Uma partícula de massa $m$ é liberada em repouso do topo de uma rampa sem atrito, a uma altura $h_1$ em relação ao solo. Após descer a rampa, atingindo o nível do solo, essa partícula adentra uma região rugosa plana de comprimento $d$, cujo coeficiente de atrito cinético é $\mu$. Ao final da região rugosa, a partícula sobe outra rampa sem atrito até alcançar um platô sem atrito de altura $h_2<h_1$. Por fim, ao final desse platô, também sem atrito, ela comprime uma mola de constante elástica $k$. Considerando que $g$ representa a aceleração da gravidade, assinale o que for correto.
A energia inicial é gravitacional. No trecho rugoso horizontal, a normal vale $mg$ e o trabalho do atrito cinético é:
\[W_{at}=-\mu mgd\]
Ao sair desse trecho, no nível do solo:
\[\frac{mv^2}{2}=mgh_1-\mu mgd\]
\[v=\sqrt{2g(h_1-\mu d)}\]
A expressão pressupõe que a partícula consiga atravessar a região rugosa. Na altura da mola, o balanço até a compressão máxima fornece:
\[mgh_1-\mu mgd=mgh_2+\frac{kx_{\max}^2}{2}\]
\[\frac{kx_{\max}^2}{2}=mg(h_1-h_2-\mu d)\]
\[x_{\max}=\sqrt{\frac{2mg}{k}(h_1-h_2-\mu d)}\]
A compressão positiva exige que a expressão entre parênteses seja positiva.
01) Incorreta. Dobrar as duas alturas dobra sua diferença, alterando a energia disponível e a compressão; a parcela de perda por atrito não é duplicada.
02) Incorreta. A energia elástica máxima precisa descontar a energia dissipada no trecho rugoso.
04) Correta. A velocidade imediatamente após a região rugosa é a obtida no primeiro balanço energético.
08) Correta. Se $h_1-h_2\leq\mu d$, não sobra energia para comprimir a mola. No limite de igualdade, a partícula chega à altura do platô com velocidade nula; para uma diferença menor, para antes.
16) Incorreta. Aumentar $d$ aumenta a dissipação e reduz a compressão, podendo impedir que a partícula alcance a mola.
Soma das proposições corretas: 04 + 08 = 12.