Prova FMJ 2014 CE — Física com Gabarito e Resolução

Q15

Mecânica — Trabalho e Energia — Conservação de Energia e MHS Massa-Mola

Questão discursiva

Em um conjunto de pistas retilíneas e lisas, como mostra a figura, um carro, de massa $m = 500\text{ kg}$, partiu do repouso no ponto A e deslizou até engatar, em C, numa mola elástica de constante $k = 2 \times 10^{3}\text{ N/m}$. Ao passar por B, sua velocidade era $v = 10\text{ m/s}$ e, uma vez preso à mola, passou a descrever um movimento harmônico simples (MHS) em torno de C. A aceleração da gravidade local é de $10\text{ m/s}^2$.

Carro de massa m na pista lisa: rampa de A (altura h) até B e trecho horizontal BC terminando em uma mola de constante k

a)Determine a altura $h$, em relação ao plano BC, de onde o carro partiu.

b)Calcule, em segundos, o período de oscilação do MHS executado pelo carro.

Resolução

a) Em pistas lisas, a energia mecânica se conserva entre A (repouso, altura $h$) e B: $m\,g\,h = \dfrac{m v^2}{2} \Rightarrow h = \dfrac{v^2}{2g} = \dfrac{10^2}{2 \cdot 10} = 5\text{ m}$.

b) Preso à mola, o carro executa MHS com período que depende apenas da massa e da constante elástica: $T = 2\pi\sqrt{\dfrac{m}{k}} = 2\pi\sqrt{\dfrac{500}{2 \cdot 10^{3}}} = 2\pi \cdot 0{,}5 = \pi \approx 3{,}14\text{ s}$.

Q16

Mecânica — Dinâmica — Força Motriz em Rampa e Potência

Questão discursiva

Um automóvel de peso $P$ sobe a rampa retilínea AB, de comprimento $d$ e inclinação $\alpha$ com a horizontal, em movimento uniforme. Durante o percurso, seu motor desenvolve uma potência média $\text{Pot}$. Há atrito entre os pneus e a pista e entre os demais fatores que impõem resistência ao movimento, resultando num coeficiente $\mu$.

Automóvel subindo a rampa AB, de inclinação α com a horizontal

Determine:

a)em função do peso $P$, do coeficiente de atrito $\mu$ e funções trigonométricas de $\alpha$, a expressão da força motriz ($F_m$) exercida pelo motor do automóvel enquanto percorre o trecho $d$.

b)em função do deslocamento $d$, da potência média $\text{Pot}$ e da força motriz $F_m$, o intervalo de tempo ($\Delta t$) que o automóvel gasta para percorrer o trecho $d$.

Resolução

a) Em movimento uniforme, a resultante é nula ao longo da rampa. A força motriz equilibra a componente do peso ao longo da rampa, $P\,\text{sen}\,\alpha$, e a força de atrito (resistência) $\mu N$, com $N = P\cos\alpha$: $F_m = P\,\text{sen}\,\alpha + \mu\,P\cos\alpha = P\,(\text{sen}\,\alpha + \mu\cos\alpha)$.

b) A potência média da força motriz é $\text{Pot} = \dfrac{F_m\,d}{\Delta t}$ (trabalho de $F_m$ no deslocamento $d$, dividido pelo intervalo de tempo). Logo, $\Delta t = \dfrac{F_m\,d}{\text{Pot}}$.

Q17

Mecânica — Hidrostática — Empuxo e Talha Simples

Questão discursiva

Um cilindro maciço, de volume $V$ e densidade $\mu$, está totalmente imerso em um líquido de densidade $d < \mu$. Ele é içado, com velocidade constante, por uma talha simples ideal, como mostra a figura. A aceleração da gravidade no local é $g$.

Cilindro de volume V imerso em líquido, preso à polia móvel de uma talha simples; o operador puxa o fio com força F e o desloca de y, enquanto o cilindro sobe h

a)Deduza a expressão da intensidade da força $F$ exercida pelo operador nesse deslocamento.

b)Ao erguer o cilindro, o operador desloca-o de uma altura $h$. Determine, em função de $h$, a extensão $y$, indicada na figura, do fio puxado pelo operador.

Resolução

a) Com velocidade constante, o cilindro está em equilíbrio. Peso: $P = \mu\,V\,g$; empuxo: $E = d\,V\,g$. A tração no fio ligado ao cilindro é $T = P - E = (\mu - d)\,V\,g$.

Essa tração sustenta a polia móvel, que é suportada por dois trechos do mesmo fio (um preso ao teto e outro que sobe até a polia fixa), cada um com tração $F$: $2F = T \Rightarrow F = \dfrac{(\mu - d)\,V\,g}{2}$.

b) Quando o cilindro sobe $h$, os dois trechos de fio que sustentam a polia móvel se encurtam $h$ cada um. Pelo comprimento total do fio ser constante, o operador deve puxar $y = 2h$.

Q18

Termologia — Calorimetria — Potência Térmica e Calor Sensível

Questão discursiva

O gráfico relaciona a quantidade de calor ($Q$) que um aquecedor é capaz de fornecer a qualquer sistema, em função do tempo ($t$).

Gráfico Q (kcal) × t (min): reta pela origem até 300 kcal em 5,0 min

a)Calcule, em kW, a potência desse aquecedor. Use $1\text{ cal} = 4\text{ J}$.

b)Calcule o intervalo de tempo necessário para esse aquecedor elevar a temperatura de $1\text{ L}$ de água de $20^\circ\text{C}$ até seu ponto de ebulição a $100^\circ\text{C}$. Considere a densidade da água $d = 1\text{ kg/L}$, seu calor específico $c = 1\text{ cal/(g}\,^\circ\text{C)}$ e que o recipiente que a contém é adiabático.

Resolução

a) Do gráfico, o aquecedor fornece $Q = 300\text{ kcal}$ em $5{,}0\text{ min}$. Com $1\text{ cal} = 4\text{ J}$: $Q = 300 \cdot 10^{3} \cdot 4 = 1{,}2 \cdot 10^{6}\text{ J}$ e $\Delta t = 300\text{ s}$. A potência é $\text{Pot} = \dfrac{1{,}2 \cdot 10^{6}}{300} = 4 \cdot 10^{3}\text{ W} = 4\text{ kW}$.

b) Para $1\text{ L}$ de água ($m = 1\text{ kg} = 1\,000\text{ g}$), de $20^\circ\text{C}$ a $100^\circ\text{C}$: $Q = m\,c\,\Delta\theta = 1\,000 \cdot 1 \cdot 80 = 8{,}0 \cdot 10^{4}\text{ cal} = 80\text{ kcal}$.

Como a potência é constante, $\Delta t = \dfrac{80\text{ kcal}}{300\text{ kcal}} \cdot 5{,}0\text{ min} = \dfrac{4}{3}\text{ min} = 80\text{ s}$ (confirmação: $3{,}2 \cdot 10^{5}\text{ J}/4\,000\text{ W} = 80\text{ s}$).

Q19

Óptica — Lentes — Microscópio Composto

Questão discursiva

O microscópio composto, importante instrumento de observação em medicina, consta, basicamente, de duas lentes convergentes: a objetiva e a ocular.

Esquema com o eixo principal, a objetiva (Obj.) com focos F1 e F1' e a ocular (Oc.) com focos F2 e F2'

a)Se o aumento linear transversal da objetiva é $-6$ e o da ocular é $+10$, quantas vezes a imagem final do objeto observado é maior do que o mesmo? Qual a origem do sinal negativo no aumento da objetiva?

b)No esquema proposto no espaço de resolução e resposta, no qual $F_1$ e $F_1'$ são os focos da objetiva e $F_2$ e $F_2'$ são os focos da ocular, localize as posições do objeto (O), da imagem ($I_1$) conjugada pela objetiva e da imagem ($I_2$) conjugada pela ocular. Represente-os por setas verticais.

Resolução

a) O aumento linear total é o produto dos aumentos: $A = A_{obj} \cdot A_{oc} = (-6)(+10) = -60$. A imagem final é 60 vezes maior que o objeto. O sinal negativo em $A_{obj}$ indica que a imagem formada pela objetiva é real e invertida em relação ao objeto (o aumento negativo representa a inversão).

b) A objetiva forma uma imagem real, invertida e maior, de um objeto colocado um pouco além de seu foco: $O$ fica à esquerda de $F_1$, seta para cima. A imagem $I_1$ forma-se à direita da objetiva, com seta para baixo, entre o foco $F_2$ e a ocular, de modo que a ocular funciona como lupa. A ocular conjuga a $I_1$ uma imagem $I_2$ virtual, direita em relação a $I_1$ (seta para baixo) e maior, à esquerda da ocular. A figura mostra a construção.

Esquema do microscópio composto: o objeto O está à esquerda de F1; a imagem real e invertida I1 da objetiva fica entre F2 e a ocular; a ocular produz a imagem virtual e ampliada I2, à esquerda dela

Q20

Eletricidade — Eletrodinâmica — Potência e Corrente em Aparelho Elétrico

Questão discursiva

Um fabricante de bisturis eletrônicos fornece os seguintes dados sobre um desses aparelhos: tensão de operação de $127\text{ V}$, potência de consumo de $150\text{ W}$ e frequência máxima de vibração de $4\text{ MHz}$.

a)Determine, em A, a intensidade da corrente elétrica através do aparelho quando em funcionamento normal.

b)Calcule o comprimento de onda dessas vibrações supondo-as integralmente convertidas para ondas eletromagnéticas, que se propagam a uma velocidade de $3 \times 10^{8}\text{ m/s}$.

Resolução

a) A potência elétrica é $P = U\,i$, então $i = \dfrac{P}{U} = \dfrac{150}{127} \approx 1{,}2\text{ A}$.

b) Para ondas eletromagnéticas, $c = \lambda\,f$, com $f = 4\text{ MHz} = 4 \cdot 10^{6}\text{ Hz}$: $\lambda = \dfrac{c}{f} = \dfrac{3 \cdot 10^{8}}{4 \cdot 10^{6}} = 75\text{ m}$.