Provas Anteriores | UFRJ 2006 — Prova 2

Mecânica — Cinemática — Tempo de viagem

Um estudante a caminho da UFRJ trafega $8{,}0\,\mathrm{km}$ na Linha Vermelha a $80\,\mathrm{km/h}$ ($10\,\mathrm{km/h}$ a menos que o limite permitido nessa via). Se ele fosse insensato e trafegasse a $100\,\mathrm{km/h}$, calcule quantos minutos economizaria nesse mesmo percurso.

$1{,}2\,\mathrm{min}$.

Resolução comentada

Para 8,0 km a 80 km/h, $t_1=8/80=0{,}10\,\mathrm h=6{,}0\,\mathrm{min}$. A 100 km/h, $t_2=8/100=0{,}080\,\mathrm h=4{,}8\,\mathrm{min}$.

A economia seria $\Delta t=6{,}0-4{,}8=1{,}2\,\mathrm{min}$, ou 72 s. A comparação deve ser feita pelos tempos para a mesma distância.

Resposta: $1{,}2\,\mathrm{min}$.

Eletricidade — Eletrodinâmica — Resistência interna

Uma bateria comercial de $1{,}5\,\mathrm V$ é utilizada no circuito esquematizado abaixo, no qual o amperímetro e o voltímetro são considerados ideais. Varia-se a resistência $R$, e as correspondentes indicações do amperímetro e do voltímetro são usadas para construir o seguinte gráfico de voltagem (V) versus intensidade de corrente (I).

Usando as informações do gráfico, calcule:

UFRJ 2006-2, questão 2: figura 1 do caderno

UFRJ 2006-2, questão 2: figura 2 do caderno

a) o valor da resistência interna da bateria;

b) a indicação do amperímetro quando a resistência $R$ tem o valor $1{,}7\,\Omega$.

a) $r=0{,}30\,\Omega$. b) $I=0{,}75\,\mathrm A$.

Resolução comentada

A tensão terminal de uma bateria é $U=\varepsilon-rI$. O gráfico indica $\varepsilon=1{,}5\,\mathrm V$ sem corrente e $U=1{,}2\,\mathrm V$ para $I=1{,}0\,\mathrm A$. Logo, $r=(1{,}5-1{,}2)/1{,}0=0{,}30\,\Omega$.

Com resistência externa de 1,7 Ω, a corrente é $I=\varepsilon/(R+r)=1{,}5/(1{,}7+0{,}3)=0{,}75\,\mathrm A$. A tensão de 1,5 V não fica integralmente disponível no resistor quando há corrente.

Resposta: a) $r=0{,}30\,\Omega$. b) $I=0{,}75\,\mathrm A$.

Mecânica — Dinâmica — Componentes da tensão e aceleração centrípeta

Uma caixa é pendurada no teto de um ônibus por meio de fios ideais presos a um dinamômetro de massa desprezível. A figura mostra esses objetos em equilíbrio em relação ao ônibus, enquanto ele está percorrendo um trecho circular de uma estrada horizontal, com velocidade de $72\,\mathrm{km/h}$. Nessa situação, o dinamômetro mostra que a tensão no fio é $65\,\mathrm N$.

Sabendo que a massa da caixa é $6{,}0\,\mathrm{kg}$, calcule o raio da curva da estrada.

UFRJ 2006-2, questão 3: figura 1 do caderno

$R=96\,\mathrm m$.

Resolução comentada

A tensão tem componente vertical igual ao peso: $T_y=mg=6\cdot10=60\,\mathrm N$. Como seu módulo é 65 N, a componente horizontal centrípeta vale $T_x=\sqrt{65^2-60^2}=25\,\mathrm N$.

A velocidade é $72\,\mathrm{km/h}=20\,\mathrm{m/s}$. De $T_x=mv^2/R$, resulta $R=6\cdot20^2/25=96\,\mathrm m$. A caixa está parada em relação ao ônibus, mas tem aceleração centrípeta em relação à estrada.

Resposta: $R=96\,\mathrm m$.

Óptica — Refração — Refração em faces paralelas

Uma lâmina homogênea de faces paralelas é constituída de um material com índice de refração $n_2$ = 1,5. De um lado da lâmina, há um meio homogêneo de índice de refração $n_1$ = 2,0; do outro lado, há ar, cujo índice de refração $n_3$ consideramos igual a 1,0. Um raio luminoso proveniente do primeiro meio incide sobre a lâmina com ângulo de incidência $\theta_1$, como indica a figura.

UFRJ 2006-2, questão 4: figura 1 do caderno

Calcule o valor de $\theta_1$ a partir do qual o raio que atravessa a lâmina sofre reflexão total na interface com o ar.

$\theta_{1,\rm limite}=30^\circ$; reflexão total para $\theta_1>30^\circ$.

Resolução comentada

Como as faces são paralelas, a lei de Snell dá $n_1\sin\theta_1=n_2\sin\theta_2$. Na interface final, o limite ocorre quando o raio refratado no ar é rasante: $n_2\sin\theta_2=n_3$.

Combinando, $n_1\sin\theta_{1,\rm limite}=n_3$, portanto $\sin\theta_{1,\rm limite}=1/2$ e $\theta_{1,\rm limite}=30^\circ$. Para ângulos maiores que esse limite, os raios que entram na lâmina sofrem reflexão total na interface com o ar.

Resposta: $\theta_{1,\rm limite}=30^\circ$; reflexão total para $\theta_1>30^\circ$.

Termologia — Calorimetria — Calorimetria com retirada de corpo

Em um calorímetro ideal, há $98\,\mathrm g$ de água à temperatura de $0\,{}^\circ\mathrm C$. Dois cubinhos metálicos são introduzidos no calorímetro. Um deles tem massa $8{,}0\,\mathrm g$, calor específico $0{,}25\,\mathrm{cal/(g\cdot{}^\circ C)}$ e está à temperatura de $400\,{}^\circ\mathrm C$. O outro tem $10\,\mathrm g$ de massa, calor específico $0{,}20\,\mathrm{cal/(g\cdot{}^\circ C)}$ e está à temperatura de $100\,{}^\circ\mathrm C$. Posteriormente, esse último cubinho é retirado do calorímetro e verifica-se, nesse instante, que sua temperatura é $50\,{}^\circ\mathrm C$.

Calcule a temperatura final de equilíbrio da água e do cubinho que permanece no calorímetro.

$T_f=9{,}0\,{}^\circ\mathrm C$.

Resolução comentada

O cubo retirado tem capacidade térmica $10\cdot0{,}20=2\,\mathrm{cal/{}^\circ C}$ e, ao passar de 100 °C a 50 °C, cedeu $Q=2(100-50)=100\,\mathrm{cal}$ ao restante do sistema.

No equilíbrio final da água e do cubo que ficou, a conservação da energia fornece $98T_f=8\cdot0{,}25(400-T_f)+100$. Assim, $98T_f=800-2T_f+100$, $100T_f=900$ e $T_f=9{,}0\,{}^\circ\mathrm C$. O cubo retirado não deve ser considerado à temperatura final.

Resposta: $T_f=9{,}0\,{}^\circ\mathrm C$.

Mecânica — Hidrostática — Empuxo e balança

Um recipiente contendo água se encontra em equilíbrio sobre uma balança, como indica a figura 1. Uma pessoa põe uma de suas mãos dentro do recipiente, afundando-a inteiramente até o início do punho, como ilustra a figura 2. Com a mão mantida em repouso, e após restabelecido o equilíbrio hidrostático, verifica-se que a medida da balança sofreu um acréscimo de $4{,}5\,\mathrm N$ em relação à medida anterior.

Sabendo que a densidade da água é $1\,\mathrm{g/cm^3}$, calcule o volume da mão em cm3.

UFRJ 2006-2, questão 6: figura 1 do caderno

$V=450\,\mathrm{cm^3}$.

Resolução comentada

A água exerce empuxo para cima na mão. Pela terceira lei, a mão exerce força de mesmo módulo para baixo na água, aumentando a indicação da balança em 4,5 N.

Logo, $E=\rho gV=4{,}5\,\mathrm N$. Com $\rho=1000\,\mathrm{kg/m^3}$ e $g=10\,\mathrm{m/s^2}$, $V=4{,}5/10000=4{,}5\times10^{-4}\,\mathrm{m^3}=450\,\mathrm{cm^3}$.

Resposta: $V=450\,\mathrm{cm^3}$.

Mecânica — Dinâmica — Componentes das forças e trabalho em plano inclinado

Um plano está inclinado, em relação à horizontal, de um ângulo $\theta$ cujo seno é igual a $0{,}6$ (o ângulo é menor do que $45^\circ$). Um bloco de massa $m$ sobe nesse plano inclinado sob a ação de uma força horizontal $\vec F$, de módulo exatamente igual ao módulo de seu peso, como indica a figura a seguir.

UFRJ 2006-2, questão 7: figura 1 do caderno

a) Supondo que não haja atrito entre o bloco e o plano inclinado, calcule o módulo da aceleração do bloco.

b) Calcule a razão entre o trabalho $W_F$ da força $\vec F$ e o trabalho $W_P$ do peso do bloco, ambos em um deslocamento no qual o bloco percorre uma distância $d$ ao longo da rampa.

a) $a=0{,}20g$. b) $W_F/W_P=-4/3$.

Resolução comentada

Como $\sin\theta=0{,}6$, temos $\cos\theta=0{,}8$. Projetando ao longo da rampa, $ma=F\cos\theta-mg\sin\theta=mg(0{,}8-0{,}6)$. Assim, $a=0{,}20g$, para cima da rampa.

Para um deslocamento d ao longo da rampa, $W_F=Fd\cos\theta=0{,}8mgd$ e $W_P=-mgd\sin\theta=-0{,}6mgd$. Portanto, $W_F/W_P=-4/3$. O sinal negativo decorre de o peso realizar trabalho contrário ao deslocamento.

Resposta: a) $a=0{,}20g$. b) $W_F/W_P=-4/3$.

Eletricidade — Eletrostática — Campo elétrico e superposição em dipolo

Duas cargas, $q$ e $-q$, são mantidas fixas a uma distância $d$ uma da outra. Uma terceira carga $q_0$ é colocada no ponto médio entre as duas primeiras, como ilustra a figura A. Nessa situação, o módulo da força eletrostática resultante sobre a carga $q_0$ vale $F_A$.

A carga $q_0$ é então afastada dessa posição ao longo da mediatriz entre as duas outras até atingir o ponto $P$, onde é fixada, como ilustra a figura B. Agora, as três cargas estão nos vértices de um triângulo equilátero.

Nessa situação, o módulo da força eletrostática resultante sobre a carga $q_0$ vale $F_B$. Calcule a razão $F_A/F_B$.

UFRJ 2006-2, questão 8: figura 1 do caderno

UFRJ 2006-2, questão 8: figura 2 do caderno

$F_A/F_B=8$.

Resolução comentada

No ponto médio, cada carga está à distância $d/2$. As duas forças sobre $q_0$ têm o mesmo sentido horizontal, dando $F_A=2k|qq_0|/(d/2)^2=8k|qq_0|/d^2$.

No vértice do triângulo equilátero, cada força tem módulo $k|qq_0|/d^2$. Suas componentes verticais se cancelam e as horizontais se somam: $F_B=2(k|qq_0|/d^2)\cos60^\circ=k|qq_0|/d^2$. Logo, $F_A/F_B=8$.

Resposta: $F_A/F_B=8$.

UFRJ | 2006 · Prova 2

Dados da prova