Provas Anteriores | UFRJ 1998 — Física — caderno disponível

Mecânica — Cinemática — Gráfico velocidade × tempo

No livreto fornecido pelo fabricante de um automóvel há a informação de que ele vai do repouso a $108\,\mathrm{km/h}$ ($30\,\mathrm{m/s}$) em $10\,\mathrm s$ e que a sua velocidade varia em função do tempo de acordo com o seguinte gráfico.

Suponha que você queira fazer esse mesmo carro partir do repouso a $30\,\mathrm{m/s}$ também em $10\,\mathrm s$, mas com aceleração escalar constante.

UFRJ 1998, questão 1: figura 1 do caderno

a) Calcule qual deve ser essa aceleração.

b) Compare as distâncias $d$ e $d^\prime$. Verifique se a distância $d^\prime$ percorrida com aceleração escalar constante é maior, menor ou igual à distância $d$ percorrida na situação representada pelo gráfico.

a) $3{,}0\,\mathrm{m/s^2}$. b) $d^\prime<d$.

Resolução comentada

Com aceleração constante, $a=(30-0)/10=3{,}0\,\mathrm{m/s^2}$. Nesse caso o gráfico seria uma reta ligando a origem ao ponto final.

A distância corresponde à área sob o gráfico. A curva fornecida está acima dessa reta entre os extremos. Assim, a área triangular do movimento uniformemente acelerado, $d^\prime=30\cdot10/2=150\,\mathrm m$, é menor do que a área sob a curva: $d^\prime<d$.

Resposta: a) $3{,}0\,\mathrm{m/s^2}$. b) $d^\prime<d$.

Mecânica — Dinâmica — Atrito e ação–reação

A figura mostra um bloco A, de $3\,\mathrm{kg}$, apoiado sobre um bloco B de $4\,\mathrm{kg}$. O bloco B, por sua vez, está apoiado sobre uma superfície horizontal muito lisa, de modo que o atrito entre eles é desprezível.

O conjunto é acelerado para a direita por uma força horizontal $\vec F$ de módulo igual a $14\,\mathrm N$, aplicada no bloco B.

UFRJ 1998, questão 2: figura 1 do caderno

a) Determine a direção e o sentido da força de atrito ($\vec f_{\rm at}$) exercida pelo bloco B sobre o bloco A e calcule seu módulo.

b) Determine a direção e o sentido da reação $\vec f_{\rm at}^{\,\prime}$, calcule seu módulo e indique em que corpo está aplicada.

a) $6{,}0\,\mathrm N$, horizontal para a direita. b) $6{,}0\,\mathrm N$, para a esquerda, aplicada em B.

Resolução comentada

O conjunto de massa $3+4=7\,\mathrm{kg}$ acelera com $a=14/7=2\,\mathrm{m/s^2}$. Como A acompanha B sem deslizar, a força horizontal que acelera A é o atrito estático exercido por B.

Logo, $f_{BA}=m_Aa=3\cdot2=6\,\mathrm N$, para a direita. Pela terceira lei de Newton, A exerce sobre B uma força de $6\,\mathrm N$ para a esquerda. Essas forças não se anulam em um mesmo corpo: atuam em corpos diferentes.

Resposta: a) $6{,}0\,\mathrm N$, horizontal para a direita. b) $6{,}0\,\mathrm N$, para a esquerda, aplicada em B.

Óptica — Lentes — Lentes delgadas

Uma vela é colocada a $50\,\mathrm{cm}$ de uma lente, perpendicular a seu eixo principal. A imagem obtida é invertida e do mesmo tamanho da vela.

a) Determine se a lente é convergente ou divergente.

Justifique sua resposta.

b) Calcule a distância focal da lente.

a) Convergente. b) $f=25\,\mathrm{cm}$.

Resolução comentada

A imagem invertida de uma vela real é real, exigindo lente convergente. A igualdade de tamanhos dá $|A|=p^\prime/p=1$, logo $p^\prime=p=50\,\mathrm{cm}$.

Pela equação de Gauss, $1/f=1/50+1/50=1/25$. Portanto, $f=25\,\mathrm{cm}$. O objeto e a imagem estão, respectivamente, a duas distâncias focais de cada lado da lente.

Resposta: a) Convergente. b) $f=25\,\mathrm{cm}$.

Mecânica — Hidrostática — Flutuação, transbordamento e equilíbrio de alavanca

A figura 1 mostra uma alavanca interfixa em equilíbrio na horizontal. À esquerda do ponto de apoio há um recipiente contendo água. Observe que o recipiente possui uma canaleta, o que faz com que a superfície livre da água fique, no máximo, a uma altura h do fundo. À direita, há um bloco de massa $M$, suspenso a uma distância $d$ do ponto de apoio. Introduz-se muito lentamente na água uma esfera de cortiça que, finalmente, flutua. Para que a alavanca permaneça em equilíbrio na horizontal, o bloco de massa $M$ deve ser suspenso a uma distância $d^\prime$ do ponto de apoio, como ilustra a figura 2.

UFRJ 1998, questão 4: figura 1 do caderno

UFRJ 1998, questão 4: figura 2 do caderno

Verifique se $d^\prime$ > $d$, $d^\prime$= $d$ ou $d^\prime$< $d$.

Justifique sua resposta.

$d^\prime=d$.

Resolução comentada

A cortiça flutua, deslocando um volume de água cujo peso é igual ao seu próprio peso, segundo o princípio de Arquimedes. A água deslocada transborda pela canaleta.

O recipiente passa a sustentar o peso da cortiça, mas perde exatamente o mesmo peso em água. Assim, a força total suspensa no braço esquerdo não muda. O torque de equilíbrio à direita deve permanecer o mesmo: $Mg\,d^\prime=Mg\,d$, portanto $d^\prime=d$.

Resposta: $d^\prime=d$.

Ondas — Ondas estacionárias — Frequência fundamental em cordas de comprimentos diferentes

Um artesão constrói um instrumento musical rústico usando cordas presas a dois travessões. As cordas são todas de mesmo material, de modo que a velocidade com que nelas se propagam ondas transversais seja a mesma. Para que o instrumento possa emitir as diversas notas musicais, ele utiliza cordas de comprimentos diferentes, como mostra a figura. Uma vez afinado o instrumento, suponha que cada corda vibre em sua freqüência fundamental. Que corda emite o som mais grave, a mais longa ou a mais curta?

Justifique sua resposta.

UFRJ 1998, questão 5: figura 1 do caderno

A corda mais longa emite o som mais grave.

Resolução comentada

Na frequência fundamental de uma corda presa nas duas extremidades há um ventre entre dois nós, de modo que $\lambda_1=2L$. Portanto, $f_1=v/(2L)$.

O enunciado fixa a mesma velocidade de propagação para todas as cordas. Assim, quanto maior o comprimento, menor a frequência fundamental. Som mais grave significa menor frequência, logo corresponde à corda mais longa.

Resposta: A corda mais longa emite o som mais grave.

Eletricidade — Eletrostática — Eletrização por indução

Três pequenas esferas metálicas idênticas, A, B e C, estão suspensas, por fios isolantes, a três suportes. Para testar se elas estão carregadas, realizam-se três experimentos durante os quais se verifica como elas interagem eletricamente, duas a duas:

Experimento 1: As esferas A e C, ao serem aproximadas, atraem-se eletricamente, como ilustra a figura 1.

Experimento 2: As esferas B e C, ao serem aproximadas, também se atraem eletricamente, como ilustra a figura 2.

Experimento 3: As esferas A e B, ao serem aproximadas, também se atraem eletricamente, como ilustra a figura 3.

Formulam-se três hipóteses:

I. As três esferas estão carregadas.

II. Apenas duas esferas estão carregadas com cargas de mesmo sinal.

III. Apenas duas esferas estão carregadas, mas com cargas de sinais contrários.

UFRJ 1998, questão 6: figura 1 do caderno

UFRJ 1998, questão 6: figura 2 do caderno

UFRJ 1998, questão 6: figura 3 do caderno

Analisando os resultados dos três experimentos, indique a hipótese correta. Justifique sua resposta.

Hipótese III: duas carregadas com sinais contrários e uma neutra.

Resolução comentada

Uma esfera neutra metálica pode ser atraída por uma esfera carregada devido à separação de cargas por indução. Portanto, atração não demonstra, sozinha, que ambas estejam carregadas.

Se as três estivessem carregadas, ao menos duas teriam o mesmo sinal e se repeliriam, contrariando os experimentos. Duas carregadas com o mesmo sinal também se repeliriam. Duas com sinais opostos se atraem entre si e atraem a terceira, neutra: apenas a hipótese III explica as três atrações.

Resposta: Hipótese III: duas carregadas com sinais contrários e uma neutra.

Termologia — Mudanças de fase — Condensação do vapor e fusão do gelo

Num calorímetro de capacidade térmica desprezível que contém $60\,\mathrm g$ de gelo $0\,{}^\circ\mathrm C$, injeta-se vapor $d$’água a $100\,{}^\circ\mathrm C$, ambos sob pressão normal. Quando se restabelece o equilíbrio térmico, há apenas $45\,\mathrm g$ de água no calorímetro. O calor de fusão do gelo é $80\,\mathrm{cal/g}$, o calor de condensação do vapor $d$’água é $540\,\mathrm{cal/g}$ e o calor específico da água é $1{,}0\,\mathrm{cal/(g\cdot{}^\circ C)}$.

Calcule a massa do vapor $d$’água injetado.

$m_v=5{,}0\,\mathrm g$.

Resolução comentada

A presença de apenas $45\,\mathrm g$ de água líquida, partindo de $60\,\mathrm g$ de gelo, indica que ainda resta gelo no equilíbrio, a $0\,{}^\circ\mathrm C$. Se $m_v$ é a massa de vapor condensada, a massa de gelo fundida é $45-m_v$.

Cada grama de vapor libera $540\,\mathrm{cal}$ ao condensar e mais $100\,\mathrm{cal}$ ao esfriar de 100 °C a 0 °C. Conservando energia: $m_v(540+100)=(45-m_v)80$. Daí, $720m_v=3600$, $m_v=5{,}0\,\mathrm g$. Restam $20\,\mathrm g$ de gelo, confirmando a hipótese.

Resposta: $m_v=5{,}0\,\mathrm g$.

Eletricidade — Eletrodinâmica — Potência elétrica

Um aquecedor elétrico foi projetado para funcionar sob $220\,\mathrm V$, consumindo uma potência $P$. O aquecedor é constituído por quatro resistores idênticos, todos de mesma resistência $R$, ligados como ilustra o esquema abaixo:

UFRJ 1998, questão 8: figura 1 do caderno

Faça um esquema indicando como se deve associar os quatro resistores a fim de que o aquecedor possa ser ligado numa tomada de $110\,\mathrm V$ consumindo a mesma potência $P$. Justifique sua resposta.

Os quatro resistores devem ser ligados em paralelo.

Resolução comentada

A ligação original contém dois ramos em paralelo, cada um com dois resistores em série: $R_{\rm eq}=2R\parallel2R=R$. Sua potência é $P=220^2/R$.

Para manter essa potência com metade da tensão, a nova resistência deve ser quatro vezes menor: $R_{\rm novo}=110^2/P=R/4$. Essa resistência é obtida ligando os quatro resistores em paralelo, cada um diretamente entre os dois terminais de 110 V. Assim, $P_{\rm novo}=4(110^2/R)=220^2/R$.

Esquema explicativo da resolução — Esquema de apoio elaborado para a resolução.

Resposta: Os quatro resistores devem ser ligados em paralelo.

Mecânica — Quantidade de movimento — Impulso e mudança de direção da velocidade

Uma bola de pingue-pongue cai verticalmente e se choca, com velocidade $\vec v$, com um anteparo plano, inclinado $45^\circ$ com a horizontal. A velocidade $\vec v^{\,\prime}$ da bola imediatamente após o choque é horizontal, como ilustra a figura:

O peso da bola, o empuxo e a força de resistência do ar são desprezíveis quando comparados à força média que o anteparo exerce sobre a bola durante o choque. Suponha $|\vec v|=|\vec v^{\,\prime}|=v$.

UFRJ 1998, questão 9: figura 1 do caderno

a) Determine a direção e o sentido da força média exercida pelo anteparo sobre a esfera durante o choque, caracterizando-os pelo ângulo que ela forma com o anteparo.

b) Calcule o módulo dessa força média em função da massa $m$ da esfera, do módulo $v$ de suas velocidades, tanto imediatamente antes quanto imediatamente após o choque, e do tempo $\Delta t$ que a bola permanece em contato com o anteparo.

a) Perpendicular ao anteparo, para cima e para a direita. b) $F_m=\sqrt2\,mv/\Delta t$.

Resolução comentada

Escolhendo x para a direita e y para cima, as velocidades são $\vec v_i=(0,-v)$ e $\vec v_f=(v,0)$. A variação da quantidade de movimento é $\Delta\vec p=m(\vec v_f-\vec v_i)=(mv,mv)$.

Pelo teorema do impulso, a força média tem essa mesma direção: 45° acima da horizontal, formando 90° com o anteparo inclinado. Seu módulo é $F_m=|\Delta\vec p|/\Delta t=\sqrt{(mv)^2+(mv)^2}/\Delta t=\sqrt2\,mv/\Delta t$.

Resposta: a) Perpendicular ao anteparo, para cima e para a direita. b) $F_m=\sqrt2\,mv/\Delta t$.

Q10

Mecânica — Dinâmica — Acelerações tangencial e centrípeta no pêndulo

Uma pequena esfera metálica, suspensa por um fio ideal de comprimento $\ell$ a um suporte, está oscilando num plano vertical, com atritos desprezíveis, entre as posições extremas A e B, localizadas a uma altura $h=\ell/2$ acima do ponto mais baixo C de sua trajetória, como ilustra a figura a seguir.

Considere $g=10\,\mathrm{m/s^2}$.

UFRJ 1998, questão 10: figura 1 do caderno

a) Calcule o módulo da aceleração da esfera nos instantes em que ela passa pelos pontos A e B.

b) Calcule o módulo da aceleração da esfera nos instantes em que ela passa pelo ponto C.

a) $5\sqrt3\,\mathrm{m/s^2}$ em A e B. b) $10\,\mathrm{m/s^2}$ em C.

Resolução comentada

Nos extremos a velocidade é nula, logo não há aceleração centrípeta. A geometria fornece $h=\ell(1-\cos\theta)=\ell/2$, portanto $\theta=60^\circ$. A aceleração é apenas tangencial: $a=g\sin60^\circ=5\sqrt3\,\mathrm{m/s^2}$, dirigida para o ponto mais baixo.

Em C, a componente tangencial do peso é nula. A conservação da energia dá $v_C^2=2gh=g\ell$. Assim, a aceleração é centrípeta, para cima, com módulo $a_C=v_C^2/\ell=g=10\,\mathrm{m/s^2}$. Velocidade nula nos extremos não implica aceleração nula.

Resposta: a) $5\sqrt3\,\mathrm{m/s^2}$ em A e B. b) $10\,\mathrm{m/s^2}$ em C.

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