Provas Anteriores | UFRJ 1997 — 1º dia

Ondas — Acústica — Diferença de tempos de chegada do som

A coruja é um animal de hábitos noturnos que precisa comer vários ratos por noite.

Um dos dados utilizados pelo cérebro da coruja para localizar um rato com precisão é o intervalo de tempo entre a chegada de um som emitido pelo rato a um dos ouvidos e a chegada desse mesmo som ao outro ouvido.

Imagine uma coruja e um rato, ambos em repouso; num dado instante, o rato emite um chiado. As distâncias da boca do rato aos ouvidos da coruja valem $d$ ₁ = $12{,}780\,\mathrm m$ e $d$ ₂ = $12{,}746\,\mathrm m$.

Sabendo que a velocidade do som no ar é de $340\,\mathrm{m/s}$, calcule o intervalo de tempo entre as chegadas do chiado aos dois ouvidos.

$\Delta t=1{,}0\times10^{-4}\,\mathrm s$.

Resolução comentada

A diferença de tempos é causada pela diferença entre os caminhos até os ouvidos. Como o som percorre ambos com a mesma velocidade, $\Delta t=\Delta d/v$.

$\Delta d=12{,}780-12{,}746=0{,}034\,\mathrm m$. Assim, $\Delta t=0{,}034/340=1{,}0\times10^{-4}\,\mathrm s$, ou $0{,}10\,\mathrm{ms}$.

Resposta: $\Delta t=1{,}0\times10^{-4}\,\mathrm s$.

Mecânica — Dinâmica — Resultante vertical e sentido da aceleração

A figura mostra um helicóptero que se move verticalmente em relação à Terra, transportando uma carga de $100\,\mathrm{kg}$ por meio de um cabo de aço. O cabo pode ser considerado inextensível e de massa desprezível quando comparada à da carga. Considere $g$ = $10\,\mathrm{m/s}$ ².

Suponha que, num determinado instante, a tensão no cabo de aço seja igual a $1200\,\mathrm N$.

a) Determine, neste instante, o sentido do vetor aceleração da carga e calcule o seu módulo.

b) É possível saber se, nesse instante, o helicóptero está subindo ou descendo? Justifique a sua resposta.

$a=2{,}0\,\mathrm{m/s^2}$, para cima; o sentido da velocidade não é determinado.

Resolução comentada

O peso da carga é $P=mg=100\cdot10=1000\,\mathrm N$. A tração de $1200\,\mathrm N$ supera o peso: $T-P=ma$, dando $a=(1200-1000)/100=2{,}0\,\mathrm{m/s^2}$, para cima.

A força resultante determina a aceleração, não o sentido instantâneo da velocidade. A carga pode subir acelerando ou descer desacelerando; pode também estar momentaneamente parada.

Resposta: $a=2{,}0\,\mathrm{m/s^2}$, para cima; o sentido da velocidade não é determinado.

Mecânica — Hidrostática — Empuxo e densidade

Um densímetro é um dispositivo com o qual pode-se medir a densidade de um líquido. Trata-se de um objeto com uma haste graduada que, quando colocado em um líquido padrão de densidade conhecida, flutua de modo tal que a superfície livre do líquido coincide com uma determinada marca da haste como mostra a figura.

Por exemplo, nos postos de gasolina usam-se densímetros para controlar o padrão de qualidade do álcool hidratado.

Suponha que um negociante desonesto tenha misturado mais água ao álcool hidratado.

Sabendo que a densidade do álcool é menor do que a da água, verifique se o densímetro flutuaria, nesse álcool "batizado", com a marca acima ou abaixo de sua superfície livre. Justifique a sua resposta.

A marca fica acima da superfície livre.

Resolução comentada

O densímetro flutua em equilíbrio e desloca um volume de líquido cujo peso iguala seu próprio peso: $\rho gV_{\rm imerso}=P$. Seu peso não muda ao se acrescentar água.

A mistura adulterada fica mais densa; por isso, o volume imerso necessário diminui. O densímetro sobe e a marca correspondente ao álcool padrão fica acima da superfície livre.

Resposta: A marca fica acima da superfície livre.

Mecânica — Estática — Equilíbrio vertical com balança e bengala

Uma pessoa idosa,de $68\,\mathrm{kg}$, ao se pesar, o faz apoiada em sua bengala como mostra a figura.

Com a pessoa em repouso a leitura da balança é de $650\,\mathrm N$. Considere $g$ = $10\,\mathrm{m/s}$ ².

a) Supondo que a força exercida pela bengala sobre a pessoa seja vertical, calcule o seu módulo e determine o seu sentido.

b) Calcule o módulo da força que a balança exerce sobre a pessoa e determine a sua direção e o seu sentido.

a) $30\,\mathrm N$, para cima. b) $650\,\mathrm N$, verticalmente para cima.

Resolução comentada

O peso da pessoa é $P=68\cdot10=680\,\mathrm N$. A balança sustenta $650\,\mathrm N$; a bengala fornece a parcela restante.

Pelo equilíbrio vertical, $N+F_b-P=0$, de modo que $F_b=680-650=30\,\mathrm N$, para cima. A força da balança sobre a pessoa é a normal, de módulo $650\,\mathrm N$ e sentido para cima. A leitura corresponde à força de apoio, e não necessariamente ao peso completo.

Resposta: a) $30\,\mathrm N$, para cima. b) $650\,\mathrm N$, verticalmente para cima.

Eletricidade — Eletrodinâmica — Associação de resistores

O gráfico a seguir representa os característicos tensão-corrente de dois resistores (1) e (2).

a) Inicialmente, os resistores (1) e (2) são ligados a um gerador, como ilustra o esquema a seguir, no qual o voltímetro e o amperímetro são ideais.

O voltímetro indica $12\,\mathrm V$. Calcule a indicação do amperímetro.

b) A seguir, os resistores (1) e (2) são ligados a outro gerador, como ilustra o esquema abaixo, no qual o voltímetro e o amperímetro são ideais.

O voltímetro indica $20\,\mathrm V$. Calcule a indicação do amperímetro.

a) $10\,\mathrm A$. b) $4{,}0\,\mathrm A$.

Resolução comentada

No gráfico tensão versus corrente, a inclinação fornece a resistência. Para $U=12\,\mathrm V$, leem-se $i_1=6\,\mathrm A$ e $i_2=4\,\mathrm A$, portanto $R_1=2\,\Omega$ e $R_2=3\,\Omega$.

a) Em paralelo, os dois resistores recebem $12\,\mathrm V$. O amperímetro mede a soma das correntes: $i=6+4=10\,\mathrm A$.

b) Em série, a resistência equivalente vale $R_1+R_2=5\,\Omega$. Sob $20\,\mathrm V$, a corrente comum é $i=20/5=4{,}0\,\mathrm A$. Os medidores ideais não modificam o circuito.

Resposta: a) $10\,\mathrm A$. b) $4{,}0\,\mathrm A$.

Óptica — Princípios da óptica — Formação de imagem em câmara escura

No mundo artístico as antigas "câmaras escuras" voltaram à moda. Uma câmara escura é uma caixa fechada de paredes opacas que possui um orifício em uma de suas faces. Na face oposta à do orifício fica preso um filme fotográfico, onde se formam as imagens dos objetos localizados no exterior da caixa, como mostra a figura.

Suponha que um objeto de $3\,\mathrm m$ de altura esteja a uma distância de $5\,\mathrm m$ do orifício, e que a distância entre as faces seja de $6\,\mathrm{cm}$.

Imagem de $3{,}6\,\mathrm{cm}$ de altura, invertida.

Resolução comentada

Os raios que atravessam o pequeno orifício formam triângulos semelhantes. Em módulo, a razão entre as alturas é a razão entre a profundidade da câmara e a distância do objeto.

$h_i/3=0{,}06/5$, com todas as medidas em metros. Portanto, $h_i=0{,}036\,\mathrm m=3{,}6\,\mathrm{cm}$. O cruzamento dos raios no orifício inverte a imagem.

Resposta: Imagem de $3{,}6\,\mathrm{cm}$ de altura, invertida.

Ondas — Acústica — Ultrassom

Um aparelho de ultra-som para uso em medicina, deve produzir imagens de objetos de diâmetros maiores do que $d$.

Para tanto, o comprimento de onda l do som deve obedecer à desigualdade

( l / $d$ ) =< 10 ^-1 .

Sabendo que $d$ = $1\,\mathrm{mm}$ e considerando que a velocidade do som no meio em questão seja $v$ = 1.$000\,\mathrm{m/s}$, calcule a freqüência mínima da onda que deve ser utilizada no aparelho.

$f_{\min}=1{,}0\times10^7\,\mathrm{Hz}=10\,\mathrm{MHz}$.

Resolução comentada

A condição de resolução é $\lambda/d\leq0{,}1$. Para $d=1\,\mathrm{mm}=10^{-3}\,\mathrm m$, o maior comprimento de onda permitido é $\lambda_{\max}=10^{-4}\,\mathrm m$.

Como $v=\lambda f$, a menor frequência ocorre para o maior comprimento de onda: $f_{\min}=1000/10^{-4}=10^7\,\mathrm{Hz}=10\,\mathrm{MHz}$.

Resposta: $f_{\min}=1{,}0\times10^7\,\mathrm{Hz}=10\,\mathrm{MHz}$.

UFRJ | 1997 · 1º dia

Dados da prova