Prova FMJ 2007 CE — Física com Gabarito e Resolução

Q17

Mecânica — Trabalho e Energia — Energia Potencial Elástica e Conservação

Questão discursiva

Uma pequena esfera metálica de massa $5 \times 10^{-3}\text{ kg}$ encontra-se em repouso sobre uma mola de constante elástica $k = 500\text{ N/m}$. Desprezando-se os atritos, a resistência do ar e adotando $g = 10\text{ m/s}^2$, determine:

a)a altura máxima, em relação à posição de equilíbrio, que a esfera atinge quando a mola, após ser comprimida em $2\text{ cm}$ da sua condição de equilíbrio, é solta (figura a).

Figura a: esfera sobre uma mola vertical comprimida por um dedo, solta e subindo a partir da posição de equilíbrio

b)a altura máxima $h$ que a esfera alcança se, no experimento apresentado na figura b, a mesma esfera for lançada pela mesma mola que, depois de submetida à deformação de $2\text{ cm}$ é solta fazendo com que a esfera adquira em $h$ velocidade de $4\text{ m/s}$.

Figura b: esfera lançada obliquamente pela mola, atingindo a altura máxima h

Resolução

A energia elástica armazenada com a mola comprimida em $x = 2\text{ cm} = 0{,}02\text{ m}$ é $E_{el} = \dfrac{k\,x^2}{2} = \dfrac{500 \cdot (0{,}02)^2}{2} = 0{,}10\text{ J}$.

a) No lançamento vertical, toda essa energia se converte em energia potencial gravitacional no ponto mais alto (velocidade nula): $m g h = E_{el} \Rightarrow h = \dfrac{0{,}10}{5 \cdot 10^{-3} \cdot 10} = 2{,}0\text{ m}$.

b) No lançamento oblíquo (figura b), a energia inicial é a mesma ($0{,}10\text{ J}$). No ponto mais alto da trajetória, a esfera ainda tem a componente horizontal da velocidade, $v = 4\text{ m/s}$: $E_{el} = m g h + \dfrac{m v^2}{2} \Rightarrow 0{,}10 = 0{,}05\,h + \dfrac{5 \cdot 10^{-3} \cdot 16}{2} = 0{,}05\,h + 0{,}04$.

$h = \dfrac{0{,}06}{0{,}05} = 1{,}2\text{ m}$.

Q18

Mecânica — Hidrostática — Empuxo em Corpos Ligados

Questão discursiva

O sistema de dois corpos maciços e homogêneos, A e B, está em equilíbrio, totalmente imerso em água. Os dois corpos encontram-se ligados entre si por um fio, de massa desprezível.

Corpos A (esfera) e B (bloco) ligados por um fio e totalmente imersos em água

O corpo A é de madeira e tem volume de $500\text{ cm}^3$, o corpo B, de uma certa liga metálica, tem volume de $30\text{ cm}^3$. A densidade da madeira é $6{,}0 \times 10^{2}\text{ kg/m}^3$ e a densidade da água é $1{,}0 \times 10^{3}\text{ kg/m}^3$.

a)Determine a densidade da liga metálica de que é feito o corpo B.

b)Num dado instante corta-se o fio. O corpo A sobe. Determine a fração do volume do corpo A que permanece imersa em água na nova posição de equilíbrio.

Resolução

a) O conjunto $A + B$ está em equilíbrio totalmente imerso: $P_A + P_B = E_A + E_B$. Com $m_A = \rho_A V_A = 600 \cdot 500 \cdot 10^{-6} = 0{,}30\text{ kg}$ e o empuxo total $E = \rho_a (V_A + V_B)\,g = 1000 \cdot 530 \cdot 10^{-6} \cdot 10 = 5{,}3\text{ N}$.

$(m_A + m_B)\,g = 5{,}3 \Rightarrow m_A + m_B = 0{,}53\text{ kg} \Rightarrow m_B = 0{,}23\text{ kg}$, e $\rho_B = \dfrac{m_B}{V_B} = \dfrac{0{,}23}{30 \cdot 10^{-6}} \approx 7{,}7 \cdot 10^{3}\text{ kg/m}^3$.

b) Cortado o fio, $A$ sobe e flutua em equilíbrio com empuxo igual ao peso: $\rho_a\,V_{imerso}\,g = \rho_A V_A g \Rightarrow \dfrac{V_{imerso}}{V_A} = \dfrac{\rho_A}{\rho_a} = \dfrac{6{,}0 \cdot 10^2}{1{,}0 \cdot 10^3} = 0{,}60$.

Q19

Termologia — Calorimetria — Calor Sensível e Gráfico Q × θ

Questão discursiva

O ouro apresenta calor específico igual a $130\text{ J/kg}^\circ\text{C}$ e a madeira, $1\,800\text{ J/kg}^\circ\text{C}$. Se um pedaço de ouro e um pedaço de madeira, ambos com massa igual a $100\text{ g}$, absorvem $2\,340\text{ J}$ de calor,

a)qual o acréscimo de temperatura sofrido pelos dois blocos?

b)Sabendo-se que, inicialmente, ambos encontram-se à temperatura ambiente de $20^\circ\text{C}$, esboce e identifique, em um único gráfico, a curva característica da quantidade de calor em função da temperatura das duas substâncias.

Resolução

a) Com $m = 0{,}1\text{ kg}$ e $Q = 2\,340\text{ J}$: ouro, $\Delta\theta = \dfrac{Q}{m\,c} = \dfrac{2\,340}{0{,}1 \cdot 130} = 180^\circ\text{C}$; madeira, $\Delta\theta = \dfrac{2\,340}{0{,}1 \cdot 1\,800} = 13^\circ\text{C}$.

b) Como $Q = m\,c\,(\theta - 20)$, o gráfico de $Q$ em função de $\theta$ é uma reta que parte do ponto $(20^\circ\text{C},\,0)$, cuja inclinação é a capacidade térmica $m c$: para o ouro, $13\text{ J/}^\circ\text{C}$; para a madeira, $180\text{ J/}^\circ\text{C}$. A reta da madeira é muito mais inclinada. A do ouro atinge $Q = 2\,340\text{ J}$ em $\theta = 200^\circ\text{C}$, e a da madeira, no mesmo valor de $Q$, em $\theta = 33^\circ\text{C}$.

Q20

Óptica — Reflexão e Espelhos — Espelhos Esféricos e Formação de Imagem

Questão discursiva

Observe a figura em que se vê a imagem de uma vela refletida num espelho.

Espelho esférico circular com a vela (objeto) e sua imagem direita e maior

a)Que tipo de espelho é esse? Justifique sua resposta.

b)A imagem formada é real ou virtual? Justifique sua resposta com uma construção geométrica adequada.

Resolução

a) A imagem da vela é direita e maior que o objeto. Espelhos planos formam imagem do mesmo tamanho; espelhos convexos formam imagem sempre direita, mas menor. Só o espelho esférico côncavo, com o objeto entre o foco e o vértice, forma imagem direita e ampliada. Portanto, o espelho é côncavo.

b) A imagem é virtual. Construção: de um ponto do topo da vela traçam-se dois raios notáveis: (1) um raio paralelo ao eixo principal, que reflete passando pelo foco $F$; (2) um raio que incide na direção do centro de curvatura $C$ (e passando por ele), que volta sobre si mesmo. Os raios refletidos divergem; seus prolongamentos, atrás do espelho, se encontram no ponto-imagem. Como a imagem é formada pelo cruzamento de prolongamentos (e não dos próprios raios), ela é virtual, direita e ampliada, localizada atrás do espelho.

Q21

Eletricidade — Eletrostática — Movimento de Carga em Campo Elétrico Uniforme

Questão discursiva

Um próton é lançado com velocidade $v_0 = 2{,}0 \times 10^{7}\text{ m/s}$, perpendicularmente às linhas de campo elétrico uniforme existente entre duas placas paralelas, num ponto equidistante das placas, e atinge a placa A no ponto P. A relação entre a carga e a massa do próton é $q/m = 1 \times 10^{8}\text{ C/kg}$. As placas A e B têm potenciais de $1{,}0 \times 10^{5}\text{ V}$ e $4{,}0 \times 10^{5}\text{ V}$, respectivamente, e estão separadas por $3{,}0 \times 10^{-1}\text{ m}$. Despreze a ação da gravidade.

Próton lançado horizontalmente a meio caminho entre as placas A (1,0·10^5 V, em cima) e B (4,0·10^5 V, embaixo), atingindo a placa A no ponto P a uma distância d

a)Copie o desenho e represente três linhas de campo elétrico entre as placas, justificando a direção e o sentido.

b)Calcule a distância $d$ indicada na figura.

Resolução

a) O campo elétrico aponta do ponto de maior para o de menor potencial. Como $V_B = 4{,}0 \cdot 10^5\text{ V}$ é maior que $V_A = 1{,}0 \cdot 10^5\text{ V}$, o campo aponta da placa $B$ para a placa $A$. Entre placas planas e paralelas, o campo é uniforme: as linhas de campo são retas paralelas, perpendiculares às placas (direção vertical), igualmente espaçadas, orientadas de $B$ (embaixo) para $A$ (em cima). Isso é coerente com o fato de o próton, positivo, ser acelerado no sentido do campo e atingir a placa $A$.

b) $E = \dfrac{U}{D} = \dfrac{(4{,}0 - 1{,}0) \cdot 10^5}{3{,}0 \cdot 10^{-1}} = 1{,}0 \cdot 10^{6}\text{ V/m}$, e a aceleração é $a = \dfrac{q}{m}\,E = 1 \cdot 10^{8} \cdot 1 \cdot 10^{6} = 1 \cdot 10^{14}\text{ m/s}^2$ (para cima).

O próton parte do meio entre as placas, portanto sobe $\dfrac{D}{2} = 0{,}15\text{ m}$ até a placa $A$: $\dfrac{D}{2} = \dfrac{a\,t^2}{2} \Rightarrow t = \sqrt{\dfrac{2 \cdot 0{,}15}{10^{14}}} = \sqrt{3 \cdot 10^{-15}} \approx 5{,}5 \cdot 10^{-8}\text{ s}$.

Na horizontal, a velocidade é constante: $d = v_0\,t = 2{,}0 \cdot 10^{7} \cdot 5{,}5 \cdot 10^{-8} \approx 1{,}1\text{ m}$.