Usinas hidrelétricas convertem energia mecânica em energia elétrica, que depois é transportada por linhas de transmissão até residências, indústrias etc.
a) A potência aproximada da usina hidrelétrica de Itaipu, a maior do Brasil, é de 15 GW. A potência dissipada por um aparelho de TV em modo de espera (stand by) é de cerca de 6 W. Supondo que, em média, cada um dos cerca de 75 milhões de domicílios brasileiros tenha 1 aparelho de TV em modo de espera, que percentagem da potência de Itaipu é consumida apenas para manter TVs brasileiras nesse modo?
b) Uma versão simples de usina hidrelétrica utiliza a queda livre da água para girar uma turbina. Supondo que a água inicie, praticamente do repouso, uma queda de 20 m até a turbina, com que velocidade a água atinge a turbina?
c) O impulso da água faz girar a turbina, que por sua vez aciona um gerador. A presença de um campo magnético no gerador em movimento leva ao surgimento de uma força eletromotriz que varia no tempo. Após o transporte da eletricidade até uma residência, o gráfico da força eletromotriz tem o aspecto mostrado na figura a seguir.
Gráfico da força eletromotriz (fem) em função do tempo, conforme a prova.
Se conectarmos à tomada da residência um ferro de passar com um resistor ôhmico de 40 Ω, qual será a máxima corrente elétrica que percorrerá o resistor do ferro durante sua operação?
a) Potência total consumida pelas TVs em stand by: $P_{TV}=6\text{W}\times75\times10^6=4{,}5\times10^8\text{W}$. A percentagem em relação a Itaipu ($15\text{GW}=1{,}5\times10^{10}\text{W}$) é $\dfrac{4{,}5\times10^8}{1{,}5\times10^{10}}=0{,}03=3\%$.
b) Queda livre a partir do repouso, $h=20\text{m}$: $v=\sqrt{2gh}=\sqrt{2\times10\times20}=\sqrt{400}=20\text{m/s}$.
c) Pelo gráfico, a amplitude (valor máximo) da fem é $180\text{V}$. Como o resistor é ôhmico, a corrente máxima ocorre junto com a tensão máxima: $I_{máx}=\dfrac{V_{máx}}{R}=\dfrac{180}{40}=4{,}5\text{A}$.
O telescópio espacial James Webb lançado em 2021 é, em muitos sentidos, um aprimoramento do antigo telescópico Hubble. Uma das diferenças mais notáveis está nas dimensões e nas propriedades ópticas dos espelhos principais destes dois telescópios. Por exemplo: enquanto o espelho principal do Hubble tem uma distância focal de aproximadamente 58 m, a distância focal do espelho principal do James Webb é de aproximadamente o dobro (131 metros). Tratando de maneira aproximada o funcionamento destes telescópios, consideraremos aqui a reflexão por somente um espelho esférico.
Suponha um sistema binário de estrelas separadas por uma distância $H$, e localizado a uma distância $D$ do espelho do telescópio que as observa, conforme mostra a figura. A distância entre o foco do espelho (ponto $F$) e o vértice do espelho (ponto $V$) é a chamada distância focal do espelho ($d_f$).
Esquema do espelho esférico côncavo do telescópio observando o sistema binário A–B, conforme a prova.
a) Dois raios luminosos (“raio 1” e “raio 2”) partindo da estrela A atingem o espelho. O “raio 1” é paralelo ao eixo do espelho, enquanto o “raio 2” passa pelo ponto $F$. Na figura da folha de respostas, trace os raios refletidos pelo espelho.
b) Considere que o sistema está sendo observado pelo telescópio Hubble, para o qual $d_f=d$. Calcule a razão $A=\dfrac{H_I}{H}$ onde $H_I$ é a distância entre as imagens das estrelas formadas pelo espelho. Essa razão é também chamada de "aumento" do espelho, embora esta razão possa ser menor do que 1. Expresse sua resposta em termos de $D$ e $d$.
c) Considere agora que o sistema esteja sendo observado pelo telescópio James Webb, para o qual $d_f=2d$. Calcule a razão entre os aumentos dos dois espelhos. Expresse sua resposta em termos de $D$ e $d$.
Para espelhos esféricos, o inverso da distância focal é igual à soma do inverso da distância do objeto com o inverso da distância em que a imagem se forma (todas em relação ao centro do espelho).
a) O raio 1 reflete passando pelo foco $F$; o raio 2 reflete paralelamente ao eixo principal. O encontro dos raios refletidos determina a imagem da estrela A.
b) Pela equação dos espelhos, $\dfrac{1}{d}=\dfrac{1}{D}+\dfrac{1}{i_H}$, logo $i_H=\dfrac{dD}{D-d}$. A razão entre as separações das imagens e das estrelas é positiva: $A_H=\dfrac{H_I}{H}=\dfrac{i_H}{D}=\dfrac{d}{D-d}$.
c) Para o James Webb, $\dfrac{1}{2d}=\dfrac{1}{D}+\dfrac{1}{i_{JW}}$, portanto $i_{JW}=\dfrac{2dD}{D-2d}$ e $A_{JW}=\dfrac{2d}{D-2d}$. Assim, $\dfrac{A_{JW}}{A_H}=\dfrac{2d}{D-2d}\dfrac{D-d}{d}=\dfrac{2(D-d)}{D-2d}$.
No limite $D\gg d$, essa razão tende a 2. Esse limite não substitui a expressão completa solicitada em termos de $D$ e $d$.
Considere um mergulhador em um lago de águas calmas.
a) Esse mergulhador possui massa de 75 kg e volume corporal de 70 L. Para um mergulho, ele acopla a si um cilindro de ar de 15 kg e volume de 10 L. Estando completamente imersos na água (mergulhador e cilindro), o mergulhador para de nadar. Ele afundará ou subirá até a superfície? Justifique a sua resposta.
b) Durante um mergulho, o mergulhador consulta seu manômetro de pulso e verifica que a pressão absoluta local é de 2,0 atm. A que profundidade o mergulhador está?
c) Finalmente, considere que o mergulhador está no fundo do lago, onde a temperatura da água é de 7°C e a pressão é de 2,8 atm. Ele produz uma bolha de ar de volume $V_1$, que sobe em direção à superfície. Quando a bolha houver subido até a iminência de atingir a superfície, onde a temperatura da água é 27°C, seu volume será $V_0$. Determine a razão $V_0/V_1$.
Adote como aceleração da gravidade o valor $10\text{m/s}^2$ e como densidade da água o valor $1{,}0\times10^3\text{kg/m}^3$ e utilize $1{,}0\text{atm}=1{,}0\times10^5\text{Pa}$.
Trate o ar na bolha como um gás ideal e suponha que não escape ar da bolha durante a subida.
a) Massa total: $75+15=90\text{kg}$. Volume total: $70+10=80\text{L}$. Densidade média do conjunto: $\dfrac{90}{80}=1{,}125\text{kg/L}$, maior do que a densidade da água ($1{,}0\text{kg/L}$). Como o conjunto é mais denso do que a água, o empuxo não equilibra o peso, e o mergulhador afundará.
b) $P_{abs}=P_{atm}+\rho g h \Rightarrow 2{,}0\times10^5=1{,}0\times10^5+1000\times10\times h \Rightarrow h=\dfrac{1{,}0\times10^5}{10^4}=10\text{m}$.
c) Pela equação geral dos gases ideais (mesma quantidade de ar na bolha, $n$ constante): $\dfrac{P_1V_1}{T_1}=\dfrac{P_0V_0}{T_0} \Rightarrow \dfrac{V_0}{V_1}=\dfrac{P_1}{P_0}\cdot\dfrac{T_0}{T_1}$. Com $P_1=2{,}8\text{atm}$, $P_0\approx1{,}0\text{atm}$ (próximo à superfície), $T_1=280\text{K}$ e $T_0=300\text{K}$: $\dfrac{V_0}{V_1}=\dfrac{2{,}8}{1{,}0}\times\dfrac{300}{280}=2{,}8\times\dfrac{15}{14}=3{,}0$.
Um circuito é formado por dois resistores em paralelo imersos no vácuo, separados por uma distância $d$ ligados a uma bateria de força eletromotriz $V$. Cada resistor é formado por um fio muito longo, de mesmo comprimento e área de seção transversal, mas com resistividades elétricas $\rho_1$ e $\rho_2$ diferentes entre si, conforme ilustrado na figura.
Esquema dos dois resistores em paralelo (fios 1 e 2), separados por $d$, com o ponto $C$ equidistante entre eles.
a) Sendo $P_1$ e $P_2$ as potências dissipadas nos resistores 1 e 2, respectivamente, calcule a razão $P_1/P_2$. Expresse sua resposta em termos de $\rho_1$ e $\rho_2$.
b) Considerando que a corrente total no circuito seja $I$, obtenha, em função de $I$, $\rho_1$ e $\rho_2$, o valor das correntes $I_1$ e $I_2$ que atravessam os resistores 1 e 2, respectivamente.
c) Obtenha a expressão para o módulo do campo magnético no ponto $C$, mostrado na figura, equidistante dos dois resistores, considerando $I_1=I_2/4$. Expresse sua resposta somente em termos de $d$, $\mu_0$ (constante de permeabilidade magnética do vácuo) e da corrente total $I$.
a) Como os resistores estão em paralelo, ambos têm a mesma ddp $V$ em seus terminais. A resistência de cada fio é $R=\rho L/A$ (mesmos $L$ e $A$ para os dois). A potência dissipada é $P=V^2/R$, logo $\dfrac{P_1}{P_2}=\dfrac{R_2}{R_1}=\dfrac{\rho_2}{\rho_1}$.
b) Como $V_1=V_2$ (paralelo): $I_1R_1=I_2R_2 \Rightarrow I_1\rho_1=I_2\rho_2$. Com $I_1+I_2=I$: $I_1=\dfrac{I\rho_2}{\rho_1+\rho_2}$ e $I_2=\dfrac{I\rho_1}{\rho_1+\rho_2}$.
c) Com $I_1=I_2/4$ e $I_1+I_2=I$: $I_2=\dfrac{4I}{5}$ e $I_1=\dfrac{I}{5}$. Os dois fios conduzem corrente no mesmo sentido; pela regra da mão direita, os campos que cada fio cria no ponto $C$ (equidistante, a $d/2$ de cada fio) apontam em sentidos opostos. O campo resultante é a diferença entre os módulos: $B_C=\dfrac{\mu_0 I_2}{2\pi(d/2)}-\dfrac{\mu_0 I_1}{2\pi(d/2)}=\dfrac{\mu_0(I_2-I_1)}{\pi d}=\dfrac{\mu_0\left(\frac{4I}{5}-\frac{I}{5}\right)}{\pi d}=\dfrac{3\mu_0I}{5\pi d}$.
O efeito Doppler é caracterizado pela detecção de uma frequência diferente daquela emitida pela fonte, devido ao movimento relativo entre fonte e observador. Ele possui diversas aplicações, seja na medicina, astronomia ou ainda em sonares de velocidade, nos quais a velocidade de um objeto é medida comparando-se a frequência sonora emitida com aquela que é detectada.
Considere um sonar de velocidade que envia ondas sonoras de 0,10 MHz em direção a um veículo que se aproxima com velocidade desconhecida.
a) Calcule o comprimento de onda emitido pelo sonar.
b) Suponha que exista um detector de ondas sonoras no carro. Calcule a frequência detectada por este detector considerando que o carro se aproxima do sonar com velocidade de 30 m/s.
c) Encontre a velocidade do veículo sabendo que o sonar detecta uma frequência de 0,15 MHz refletida de volta, do carro para o sonar.
No efeito Doppler, a frequência $f_d$ detectada pelo observador e a frequência $f_e$ emitida pela fonte se relacionam de acordo com a expressão: $\dfrac{f_d}{v_s\pm v_d}=\dfrac{f_e}{v_s\pm v_e}$, onde $v_s$ é a velocidade do som, $v_d$ é a velocidade do observador e $v_e$ é a velocidade da fonte de emissão. Os sinais "+" e "−" são escolhidos de acordo com o movimento relativo entre fonte e observador.
a) $\lambda=\dfrac{v_s}{f_e}=\dfrac{300}{0{,}10\times10^6}=3\times10^{-3}\text{m}=3\text{mm}$.
b) O carro (observador) se aproxima da fonte parada (sonar): $f_d=f_e\cdot\dfrac{v_s+v_d}{v_s}=0{,}10\times\dfrac{300+30}{300}=0{,}10\times1{,}1=0{,}11\text{MHz}$.
c) Agora o carro reflete o som, funcionando como uma fonte que se aproxima do sonar (parado). Primeiro, o carro "recebe" a onda como observador em movimento a uma velocidade $v$: $f'=f_e\cdot\dfrac{v_s+v}{v_s}$. Em seguida, o carro reemite essa frequência como uma fonte que se aproxima do sonar: $f_d=f'\cdot\dfrac{v_s}{v_s-v}$. Substituindo: $f_d=f_e\cdot\dfrac{v_s+v}{v_s-v}$. Com $f_d=0{,}15\text{MHz}$ e $f_e=0{,}10\text{MHz}$: $0{,}15(300-v)=0{,}10(300+v) \Rightarrow 45-0{,}15v=30+0{,}10v \Rightarrow 15=0{,}25v \Rightarrow v=60\text{m/s}$.
Em artigo publicado em 2022, uma física e um físico brasileiros propuseram uma interessante analogia entre congestionamentos de carros e a física de buracos negros (Luanna K. de Souza, George E. A. Matsas, "Black-hole analog in vehicular traffic", American J. of Phys. 90, 692 (2022)).
Considere uma fila de 9 carros inicialmente em posições $x_0,x_1,x_2,\dots,x_8$ separados um do outro por uma distância $D$ e se movendo com velocidade constante $v$ na direção negativa de um eixo x.
No instante inicial, o carro 0 freia, acionando sua luz de freio. Após um tempo de reação $T_1$, o carro 1 freia, acionando agora a sua luz de freio. O carro 2, por sua vez, freia e aciona sua luz de freio um tempo $T_2$ após o carro 1 acionar a sua luz de freio e assim sucessivamente.
Para este problema, considere que no instante da primeira frenagem (instante inicial): (i) o carro 0 esteja localizado na origem ($x_0=0$); (ii) a distância entre os carros seja de $D=20\text{m}$; e (iii) todos os carros tenham a mesma velocidade escalar $|\vec{v}|=v_{ini}$.
a) Dada a velocidade $v_{ini}=72\text{km/h}$, calcule o tempo de reação máximo $T_{máx}$ para que não ocorram colisões entre quaisquer dois carros.
Texto para os itens (b) e (c):
Em geral, os tempos de reação dos motoristas não são iguais. Por exemplo, se os primeiros carros estiverem envoltos em neblina ou fumaça, os tempos de reação serão maiores para os primeiros carros da fila e menores para os últimos carros da fila. Considere a tabela a seguir, que mostra os tempos de reação $T_1,T_2,\ldots,T_8$ (em segundos) retratando uma situação como essa.
Se o tempo de reação de um dado carro for maior que $T_{máx}$, este carro inevitavelmente irá colidir com o carro da frente. Em uma analogia proposta pelos autores do artigo, este carro entra no “horizonte de eventos” de um “buraco negro veicular”.
b) Suponha agora uma outra velocidade $v_{ini}$ tal que $T_{máx}=0{,}89\text{s}$. Utilizando os dados da tabela, determine, em metros, a posição do "horizonte de eventos", ou seja, a posição $x_H$ tal que todos os carros com posição inicial $x_j\le x_H$ inevitavelmente colidirão com o carro da frente.
c) Calcule o intervalo de velocidades $v_{ini}$ compatível com $x_H=60\text{m}$.
Tempo de reação: O intervalo de tempo que o motorista demora para acionar o freio após ver o sinal emitido pelo carro da frente.
Horizonte de eventos de um buraco negro: Superfície teórica em torno de seu centro a partir da qual nenhum outro evento pode fazer com que um objeto ou radiação escape de, eventualmente, ser sugado em direção ao centro do buraco negro. No caso do “buraco negro veicular” é o ponto a partir do qual um carro inevitavelmente irá colidir com o carro da frente e não pode escapar de uma colisão em seu futuro do mesmo modo que nada (nem a luz) escapa de um buraco negro real.
a) Se a reação do carro de trás atrasa $T_j$, ele percorre $v_{ini}T_j$ antes de frear. Pela hipótese da prova, as distâncias percorridas após o acionamento dos freios são iguais e se cancelam na comparação das posições finais. Não há colisão quando $v_{ini}T_j\le D$, logo $T_{máx}=D/v_{ini}$. Com $72\text{km/h}=20\text{m/s}$ e $D=20\text{m}$, $T_{máx}=1\text{s}$.
b) Com $T_{máx}=0{,}89\text{s}$, colidem os carros com $T_j>0{,}89\text{s}$: $T_1=4{,}5$, $T_2=2{,}3$, $T_3=1{,}6$, $T_4=1{,}0$ e $T_5=0{,}90$ (todos $>0{,}89$). Já $T_6=0{,}75\lt 0{,}89$ não colide. O último carro que inevitavelmente colide é o carro 5, na posição $x_5=5D=5\times20=100\text{m}$. Logo, $x_H=100\text{m}$.
c) Para $x_H=60\text{m}$ (posição do carro 3), o carro 3 deve colidir ($T_3>T_{máx}$) e o carro 4 não deve colidir ($T_4\le T_{máx}$): $T_4\le T_{máx}\lt T_3 \Rightarrow 1{,}0\le\dfrac{20}{v_{ini}}\lt 1{,}6$. Isso equivale a $\dfrac{20}{1{,}6}\lt v_{ini}\le\dfrac{20}{1{,}0} \Rightarrow 12{,}5\text{m/s}\lt v_{ini}\le20\text{m/s}$, ou seja, $45\text{km/h}\lt v_{ini}\le72\text{km/h}$.