Prova FMJ 2015 CE — Física com Gabarito e Resolução

Q15

Taxa média de variação

Questão discursiva

O gráfico mostra a taxa de incidência de AIDS para cada 100 mil habitantes no estado de São Paulo e no Brasil, registrada entre os anos 1990 e 2010.

Curvas de incidência de AIDS em São Paulo e no Brasil, de 1990 a 2010, com valores anuais por 100 mil habitantes.

a) Estime a velocidade média, para cada 100 mil habitantes, de crescimento e de decrescimento da doença no estado de São Paulo.

b) Estime a velocidade média total, para cada 100 mil habitantes, da evolução da doença no Brasil entre os anos 1990 e 2008.

a) Aproximadamente +2,18 e −1,55 casos por 100 mil habitantes por ano. b) Aproximadamente +0,66 caso por 100 mil habitantes por ano.

Resolução comentada

a) A velocidade média é a variação da incidência dividida pelo intervalo de tempo. Para São Paulo, a curva cresce de 17,4 em 1990 até 34,8 em 1998.

$$v_{\mathrm{cresc}}=\frac{34{,}8-17{,}4}{1998-1990}$$

$$v_{\mathrm{cresc}}=2{,}175\approx2{,}18$$

Do máximo até 2010, a incidência decresce para 16,2.

$$v_{\mathrm{decresc}}=\frac{16{,}2-34{,}8}{2010-1998}$$

$$v_{\mathrm{decresc}}=-1{,}55$$

b) Na curva do Brasil, os valores dos extremos pedidos são 6,3 em 1990 e 18,2 em 2008.

$$v_{\mathrm{Brasil}}=\frac{18{,}2-6{,}3}{2008-1990}$$

$$v_{\mathrm{Brasil}}\approx0{,}66$$

Todas as taxas acima são expressas em casos por 100 mil habitantes por ano. O sinal negativo indica redução da incidência.

Resolução elaborada pelo Método TEF a partir do enunciado original; espelho oficial não disponível na pasta fornecida.

Q16

Equilíbrio e composição de forças

Questão discursiva

A figura representa esquematicamente o joelho humano, cuja rótula é prensada entre o fêmur e o tendão quadríceps, estrutura que funciona como corda ideal, transmitindo em suas extremidades uma força de módulo $T$.

Joelho com duas trações T no tendão, uma a 30 graus da vertical superior e outra a 60 graus da vertical inferior.

Considere que a rótula esteja em equilíbrio, que os vetores indiquem as forças aplicadas nas extremidades do tendão bem como os ângulos que formam com a direção vertical e a tabela a seguir.

$\operatorname{sen}30°=\cos60°=1/2$; $\cos30°=\operatorname{sen}60°=\sqrt3/2$.

a) Na figura inserida no campo de resolução e resposta, represente vetorialmente a força aplicada pelo fêmur sobre a rótula.

b) Determine uma expressão, em função de $T$, da resultante da força aplicada pelo tendão quadríceps sobre a rótula.

a) Força sobre a rótula para a esquerda e ligeiramente para baixo, oposta à resultante das trações. b) $R=\sqrt2\,T$.

Resolução comentada

a) As duas trações apontam para a direita. Suas componentes verticais não se cancelam: a componente para cima é maior. Para equilibrar a rótula, desenhe a força do fêmur aplicada nela, para a esquerda e para baixo, oposta à soma das trações.

b) Os ângulos com a vertical somam 90°, portanto as duas trações são perpendiculares.

$$R^2=T^2+T^2$$

$$R=\sqrt2\,T$$

As componentes confirmam a orientação da resultante do tendão:

$$R_x=T\left(\frac12+\frac{\sqrt3}{2}\right)$$

$$R_y=T\left(\frac{\sqrt3}{2}-\frac12\right)>0$$

A resultante do tendão faz 15° acima da horizontal; a força do fêmur faz 15° abaixo da horizontal para a esquerda.

Resolução elaborada pelo Método TEF a partir do enunciado original; espelho oficial não disponível na pasta fornecida.

Q17

Flutuação e densidade

Questão discursiva

Para determinar a densidade de uma amostra de sangue humano, utiliza-se um cubo de volume $V$. Colocando-o suavemente sobre a superfície de uma amostra de sangue normal, de densidade absoluta $\rho$, o cubo flutua com metade de seu volume submerso, como mostra a figura.

Cubo flutuando com metade do volume abaixo da superfície do sangue.

Ao colocar-se esse mesmo cubo na superfície de uma outra amostra de sangue, verifica-se que ele flutua com 52% de seu volume submerso.

a) Deduza uma expressão para a massa do cubo em função de $\rho$ e $V$.

b) Determine a razão $\rho/\rho’$, sendo $\rho’$ a densidade da segunda amostra de sangue.

a) $m=\rho V/2$. b) $\rho/\rho’=1{,}04$.

Resolução comentada

a) Na flutuação em repouso, o empuxo equilibra o peso do cubo.

$$mg=\rho g\frac V2$$

$$m=\frac{\rho V}{2}$$

b) A massa e o volume do cubo são os mesmos na segunda amostra.

$$mg=\rho’g\cdot0{,}52V$$

Igualando as duas expressões para a massa:

$$0{,}50\rho V=0{,}52\rho’V$$

$$\frac{\rho}{\rho’}=\frac{0{,}52}{0{,}50}=1{,}04$$

A segunda amostra é menos densa, coerentemente com a maior fração submersa.

Resolução elaborada pelo Método TEF a partir do enunciado original; espelho oficial não disponível na pasta fornecida.

Q18

Lentes e olho humano

Questão discursiva

O cristalino do olho humano funciona como uma lente que converge os raios luminosos vindos de um objeto, devendo a imagem se formar no plano da retina, localizada no fundo do olho, como mostra a figura.

Modelo do olho com cristalino convergente formando imagem real e invertida na retina.

a) Admitindo que o cristalino obedeça às condições de nitidez de Gauss para lentes esféricas e que a convergência normal da vista para um objeto muito afastado seja de 50 dioptrias, determine a distância, em centímetros, entre a retina e o cristalino.

b) Em pessoas com mais de quarenta anos, é comum o desenvolvimento de uma anomalia visual popularmente conhecida como “vista cansada”, que decorre do enrijecimento dos músculos ciliares. Cite o nome científico dessa anomalia. Para o miopia, cite o tipo de lente usado na correção desta anomalia.

a) 2,0 cm. b) Vista cansada: presbiopia. A miopia mencionada na última frase é corrigida com lente divergente.

Resolução comentada

a) Para um objeto muito distante, os raios incidentes são aproximadamente paralelos e a imagem se forma no plano focal.

$$p\to\infty\quad\Rightarrow\quad p’=f$$

A convergência em dioptrias é o inverso da distância focal em metros.

$$f=\frac1C$$

$$f=\frac1{50}=0{,}020\ \mathrm m$$

$$p’=2{,}0\ \mathrm{cm}$$

b) A vista cansada recebe o nome de presbiopia. A última frase do original, porém, pergunta pela miopia: sua correção utiliza lente divergente.

Nota de leitura: preservamos a mudança de anomalia e a redação “Para o miopia” do documento fornecido. Se a intenção fosse pedir a correção da presbiopia para visão próxima, a resposta seria lente convergente. A presbiopia está associada sobretudo à perda de flexibilidade do cristalino, e não simplesmente ao enrijecimento dos músculos ciliares.

Resolução elaborada pelo Método TEF a partir do enunciado original; espelho oficial não disponível na pasta fornecida.

Q19

Comprimento de onda e refração sonora

Questão discursiva

O intervalo de frequência sonora audível para o ser humano está compreendido entre 20 Hz e 20 kHz. Considerando a velocidade do som igual a 340 m/s, calcule:

a) o comprimento de onda, em metros, da onda sonora para os extremos desse intervalo de frequência indicados no enunciado.

b) o comprimento de onda, em metros, de uma onda sonora, de frequência 100 Hz no ar, ao passar para a água, sabendo que a velocidade de propagação do som na água é quatro vezes maior que no ar.

a) 17 m para 20 Hz e 0,017 m para 20 kHz. b) 13,6 m.

Resolução comentada

a) Para a mesma velocidade de propagação, comprimento de onda e frequência são inversamente proporcionais.

$$\lambda=\frac vf$$

$$\lambda_{20\,\mathrm{Hz}}=\frac{340}{20}=17\ \mathrm m$$

$$20\ \mathrm{kHz}=20000\ \mathrm{Hz}$$

$$\lambda_{20\,\mathrm{kHz}}=\frac{340}{20000}=0{,}017\ \mathrm m$$

b) A frequência não muda ao atravessar a interface; a velocidade e o comprimento de onda mudam.

$$v_{\mathrm{agua}}=4\cdot340=1360\ \mathrm{m/s}$$

$$\lambda_{\mathrm{agua}}=\frac{1360}{100}=13{,}6\ \mathrm m$$

Resolução elaborada pelo Método TEF a partir do enunciado original; espelho oficial não disponível na pasta fornecida.

Q20

Circuito equivalente do corpo

Questão discursiva

A figura representa as resistências elétricas ôhmicas de partes do corpo de uma pessoa: 500 Ω para cada braço, 100 Ω para cabeça e pescoço, 500 Ω para o abdome e 1 000 Ω para cada perna. O coração, representado em vermelho, permite a passagem de corrente elétrica.

Circuito do corpo com cabeça A, mãos B e C, pés D e E, resistências dos membros e coração no nó superior.

a) Indique o par de pontos que, ao ser conectado a uma tensão elétrica, não provoque o risco de a corrente elétrica afetar o batimento cardíaco. Justifique sua resposta.

b) Suponha que a pessoa da figura esteja com os dois pés aterrados (sem isolantes elétricos entre os pés e a Terra) e segure com uma das mãos um fio elétrico de potencial 300 volts. Calcule, para essa situação, a corrente elétrica, em ampères, que atravessa o coração dessa pessoa.

a) D e E, no circuito ideal representado. b) 0,20 A.

Resolução comentada

a) No modelo fornecido, ligar a tensão entre D e E faz a corrente percorrer apenas as pernas. O ramo superior, que passa pelo abdome e pelo coração, termina aberto nas mãos e na cabeça, portanto não conduz corrente. Essa conclusão se restringe ao circuito ideal da questão.

b) Com os dois pés aterrados, as resistências das pernas ficam em paralelo.

$$R_{\mathrm{pernas}}=\frac{1000\cdot1000}{1000+1000}=500\ \Omega$$

O braço que segura o fio, o abdome e o equivalente das pernas ficam em série. A outra mão e a cabeça são ramos abertos.

$$R_{\mathrm{eq}}=500+500+500=1500\ \Omega$$

$$i_{\mathrm{coracao}}=\frac{300}{1500}=0{,}20\ \mathrm A$$

Resolução elaborada pelo Método TEF a partir do enunciado original; espelho oficial não disponível na pasta fornecida.