Prova FMJ 2008 CE — Física com Gabarito e Resolução

Q17

Mecânica — Quantidade de Movimento — Colisão Elástica em Movimento Circular

Questão discursiva

A figura representa a vista de cima, em dois instantes diferentes, de duas esferas A e B de massas iguais, presas a duas hastes rígidas de massas desprezíveis, apoiadas numa superfície plana, horizontal e perfeitamente lisa. As hastes têm comprimentos $0{,}6\text{ m}$ e são presas num pino fixo no ponto O, podendo girar livres de qualquer resistência. A partir do instante $t = 0$, A é colocada para girar no sentido anti-horário com velocidade angular constante $\omega_A$, e colide de forma perfeitamente elástica com B, que estava parada na posição indicada na figura I. Devido à colisão, B sai do repouso e três segundos depois da partida de A, a situação é a representada na figura II, com B se movendo com velocidade de módulo constante $V_B$.

Figura I (t0 = 0): esfera B parada no alto e esfera A à direita, a 90° de B, ambas presas ao pino O

Figura II (t = 3 s): esfera A no alto e esfera B embaixo com velocidade V_B para a direita

Sabendo que até o instante $t = 3\text{ s}$ houve apenas uma colisão entre A e B, desprezando o intervalo de tempo de contato entre as esferas durante o choque e adotando $\pi = 3$, determine:

a)a velocidade angular $\omega_A$, em rad/s, com que se movia a esfera A antes de colidir em B.

b)a velocidade escalar $V_B$, em m/s, da esfera B, na situação da figura II.

Resolução comentada

Na colisão elástica entre massas iguais, A para e B assume sua velocidade. Como os raios são iguais, a velocidade angular também é transferida.

a) A percorre noventa graus antes do choque; B percorre cento e oitenta graus depois.

$$\theta_{total}=\frac\pi2+\pi=\frac{3\pi}{2}$$

$$\omega_A=\frac{3\pi/2}{3}=1{,}5\ \mathrm{rad/s}$$

b) Converta a velocidade angular em linear.

$$v_B=\omega_AR=1{,}5\cdot0{,}60=0{,}90\ \mathrm{m/s}$$

Q18

Eletricidade — Eletrodinâmica — Circuito com Chave e Medidores Ideais

Questão discursiva

O circuito elétrico mostrado abaixo é formado por três lâmpadas iguais $L_1$, $L_2$ e $L_3$, com valores nominais ($100\text{ V} - 40\text{ W}$), um amperímetro A, um voltímetro V, uma chave interruptora Ch, um gerador de força eletromotriz $100\text{ V}$ e fios de ligação, todos ideais.

Circuito com gerador de 100 V, voltímetro em paralelo com L1, lâmpadas L1, L2 e L3, chave Ch e amperímetro no fio inferior

Com a chave Ch aberta, o amperímetro indica $i_1$ e o voltímetro indica $V_1$. Com a chave fechada, as indicações passam a ser $i_2$ e $V_2$. Determine:

a)o valor do quociente $\dfrac{i_1}{i_2}$;

b)o valor do quociente $\dfrac{V_1}{V_2}$.

Resolução comentada

Calcule a resistência de cada lâmpada pelos dados nominais.

$$R=\frac{100^2}{40}=250\ \Omega$$

Com a chave aberta, L1 e L2 formam um ramo em série; L3 está em paralelo com esse ramo.

$$i_{L1L2}=\frac{100}{500}=0{,}20\ \mathrm A$$

$$i_{L3}=\frac{100}{250}=0{,}40\ \mathrm A$$

$$i_1=0{,}20+0{,}40=0{,}60\ \mathrm A$$

$$V_1=250\cdot0{,}20=50\ \mathrm V$$

Com a chave fechada, L2 fica em curto. L1 e L3 permanecem em paralelo, sob cem volts.

$$i_2=0{,}40+0{,}40=0{,}80\ \mathrm A$$

$$V_2=100\ \mathrm V$$

a) Compare as correntes totais.

$$\frac{i_1}{i_2}=\frac{0{,}60}{0{,}80}=\frac34$$

b) Compare as tensões em L1.

$$\frac{V_1}{V_2}=\frac{50}{100}=\frac12$$

Q19

Termologia — Gases Ideais — Transformações Gasosas e Diagrama P × V

Questão discursiva

Um gás ideal, que ocupa inicialmente um volume $V_1 = 1\text{ L}$ a uma pressão $P_1 = 1\text{ atm}$, está a uma temperatura $T_1 = X$. Sofre, então, uma expansão isotérmica até que seu volume passe a $V_2 = 2\text{ L}$. Na sequência, sofre uma transformação isovolumétrica, até que sua pressão assuma o valor $P_3 = 0{,}25\text{ atm}$ e, a seguir, uma nova expansão, agora isobárica, até que seu volume atinja o valor final $V_4 = 4\text{ L}$.

a)Represente, num diagrama $P \times V$, as transformações sofridas por esse gás desde o estado inicial 1, até o estado final 4, indicando nos eixos os respectivos valores de $P$ (em atm) e $V$ (em L) para os estados 1, 2, 3 e 4.

b)Determine a temperatura final $T_4$ dessa massa gasosa, em função da temperatura inicial $X$.

Resolução comentada

a) Estados: $1\ (1\text{ atm};\ 1\text{ L})$. Na isotérmica $1 \to 2$:

$$P_2 = \dfrac{1 \cdot 1}{2} = 0{,}5\text{ atm}$$

então $2\ (0{,}5\text{ atm};\ 2\text{ L})$. Na isovolumétrica $2 \to 3$: $3\ (0{,}25\text{ atm};\ 2\text{ L})$. Na isobárica $3 \to 4$: $4\ (0{,}25\text{ atm};\ 4\text{ L})$. No diagrama $P \times V$: uma hipérbole de 1 a 2, um segmento vertical (descendo) de 2 a 3 e um segmento horizontal de 3 a 4.

b) Pela equação geral dos gases entre os estados 1 e 4:

$$\dfrac{P_1 V_1}{T_1} = \dfrac{P_4 V_4}{T_4}$$

$$\dfrac{1 \cdot 1}{X} = \dfrac{0{,}25 \cdot 4}{T_4}$$

$$T_4 = X$$

Q20

Mecânica — Cinemática — Lançamento Oblíquo

Questão discursiva

João, brincando com seu amigo skatista Paulo, lança para ele uma bola com velocidade inicial $V_0 = 10\text{ m/s}$, numa direção que faz um ângulo $\theta$ com a horizontal. Como João exagerou na força, a bola passa bem acima de Paulo, que não consegue pegá-la. Quando a bola passa exatamente sobre a cabeça de Paulo, no ponto mais alto de sua trajetória, ele parte com seu skate com velocidade $V_P$, constante, com o objetivo de pegá-la na mesma altura de que partiu da mão de João.

João lança a bola com velocidade V0 inclinada de θ; no ponto mais alto Paulo parte de skate com velocidade Vp; d é a distância entre João e Paulo

Considerando desprezível a resistência do ar, $\text{sen}\,\theta = 0{,}96$, $\cos\theta = 0{,}30$ e $g = 10\text{ m/s}^2$, determine:

a)qual deve ser a velocidade de Paulo, para que consiga seu objetivo?

b)qual a distância $d$, que separa João de Paulo, no momento em que a bola é lançada?

Resolução comentada

a) No ponto mais alto, a bola tem apenas a componente horizontal

$$v_x = v_0\cos\theta = 10 \cdot 0{,}30 = 3\text{ m/s}$$

Paulo parte nesse instante e precisa acompanhar a bola na horizontal até ela voltar à altura inicial, logo sua velocidade deve ser igual a $v_x$:

$$V_P = 3\text{ m/s}$$

b) A componente vertical inicial :

$$v_{0y} = 10 \cdot 0{,}96 = 9{,}6\text{ m/s}$$

e o tempo de subida :

$$t_s = \dfrac{9{,}6}{10} = 0{,}96\text{ s}$$

A bola cai na mesma altura da qual saiu, então o tempo de descida é igual ao de subida.

No lançamento, Paulo estava a uma distância $d$ de João, que é o deslocamento horizontal da bola até o ponto mais alto:

$$d = v_x \cdot t_s = 3 \cdot 0{,}96 = 2{,}88\text{ m}$$

Q21

Óptica — Reflexão e Espelhos — Espelho Esférico Côncavo e Equação de Gauss

Questão discursiva

Um feixe de raios luminosos convergentes incide sobre um espelho esférico côncavo gaussiano dirigindo-se para um ponto A, a $20\text{ cm}$ do vértice do espelho, atrás dele, determinando um ponto objeto virtual, conforme a figura. Os respectivos raios refletidos convergem para um ponto imagem real B, na frente do espelho, a uma distância $f/5$ do vértice V, onde $f$ é a distância focal do espelho.

Raios convergentes para o ponto A atrás do espelho côncavo; raios refletidos convergem para B, entre V e o foco F

a)Calcule, em cm, a distância focal $f$ desse espelho.

b)Pretende-se que esse mesmo espelho conjugue uma imagem ampliada e direita de um objeto linear real colocado diante dele, perpendicularmente ao seu eixo principal. Qual deve ser a máxima distância desse objeto ao vértice do espelho para que isso seja possível? Justifique sua resposta.

Resolução comentada

a) Objeto virtual: $p = -20\text{ cm}$. Imagem real:

$$p\prime = \dfrac{f}{5}$$

Pela equação de Gauss:

$$\dfrac{1}{f} = \dfrac{1}{p} + \dfrac{1}{p\prime} = -\dfrac{1}{20} + \dfrac{5}{f}$$

$$\dfrac{1}{f} - \dfrac{5}{f} = -\dfrac{1}{20}$$

$$\dfrac{4}{f} = \dfrac{1}{20}$$

$$f = 80\text{ cm}$$

b) Para um objeto real diante de um espelho côncavo, a imagem é direita e ampliada (virtual) apenas quando o objeto está entre o foco e o vértice. Se $p > f$ a imagem é real e invertida; se $p = f$, não há imagem. Portanto, o objeto deve estar a menos de $f = 80\text{ cm}$ do vértice: a distância máxima é $80\text{ cm}$ (valor-limite, não alcançado).