Uma pessoa produz oscilações periódicas em uma longa corda formada por duas porções de materiais diferentes 1 e 2, nos quais a velocidade de propagação das ondas é, respectivamente, de 5 m/s e 4 m/s. Segurando a extremidade feita do material 1, a pessoa abaixa e levanta sua mão regularmente, completando um ciclo a cada 0,5 s, de modo que as ondas propagam‐se do material 1 para o material 2, conforme mostrado na figura. Despreze eventuais efeitos de reflexão das ondas.
a) Circule, dentre os vetores na folha de respostas, aquele que melhor representa a velocidade do ponto P da corda no instante mostrado na figura.
Vetores da folha de respostas original — item a.
b) Calcule a frequência e o comprimento de onda no material 1.
c) Calcule a frequência e o comprimento de onda no material 2.
a) A onda se propaga para a direita e P está em um trecho com inclinação positiva. Como o perfil inteiro se desloca para a direita, instantes depois chega a P a parte da corda que estava um pouco à esquerda, em uma posição vertical mais baixa. Portanto, P se move verticalmente para baixo.
b) O período é $T=0{,}5\text{s}$, logo $f=1/T=2\text{Hz}$. No material 1, $\lambda_1=v_1/f=5/2=2{,}5\text{m}$.
c) Ao atravessar a interface, a frequência permanece $2\text{Hz}$. Assim, $\lambda_2=v_2/f=4/2=2{,}0\text{m}$.
Um mol de um gás ideal monoatômico é resfriado adiabaticamente de uma temperatura inicial $T_1$ até uma temperatura final $T_1/3$. Com base nessas informações, responda:
a) O gás sofreu expansão ou compressão ao final do processo? Justifique sua resposta.
b) Encontre o valor do trabalho realizado pelo gás nesse processo em termos da constante universal dos gases ideais $R$ e de $T_1$.
c) Encontre a razão entre as pressões final e inicial do gás após o processo.
Energia interna por mol de um gás ideal monoatômico: $U=3RT/2$.
Para o processo adiabático em questão, vale a relação $PV^{5/3}=\text{constante}$.
a) O gás sofreu expansão. Sem troca de calor, a diminuição da energia interna ocorre porque o gás realiza trabalho sobre o ambiente.
b) $\Delta U=\dfrac{3R}{2}(T_2-T_1)=\dfrac{3R}{2}(T_1/3-T_1)=-RT_1$. Pela primeira lei, $\Delta U=Q-W$; como $Q=0$, $W=RT_1$.
c) Da relação fornecida $PV^{5/3}=\text{constante}$ e de $PV=RT$, resulta $PV^{5/3}=RTV^{2/3}$. Portanto, $TV^{2/3}$ é constante. Logo, $V_2/V_1=(T_1/T_2)^{3/2}=3\sqrt3$. Usando $PV=RT$, $\dfrac{P_2}{P_1}=\dfrac{T_2}{T_1}\dfrac{V_1}{V_2}=\dfrac{1}{9\sqrt3}$.
A tomografia por emissão de pósitrons (PET) é uma técnica de imagem por contraste na qual se utilizam marcadores com radionuclídeos emissores de pósitrons. O radionuclídeo mais utilizado em PET é o isótopo 18 do flúor, que decai para um núcleo de oxigênio‐18, emitindo um pósitron. O número de isótopos de flúor‐18 decai de forma exponencial, com um tempo de meia-vida de aproximadamente 110 minutos. A imagem obtida pela técnica de PET é decorrente da detecção de dois fótons emitidos em sentidos opostos devido à aniquilação, por um elétron, do pósitron resultante do decaimento. A detecção é feita por um conjunto de detectores montados num arranjo radial. Ao colidir com um dos detectores, o fóton gera cargas no material do detector, as quais, por sua vez, resultam em um sinal elétrico registrado no computador do equipamento de tomografia. A intensidade do sinal é proporcional ao número de núcleos de flúor‐18 existentes no início do processo.
a) Após a realização de uma imagem PET, o médico percebeu um problema no funcionamento do equipamento e o reparo durou 3h40min. Calcule a razão entre a intensidade do sinal da imagem obtida após o reparo do equipamento e a da primeira imagem.
b) Calcule a energia de cada fóton gerado pelo processo de aniquilação elétron‐pósitron considerando que o pósitron e o elétron estejam praticamente em repouso. Esta é a energia mínima possível para esse fóton.
c) A carga elétrica gerada dentro do material do detector pela absorção do fóton é proporcional à energia desse fóton. Sabendo‐se que é necessária a energia de 3 eV para gerar o equivalente à carga de um elétron no material, estime a carga total gerada quando um fóton de energia 600 keV incide no detector.
Relação de Einstein para a energia de repouso de uma partícula: $E=mc^2$.
Carga do elétron $=1{,}6\times10^{-19}\text{C}$.
Massa do elétron: $m=9\times10^{-31}\text{kg}$.
Velocidade da luz: $c=3\times10^8\text{m/s}$.
$1\text{eV}=1{,}6\times10^{-19}\text{J}$.
“Tempo de meia-vida”: tempo necessário para que o número de núcleos radioativos caia para metade do valor inicial.
a) $3\text{h}40\text{min}=220\text{min}$, correspondentes a duas meias-vidas. Portanto, $I_2/I_1=(1/2)^2=1/4$.
b) A energia total de repouso do par é $2mc^2$ e é dividida entre dois fótons; cada um recebe $E_\gamma=mc^2=9\times10^{-31}(3\times10^8)^2=8{,}1\times10^{-14}\text{J}$, cerca de $5{,}1\times10^5\text{eV}=510\text{keV}$.
c) O resultado é o módulo da carga coletada no detector. O número de cargas elementares geradas é $n=600000/3=2\times10^5$. Logo, $Q=ne=2\times10^5\times1{,}6\times10^{-19}=3{,}2\times10^{-14}\text{C}$.
Em um ambiente do qual se retirou praticamente todo o ar, as placas de um capacitor estão arranjadas paralelamente e carregadas com cargas de mesma magnitude $Q$ e sinais contrários, produzindo, na região entre as placas, um campo elétrico que pode ser considerado uniforme, com módulo igual a $10^6\text{V/m}$. Uma partícula carregada negativamente, com carga de módulo igual a $10^{-9}\text{C}$, é lançada com velocidade de módulo $V_0$ igual a $100\text{m/s}$ ao longo da linha que passa exatamente pelo centro da região entre as placas, como mostrado na figura. A distância $d$ entre as placas é igual a $1\text{mm}$. Despreze os efeitos gravitacionais.
a) Aponte, entre as trajetórias 1 e 2 mostradas na figura, aquela que mais se aproxima do movimento da partícula na região entre as placas.
b) Sabendo que a massa da partícula é igual a $10\mu\text{g}$, determine a que distância horizontal x a partícula atingirá uma das placas, supondo que elas sejam suficientemente longas.
c) Quais seriam o sentido e o módulo de um eventual campo magnético a ser aplicado na região entre as placas, perpendicularmente ao plano da página, para que a partícula, em vez de seguir uma trajetória curva, permaneça movendo-se na mesma direção e no mesmo sentido com que foi lançada?
a) O campo elétrico aponta da placa positiva para a negativa, isto é, para baixo. Como a carga é negativa, a força elétrica aponta para cima: trajetória 1.
b) $F=|q|E=10^{-3}\text{N}$ e $m=10\mu\text{g}=10^{-8}\text{kg}$, então $a=10^5\text{m/s}^2$. Para percorrer verticalmente $d/2=5\times10^{-4}\text{m}$, $t=\sqrt{2(d/2)/a}=10^{-4}\text{s}$. Assim, $x=V_0t=100\times10^{-4}=1{,}0\times10^{-2}\text{m}=1\text{cm}$.
c) A força magnética deve apontar para baixo. Para uma carga negativa movendo-se para a direita, isso exige campo magnético entrando no plano da página. De $|q|vB=|q|E$, $B=E/v=10^6/100=10^4\text{T}$.
Em janeiro de 2019, a sonda chinesa Chang'e 4 fez o primeiro pouso suave de um objeto terrestre no lado oculto da Lua, reavivando a discussão internacional sobre programas de exploração lunar. Considere que a trajetória de uma sonda com destino à Lua passa por um ponto $P$, localizado a $\frac23d_{TL}$ do centro da Terra e a $\frac13d_{TL}$ do centro da Lua, sendo $d_{TL}$ a distância entre os centros da Terra e da Lua.
a) Considerando que a massa da Terra é cerca de 82 vezes maior que a massa da Lua, determine a razão $F_T/F_L$ entre os módulos da força gravitacional que a Terra e a Lua, respectivamente, exercem sobre a sonda no ponto P.
Ao chegar próximo à Lua, a sonda foi colocada em uma órbita lunar circular a uma altura igual ao raio da Lua ($R_L$), acima de sua superfície, como mostra a figura. Desprezando os efeitos da força gravitacional da Terra e de outros corpos celestes ao longo da órbita da sonda,
b) determine a velocidade orbital da sonda em torno da Lua em termos da constante gravitacional $G$, da massa da Lua $M_L$ e do raio da Lua $R_L$;
c) determine a variação da energia mecânica da nave quando a altura da órbita, em relação à superfície da Lua, é reduzida para $0{,}5R_L$. Expresse seu resultado em termos de $G$, $R_L$, $M_L$ e da massa da sonda $m_S$.
A energia potencial gravitacional correspondente é dada por $U=-GMm/d$.
Assuma a distância da Terra à Lua como sendo constante.
a) $\dfrac{F_T}{F_L}=\dfrac{M_T}{M_L}\dfrac{(d_{TL}/3)^2}{(2d_{TL}/3)^2}=\dfrac{82}{4}=20{,}5$.
b) O raio orbital inicial é $r=2R_L$. Da igualdade entre força gravitacional e centrípeta, $v=\sqrt{GM_L/r}=\sqrt{\dfrac{GM_L}{2R_L}}$.
c) Para órbita circular, $mv^2/r=GM_Lm/r^2$, de modo que $K=GM_Lm_S/(2r)$. Somando a energia potencial $U=-GM_Lm_S/r$, $E=-GM_Lm_S/(2r)$. Com $r_i=2R_L$ e $r_f=1{,}5R_L$, $\Delta E=E_f-E_i=-\dfrac{GM_Lm_S}{3R_L}+\dfrac{GM_Lm_S}{4R_L}=-\dfrac{GM_Lm_S}{12R_L}$.
Uma equilibrista de massa M desloca‐se sobre uma tábua uniforme de comprimento L e massa m apoiada (sem fixação) sobre duas colunas separadas por uma distância D (D<L) de modo que o centro da tábua esteja equidistante das colunas. O ponto de apoio da equilibrista está a uma distância d (tal que D/2<d<L/2) do centro da tábua, como mostra a figura.
a) Considerando que a tábua está em equilíbrio, faça um diagrama indicando todas as forças que atuam sobre a tábua e seus respectivos pontos de aplicação.
b) Calcule o torque resultante exercido pelos pesos da equilibrista e da tábua em relação ao ponto A (ponto de apoio da tábua na coluna mais próxima da equilibrista). Escreva sua resposta em termos de grandezas mencionadas no enunciado ($M$, $L$, $m$, $D$, $d$) e da aceleração da gravidade $g$.
c) Calcule a distância máxima $d_{\text{máx}}$ da equilibrista ao centro da tábua para que o conjunto permaneça em equilíbrio estático. Considere os seguintes dados: comprimento da tábua: L = 5 m; massa da tábua: m = 20 kg, massa da equilibrista: M = 60 kg, distância entre as colunas: D = 3 m.
Use $g=10\text{m/s}^2$.
a) Atuam sobre a tábua: seu peso $mg$ no centro; a força $Mg$ exercida pela equilibrista em seu ponto de apoio; e as reações normais das duas colunas nos respectivos pontos de contato.
Diagrama elaborado para a resolução TEF. A força Mg é exercida pela equilibrista sobre a tábua; as normais atuam nos contatos com as colunas.
b) Em relação a A, o peso da tábua tem braço $D/2$ e torque anti-horário; o peso da equilibrista tem braço $d-D/2$ e torque horário. Tomando anti-horário como positivo, $\tau_R=mg\dfrac D2-Mg\left(d-\dfrac D2\right)=\dfrac g2[mD+MD-2Md]$.
c) No limite de tombamento, a reação da coluna mais distante é nula e $\tau_R=0$. As colunas apenas empurram a tábua para cima, pois não há fixação. Para o equilíbrio, a normal do apoio distante deve ser não negativa. Logo, $d_{\max}=\dfrac{D(M+m)}{2M}=\dfrac{3(60+20)}{2\times60}=2{,}0\text{m}$. Como $L/2=2{,}5\text{m}$, o limite de tombamento é atingido antes da extremidade da tábua.