Prova FMJ 2009 CE — Física com Gabarito e Resolução

Q17

Mecânica — Trabalho e Energia — Trabalho da Força Peso e Gráfico v × t

Questão discursiva

Gruas são equipamentos largamente utilizados em construção civil, pois podem movimentar objetos pesados tanto na direção horizontal quanto na vertical, além de poderem girar em torno de um eixo vertical, passando por sua torre. Pretende-se utilizar uma grua para levar uma caixa de massa $m = 200\text{ kg}$ do ponto A, no solo, ao ponto C, no topo de um edifício em obras, pelo percurso ABC mostrado na Figura 1. Do ponto A até o ponto B, ela é levada em linha reta com velocidade constante de $0{,}5\text{ m/s}$, em $60\text{ s}$. Para ir verticalmente do ponto B ao ponto C, ela demora $10\text{ s}$, com sua velocidade variando segundo o gráfico mostrado na Figura 2.

Figura 1: grua levando a caixa de A, no solo, até B (em linha reta, 24 m na horizontal) e depois verticalmente até C, no topo do edifício de 10 m; H é a altura de B

Figura 2: gráfico v × t do trecho BC, com aceleração até Vmáx e desaceleração até zero em t = 10 s

Considere $g = 10\text{ m/s}^2$.

a)Determine o módulo do trabalho realizado pela força peso da caixa levada pela grua, no trajeto de A para B.

b)Calcule a máxima velocidade escalar atingida pelo objeto no trecho BC.

Resolução

a) O trecho $AB$ tem comprimento $\Delta s = v\,t = 0{,}5 \cdot 60 = 30\text{ m}$, com $24\text{ m}$ na horizontal. Pelo triângulo retângulo, a altura de $B$ é $H = \sqrt{30^2 - 24^2} = 18\text{ m}$. O trabalho do peso depende apenas do desnível: $|W_P| = m\,g\,H = 200 \cdot 10 \cdot 18 = 3{,}6 \cdot 10^{4}\text{ J}$ (negativo, pois a caixa sobe).

b) O trecho $BC$ desce $H - 10 = 8\text{ m}$ em $10\text{ s}$. No gráfico $v \times t$, esse deslocamento é a área do triângulo de base $10\text{ s}$ e altura $v_{máx}$: $\dfrac{10 \cdot v_{máx}}{2} = 8 \Rightarrow v_{máx} = 1{,}6\text{ m/s}$.

Q18

Mecânica — Dinâmica — Atrito Estático e Corpos Ligados

Questão discursiva

Um bloco de massa $M = 10\text{ kg}$ está em repouso sobre uma mesa horizontal, ligado por um fio ideal a um cesto, inicialmente vazio, de massa $m_C = 0{,}5\text{ kg}$. O coeficiente de atrito estático entre o bloco e a superfície de apoio vale $0{,}3$.

Bloco de massa M sobre a mesa, ligado por fio que passa por uma polia a um cesto de massa mC contendo esferas

Dentro do cesto são colocadas, uma a uma, pequenas esferas de metal de massa $80\text{ g}$ cada. Determine o número mínimo de esferas que devem ser colocadas no cesto para que se inicie o escorregamento do bloco sobre a mesa. Adote $g = 10\text{ m/s}^2$ e considere a polia ideal.

a)Número mínimo de esferas para iniciar o escorregamento do bloco.

Resolução

O bloco está prestes a escorregar quando a tração no fio iguala o atrito estático máximo: $F_{at,máx} = \mu_e\,M\,g = 0{,}3 \cdot 10 \cdot 10 = 30\text{ N}$.

No equilíbrio, a tração é o peso do cesto com as $n$ esferas: $T = (m_C + n \cdot 0{,}08)\,g$. Para que se inicie o movimento é preciso $T > 30\text{ N}$: $(0{,}5 + 0{,}08\,n) \cdot 10 > 30 \Rightarrow n > \dfrac{3 - 0{,}5}{0{,}08} = 31{,}25$.

Como $n$ deve ser inteiro, o número mínimo de esferas é $32$.

Q19

Termologia — Calorimetria — Equilíbrio Térmico e Calor Específico

Questão discursiva

Num calorímetro ideal, são misturados $300\text{ g}$ de um líquido a $80^\circ\text{C}$ com $700\text{ g}$ do mesmo líquido a $20^\circ\text{C}$ e, após alguns minutos, eles entram em equilíbrio térmico a uma temperatura $\theta$. Em seguida, o calorímetro é aberto, e o sistema passa a perder calor para o ambiente, que está a uma temperatura constante de $15^\circ\text{C}$, até entrar em equilíbrio térmico com ele.

Gráfico temperatura × tempo: as porções a 80 °C e a 20 °C chegam à temperatura de equilíbrio θ e depois o sistema esfria até 15 °C, a temperatura do ambiente

Sabendo que desde a abertura do calorímetro até ser atingido o equilíbrio térmico com o ambiente o sistema perdeu $18\,400\text{ cal}$, determine o calor específico do líquido, em $\text{cal/(g}\cdot^\circ\text{C)}$.

a)Calor específico do líquido, em $\text{cal/(g}\cdot^\circ\text{C)}$.

Resolução

Etapa 1 (mistura): $m_1 c (80 - \theta) = m_2 c (\theta - 20) \Rightarrow 300\,(80 - \theta) = 700\,(\theta - 20) \Rightarrow 24\,000 - 300\,\theta = 700\,\theta - 14\,000 \Rightarrow \theta = 38^\circ\text{C}$.

Etapa 2 (resfriamento até $15^\circ\text{C}$): a massa total é $1\,000\text{ g}$ e o calor perdido é $|Q| = m\,c\,\Delta\theta = 1\,000 \cdot c \cdot (38 - 15) = 18\,400$.

$c = \dfrac{18\,400}{23\,000} = 0{,}80\text{ cal/(g}\cdot^\circ\text{C)}$.

Q20

Óptica — Lentes — Associação de Lentes Divergente e Convergente

Questão discursiva

A figura mostra duas lentes delgadas 1 e 2 de vidro, com distâncias focais $-5\text{ cm}$ e $15\text{ cm}$, respectivamente, com um mesmo eixo principal xy. Dois raios de luz incidem sobre a lente 1, paralelos ao eixo principal, separados por $4\text{ cm}$. Depois de atravessarem essa lente, incidem sobre a outra, onde voltam a ficar paralelos ao eixo principal, agora separados por uma distância $D$.

Lente 1 (divergente) e lente 2 (convergente), a 10 cm uma da outra; dois raios paralelos separados por 4 cm incidem na lente 1 e saem da lente 2 paralelos, separados por D

Determine $D$, em centímetros.

a)Distância $D$ entre os raios na saída da lente 2, em centímetros.

Resolução

Os raios paralelos ao eixo, ao atravessarem a lente divergente $L_1$ ($f_1 = -5\text{ cm}$), emergem divergindo como se partissem do foco virtual $F_1$, situado a $5\text{ cm}$ antes de $L_1$.

Esse ponto está a $5 + 10 = 15\text{ cm}$ da lente $L_2$, que é justamente o valor de sua distância focal ($f_2 = 15\text{ cm}$). Assim, $L_2$ recebe raios que vêm de um objeto em seu foco e os devolve paralelos ao eixo.

Por semelhança de triângulos com vértice em $F_1$, a separação dos raios é proporcional à distância ao vértice: $\dfrac{D}{4} = \dfrac{15}{5} \Rightarrow D = 12\text{ cm}$.

Q21

Eletricidade — Eletrostática — Força Elétrica em Campo Uniforme e Peso Aparente

Questão discursiva

Uma esfera de massa $0{,}2\text{ kg}$ está apoiada sobre um dinamômetro dentro de um elevador que sobe em movimento retilíneo e acelerado com aceleração $3\text{ m/s}^2$, como mostra a Figura 1. Outra esfera idêntica à primeira, eletrizada com carga positiva $q$, está apoiada em repouso, sobre outro dinamômetro feito de material isolante, sob ação de um campo elétrico uniforme $\vec{E}$, vertical para baixo, e da gravidade, como mostra a Figura 2.

Figura 1: esfera sobre dinamômetro em elevador que sobe com velocidade v e aceleração a. Figura 2: esfera com carga q sobre dinamômetro isolante, sob campo elétrico E e gravidade g, ambos para baixo

Sendo $E = 12 \times 10^{4}\text{ N/C}$ e $g = 10\text{ m/s}^2$, determine o módulo da carga $q$, para que a leitura seja a mesma nos dois dinamômetros.

a)Módulo da carga $q$.

Resolução

Figura 1: o elevador sobe acelerado, e a leitura do dinamômetro (força normal) é $N_1 = m\,(g + a) = 0{,}2 \cdot (10 + 3) = 2{,}6\text{ N}$.

Figura 2: a carga positiva sofre força elétrica no sentido de $\vec{E}$ (para baixo), somando-se ao peso: $N_2 = m\,g + q\,E = 2{,}0 + q \cdot 12 \cdot 10^{4}$.

Igualando as leituras: $2{,}0 + 12 \cdot 10^{4}\,q = 2{,}6 \Rightarrow q = \dfrac{0{,}6}{12 \cdot 10^{4}} = 5 \cdot 10^{-6}\text{ C}$.