a trajetória vista pelo observador S’ que está em repouso em relação ao vagão, é uma linha vertical que vai desde o teto até o piso do vagão e o tempo de queda é igual a $(2gH)^{1/2}$ . Considerando a Terra como sendo um referencial inercial, e comparando v com a velocidade c da luz no vácuo, podemos afirmar que o tempo de queda medido pelo observador em S será:

Transformação relativística do intervalo de tempo — figura original da questão 1, módulo 3

A)igual ao tempo de queda medido por S’ e esse fato independe da magnitude da velocidade v do vagão.

B)maior que o tempo de queda medido por S’ porque a trajetória vista pelo observador S é uma parábola.

C)menor que o tempo de queda medido por S’ se a razão v/c é muito menor que 1.

D)maior que o tempo de queda medido por S’ se a razão v/c é muito próxima de 1.

E)menor que o tempo de queda medido por S’ se a razão v/c é muito próxima de 1.

Alternativa correta: D

Resolução

Os eventos de início e fim da queda têm a mesma coordenada horizontal no vagão. A transformação de Lorentz fornece $\Delta t=\gamma\Delta t^{\prime}$, com $\gamma=1/\sqrt{1-v^2/c^2}$. Para v próximo de c, o observador em S mede um intervalo maior. No limite clássico, os tempos são aproximadamente iguais; o formato parabólico da trajetória não é a causa da diferença relativística.

Nota sobre o original: o caderno escreve $(2gH)^{1/2}$ para o tempo de queda. Essa expressão tem dimensão de velocidade. Na aproximação clássica, a expressão correta para o tempo é $\sqrt{2H/g}$. O enunciado foi preservado.

Resposta: D

Ondulatória — Oscilações — Período e força restauradora no MHS

Na vida cotidiana, os movimentos harmônicos são bastante frequentes. São exemplos, os movimentos de uma mola, de um pêndulo e de uma corda de violão. Exemplo bem prático é a aplicação de molas em veículos que servem para controlar a altura do automóvel e influenciam diretamente na estabilidade da condução. Abaixo, temos um gráfico que mostra a posição X em função do tempo de uma partícula de massa m = 1 kg que é colocada em uma das extremidades da mola, na posição vertical, enquanto a outra extremidade é fixada. Assim, é possível puxar a massa, soltando-a imediatamente depois, e estudar o seu movimento sob a influência da força restauradora que atua sobre ela.

Período e força restauradora no MHS — figura original da questão 2, módulo 3

Usando as informações contidas nesse gráfico (posição em função do tempo), analise as seguintes afirmações sobre o movimento harmônico simples que a partícula executa. I) a frequência do movimento é igual a 2 Hz. II) a frequência angular do movimento é igual a π rad/s. III) a força restauradora da mola é $F=-(\pi^2\,\mathrm{N/m})X$. IV) a força restauradora da mola depende do peso da massa m que está pendurada na mola. Assinale a alternativa CORRETA:

A)as afirmativas I e IV são verdadeiras.

B)as afirmativas I e III são verdadeiras.

C)as afirmativas II e IV são verdadeiras.

D)as afirmativas II e III são verdadeiras.

E)as afirmativas I e IV são falsas.

Alternativa correta: D/E

Resolução

O gráfico mostra $T=2\,\mathrm s$, portanto $f=1/T=0,50\,\mathrm{Hz}$: I é falsa. A frequência angular é $\omega=2\pi/T=\pi\,\mathrm{rad/s}$: II é verdadeira. Como $k=m\omega^2=\pi^2\,\mathrm{N/m}$, a força restauradora em relação ao equilíbrio é $F=-kX=-\pi^2X$: III é verdadeira. O peso desloca a posição de equilíbrio, mas a força restauradora do MHS é proporcional ao deslocamento a partir dela: IV é falsa. Assim, D e E descrevem corretamente as afirmações. O gabarito oficial retificado aceita ambas.

Resposta: D/E

Eletricidade — Circuitos elétricos — Resistor em série e potência nominal

Um estudante quer iluminar um ambiente com uma lâmpada com especificações de fábrica de 24 W e 6 V. No entanto, ele só tem uma fonte de 12 V e alguns resistores que pode usar com a fonte para montar um circuito elétrico e acender a lâmpada. Qual o valor do resistor que ele deve usar em série com a fonte e lâmpada para atender às especificações de fábrica da lâmpada?

A)3,0 Ω

B)6,0 Ω

C)2,5 Ω

D)1,5 Ω

E)9,0 Ω

Alternativa correta: D

Resolução

Para operar nas especificações, a lâmpada precisa de $I=P/U=24/6=4,0\,\mathrm A$. O resistor em série deve absorver $12-6=6\,\mathrm V$. Portanto, $R=6/4=1,5\,\Omega$.

Resposta: D

Ondulatória — Ondas eletromagnéticas — Dispersão da luz e arco-íris

No nosso cotidiano as ondas eletromagnéticas estão por toda parte: ondas devido às transmissões de rádio, TV e também pelo sistema de telefonia celular. Esses são apenas alguns exemplos das diversas aplicações usando ondas eletromagnéticas. Temos também as radiações visíveis como a luz proveniente do Sol, de lâmpadas e telas LCD. Qual das seguintes alternativas é a CORRETA?

A)Ondas eletromagnéticas são capazes de transportar cargas eletromagnéticas.

B)O comprimento de uma onda eletromagnética não depende do meio.

C)Somente no vácuo podemos usar a relação v = f λ, onde v é a velocidade da onda, f é a frequência e λ é o comprimento de onda.

D)A frequência das ondas eletromagnéticas depende do meio no qual se propagam.

E)O arco-íris é a dispersão da luz branca que é causada pela diferença de velocidade de ondas de frequências diferentes no mesmo meio.

Alternativa correta: E

Resolução

Em um meio dispersivo, a velocidade da luz depende da frequência. As cores sofrem desvios diferentes ao atravessar as gotas, contribuindo para o arco-íris; também há reflexão interna. A frequência permanece constante na passagem entre meios; a velocidade e o comprimento de onda podem mudar. A relação $v=f\lambda$ não se restringe ao vácuo, e ondas eletromagnéticas transportam energia, sem exigir transporte de cargas.

Resposta: E

Ondulatória — Acústica — Efeito Doppler com fonte e observador móveis

Uma abelha emite um zumbido característico, batendo suas asas 450 vezes por segundo. Durante um voo retilíneo, ela mantém a velocidade uniforme de 10 m/s em relação ao solo. Se uma pessoa corre dela com uma velocidade de 5 m/s, também em relação ao solo, assinale a alternativa CORRETA:

A)ela ouve o zumbido da abelha mais agudo, pois ela se afasta da abelha.

B)ela ouve o zumbido da abelha mais agudo, pois a abelha se aproxima.

C)ela ouve o zumbido da abelha mais grave, pois a abelha se aproxima.

D)ela ouve o zumbido da abelha na mesma frequência característica, pois a frequência não depende da velocidade.

E)ela ouve o zumbido da abelha mais grave, pois a pessoa está se movendo.

Alternativa correta: B

Resolução

A abelha persegue a pessoa com velocidade maior, reduzindo a distância entre elas. Para ar em repouso e velocidade do som $v_s$, o efeito Doppler fornece $f_{ouvida}=450(v_s-5)/(v_s-10)$. Como essa razão é maior que 1, a frequência ouvida aumenta, e o som é mais agudo.

Resposta: B

Eletricidade — Magnetismo — Força magnética e potência mecânica

Discursiva

O desenho abaixo representa uma parte de um circuito elétrico composto por alguns elementos e um fio condutor não flexível na posição horizontal (direção y) de comprimento L que é capaz de se movimentar ao longo de hastes que se encontram na posição vertical (direção z). Dependendo da intensidade e sentido da corrente I constante que atravessa o fio, um objeto de peso P pendurado pode ficar em repouso ou então se movimentar para cima ou para baixo ao longo das hastes. Existe um campo magnético B em toda região por onde o fio pode se deslocar e tem direção x e sentido negativo de acordo com o sistema de eixos abaixo. Considere o seguinte sistema de eixos: o eixo z está no plano da folha e apontando para cima, o eixo y está no plano da folha e apontando para a direita e o eixo x está saindo da folha e apontando para quem lê. Responda:

Força magnética e potência mecânica — figura original da questão 1, módulo 3

A) Qual o sentido convencional da corrente capaz de manter em repouso o objeto de peso P?

B) Qual a intensidade da corrente I para manter o equilíbrio estático do objeto de peso P?

C) Se o objeto de peso P move-se para cima com velocidade constante de módulo v, qual deve ser a potência fornecida ao circuito? Dê sua resposta em função de B, I, L e v.

Resolução

A) A força magnética precisa apontar para cima, +z. Pela regra da mão direita, $\vec F=I\vec L\times\vec B$: com B em −x, a corrente deve seguir +y, da esquerda para a direita.

B) Como fio e campo são perpendiculares, $F= BIL$. No equilíbrio, $BIL=P$, portanto $I=P/(BL)$.

C) Com velocidade constante, a potência mecânica é $\mathcal P=Fv=BLIv=Pv$. Essa é a potência fornecida no modelo ideal, sem perdas resistivas. Se houvesse dissipação elétrica adicional, ela precisaria ser somada; o enunciado não fornece resistência para calculá-la.

Resposta: A) Da esquerda para a direita, sentido +y. B) $I=P/(BL)$. C) $\mathcal P=BLIv=Pv$.

Eletricidade — Eletrostática — Superposição de campos e forças elétricas

Discursiva

Três cargas Q₁, Q₂ e Q₃, positivas e de mesma intensidade Q, estão dispostas em uma semicircunferência de raio R como mostra a figura abaixo. Use o sistema de eixos como referência para determinar o que se pede.

Superposição de campos e forças elétricas — figura original da questão 2, módulo 3

A) Qual o módulo do campo elétrico no centro da semicircunferência?

B) Determine qual a intensidade e sentido da força resultante em Q₂ devido às outras cargas.

Resolução

A) No centro, os campos de Q₁ e Q₃ têm o mesmo módulo e sentidos opostos; cancelam-se. Resta o campo de Q₂, dirigido para baixo: $E=kQ/R^2$, sentido −z.

B) As distâncias de Q₁ e Q₃ a Q₂ são $\sqrt2R$. Cada força tem módulo $kQ^2/(2R^2)$. As componentes horizontais se cancelam; as verticais se somam: $F=2[kQ^2/(2R^2)]\cos45^\circ=kQ^2/(\sqrt2R^2)$, sentido +z.

Resposta: A) $E=kQ/R^2$, sentido −z. B) $F=kQ^2/(\sqrt2R^2)$, sentido +z.

Eletricidade — Magnetismo — Campo de uma espira e força de Lorentz

Discursiva

O circuito abaixo mostra uma pilha com uma diferença de potencial igual a V, um resistor R e uma espira circular de raio L formando um circuito em série. A pilha e a resistência estão no plano da folha e o plano da espira está no plano perpendicular à folha.

Campo de uma espira e força de Lorentz — figura original da questão 3, módulo 3

A) Copie a espira abaixo para o quadro de respostas e, usando linhas orientadas, represente, de forma aproximada, o campo magnético em torno da espira.

Campo de uma espira e força de Lorentz — figura original, módulo 3, questão 3

B) Qual o módulo do campo magnético no centro da espira?

C) Se uma partícula de carga Q positiva entrar na região do campo magnético paralelamente ao plano da espira com velocidade v no sentido da esquerda para a direita, em qual direção a partícula será defletida na parte externa da espira? Considere o sistema de eixos coordenados abaixo, isto é, o eixo z está no plano da folha e apontando para cima, o eixo y está no plano da folha e apontando para a direita e o eixo x está saindo da folha e apontando para quem lê.

Resolução

A) Pela orientação da corrente indicada, a regra da mão direita aponta o campo interno para −z. Desenhe linhas fechadas atravessando o interior da espira para baixo e retornando para cima na região externa; as linhas não se cruzam.

B) Desprezando a resistência dos fios e da espira, $I=V/R$. No centro de uma espira circular de raio L, $B=\mu_0I/(2L)=\mu_0V/(2RL)$.

C) Na região externa indicada, o campo aponta +z. Para Q positiva e velocidade +y, $\vec F=Q\vec v\times\vec B$ tem direção +x: a partícula é defletida para fora da folha, em direção ao leitor.

Resposta: A) Campo interno em −z e retorno externo em +z. B) $B=\mu_0V/(2RL)$. C) Sentido +x, saindo da folha.

Eletricidade — Eletrodinâmica — Potência e consumo de energia elétrica

Discursiva

Todos os aparelhos elétricos transformam energia elétrica em outras formas de energia. O consumo elétrico de um aparelho é a energia elétrica total que se transforma em outros tipos de energia. Considere um aparelho aquecedor de água equipado com um resistor fabricado para operar em 220 V e que nestas condições apresenta uma potência elétrica de 2200 W.

A) Se o aparelho for ligado em 110 V, sabendo que o aumento da temperatura da água é proporcional à potência elétrica dissipada no resistor, que valor deveria ter o resistor para que ele aqueça a água da mesma maneira que faria quando ligado em 220 V?

B) Estime, em kWh, o consumo mensal de energia elétrica deste aparelho, operando em 220 V, se ele ficar ligado durante 15 minutos por dia. Considerando que cada kWh custa 1,10 Reais, qual seria a despesa mensal? Considere um mês composto de 30 dias.

Resolução

A) Para manter a mesma potência de 2200 W em 110 V, $R=U^2/P=110^2/2200=5,5\,\Omega$. A resistência original era $220^2/2200=22\,\Omega$.

B) O tempo mensal é $30\times15/60=7,5\,\mathrm h$. Com potência 2,2 kW, o consumo é $E=2,2\times7,5=16,5\,\mathrm{kWh}$. A despesa é $16,5\times1,10=18,15$ reais.

Resposta: A) $5,5\,\Omega$. B) $16,5\,\mathrm{kWh}$ e R$ 18,15.

Física moderna — Física atômica — Energia e ionização no modelo de Bohr

Discursiva

No início do século XX Niels Bohr, trabalhando no laboratório de E. Rutherford, propôs um modelo atômico que admitia que o elétron, no átomo de hidrogênio, deslocava-se em uma órbita circular sob a influência da interação coulombiana com o núcleo positivo, em acordo com a mecânica clássica. Nesse modelo é possível obter uma estabilidade mecânica, mas o átomo seria eletricamente instável, pois o elétron estaria acelerado e, consequentemente, irradiaria energia eletromagnética colapsando o átomo. Para resolver esse problema, Niels Bohr postulou que o elétron poderia deslocar-se em certas órbitas, sem irradiar. Estas órbitas foram denominadas de estados estacionários. Nesse modelo, o estado fundamental é uma órbita circular que tem distância média entre o elétron e o núcleo de aproximadamente $5,0\times10^{-11}\,\mathrm m$. Use se necessário: $k=9,0\times10^9\,\mathrm{N\,m^2/C^2}$; carga do elétron $e=-1,6\times10^{-19}\,\mathrm C$; massa do elétron $m=9,1\times10^{-31}\,\mathrm{kg}$.

A) Determine o valor da energia potencial eletrostática do conjunto próton-elétron.

B) Neste modelo, a estimativa da velocidade escalar tangencial do elétron para uma órbita circular no estado fundamental é de aproximadamente $v_e=2,0\times10^6\,\mathrm{m/s}$. Qual a energia total do sistema próton-elétron?

C) No modelo de Bohr, as possíveis energias para o elétron do átomo de hidrogênio podem ser calculadas por meio da expressão $E_n=-E/n^2$, onde $E_n$ representa a energia relativa a cada nível, E é uma constante e n é qualquer número inteiro positivo. Neste modelo, obtenha a energia de ionização para o elétron de um átomo de hidrogênio que está no nível fundamental.

Resolução

A) Adotando energia potencial nula no infinito, $U=kq_pq_e/r=-ke^2/r$. Com os dados fornecidos, $U=-9,0\times10^9(1,6\times10^{-19})^2/(5,0\times10^{-11})=-4,608\times10^{-18}\,\mathrm J$.

B) A energia cinética é $K=m_ev_e^2/2=9,1\times10^{-31}(2,0\times10^6)^2/2=1,820\times10^{-18}\,\mathrm J$. Logo, $E_{total}=U+K=-2,788\times10^{-18}\,\mathrm J$.

C) O nível fundamental tem n = 1, portanto $E_1=-E$. Ionizar significa levar o elétron ao limite n → ∞, com energia zero: $E_{ion}=0-(-E)=E$. Identificando E com o módulo da energia fundamental estimada no item B, obtém-se $2,788\times10^{-18}\,\mathrm J$.

Os valores aproximados de raio e velocidade fornecidos não satisfazem exatamente a relação de equilíbrio circular $K=-U/2$. Por isso, mantivemos o cálculo com os dados do caderno, sem substituí-los pelo valor tabelado de 13,6 eV.

Resposta: A) $-4,608\times10^{-18}\,\mathrm J$. B) $-2,788\times10^{-18}\,\mathrm J$. C) $E_{ion}=E$; pelos dados do item B, $2,788\times10^{-18}\,\mathrm J$.

PISM 3 · 2022 — Questões de Física comentadas — Método TEF

Dados da prova