São dadas as funções horárias dos espaços de $4$ móveis, definidas sobre a mesma trajetória retilínea, com valores medidos no S.I. (Sistema Internacional):
$S_A=-5+2t$
$S_B=-7-3t$
$S_C=5t$
$S_D=-1-t$
Os dois móveis que deverão se encontrar em um tempo futuro são
Igualando os espaços de cada par e exigindo $t>0$:
A e C: $-5+2t=5t\Rightarrow t=-\tfrac53\text{ s}$ (passado). A e D: $-5+2t=-1-t\Rightarrow t=\tfrac43\text{ s}$ (futuro). B e C: $t=-\tfrac78\text{ s}$. B e D: $t=-3\text{ s}$. C e D: $t=-\tfrac16\text{ s}$.
Só A e D se encontram em um instante futuro.
O mecanismo de transmissão dos primeiros veículos a explosão consistia em um engenhoso sistema que contava com o atrito entre $2$ discos metálicos. Um disco, menor, capaz de girar solidário com o par de rodas tratoras do veículo, podia ser movido sobre o eixo das rodas pela ação de uma alavanca, permitindo o contato em qualquer ponto do diâmetro do segundo disco diretamente ligado ao motor, de onde se obtinham movimentos à frente ou à ré, com velocidades variadas.
Se os raios do disco maior, do disco menor e das rodas têm, respectivamente, $0{,}30\text{ m}$, $0{,}20\text{ m}$ e $0{,}40\text{ m}$, o módulo da velocidade máxima de um veículo cujo motor trabalha com rotação constante de $240\text{ rpm}$ é, aproximadamente, em m/s,
(supor que os discos não patinem e $\pi=3$)
Frequência do motor: $240\text{ rpm}=4\text{ Hz}$, logo $\omega=2\pi f=24\text{ rad/s}$.
A velocidade máxima ocorre com o contato na borda do disco maior ($r=0{,}30\text{ m}$): $v_{contato}=24\times0{,}30=7{,}2\text{ m/s}$.
Sem patinar, a borda do disco menor tem a mesma velocidade: $\omega_{menor}=\dfrac{7{,}2}{0{,}20}=36\text{ rad/s}$, que é também a velocidade angular das rodas.
$v=\omega_{roda}R_{roda}=36\times0{,}40=14{,}4\text{ m/s}$.
O piloto de uma lancha que se movimenta para frente com velocidade de $54\text{ km/h}$ inverte o sentido de rotação das hélices, pondo a embarcação em um movimento retilíneo uniformemente retardado que atinge velocidade nula ao fim dos $50\text{ m}$ que separam a lancha do ancoradouro. O módulo da aceleração da lancha é, em m/s², igual a
$54\text{ km/h}=15\text{ m/s}$. Por Torricelli: $0=15^{2}-2a\times50\Rightarrow a=\dfrac{225}{100}=2{,}25\text{ m/s}^2$.
Na cerimônia de batismo de um navio, uma garrafa de vinho espumante presa por uma corda descreve um arco de circunferência após ser arremessada de encontro ao casco, quebrando-se no choque com este.
Considerando nula a ação resistiva do ar, a figura que indica a resultante das forças que atuam sobre a garrafa no momento em que ela passa pelo ponto mais baixo de seu percurso é
No ponto mais baixo da trajetória circular, a velocidade é horizontal e a componente tangencial da resultante é nula (o peso é perpendicular à trajetória). Resta a componente centrípeta, que aponta para o centro da circunferência, isto é, verticalmente para cima.
Conforme a figura B, a resultante é uma seta vertical para cima, com módulo $T-P=\dfrac{mv^{2}}{R}$.
Feita de aço revestido internamente com materiais refratários, a porta corta-chamas é um dispositivo de segurança que permite restringir o alastramento de um incêndio, isolando um ambiente em chamas de outro ainda intacto. O esquema apresenta um modelo que tem seu fechamento devido exclusivamente à ação da força peso. Esta porta, com peso de $10\,100\text{ N}$, quando liberada, inicia uma descida com $5{,}74^\circ$ de inclinação, percorrendo sobre o trilho uma distância de $7{,}2\text{ m}$, enquanto traciona o contrapeso que diminui a aceleração do conjunto. A massa do contrapeso para que a porta tenha seu fechamento completo em $12\text{ s}$ deve ser, em kg, igual a
Dados: $g=10\text{ m/s}^2$; $\operatorname{sen}5{,}74^\circ=0{,}1$.
Considerar: roldanas e polias ideais; desprezíveis a força de resistência do ar e a energia convertida em movimento de rotação; cabo inextensível e de massa irrelevante.
A porta parte do repouso e percorre $7{,}2\text{ m}$ em $12\text{ s}$: $7{,}2=\dfrac{a}{2}\times12^{2}\Rightarrow a=0{,}1\text{ m/s}^2$.
Massa da porta: $m=\dfrac{10\,100}{10}=1\,010\text{ kg}$. Componente do peso ao longo do trilho: $P\operatorname{sen}5{,}74^\circ=1\,010\text{ N}$.
Para o sistema porta + contrapeso (massa $M$, cujo peso $10M$ se opõe ao movimento), com a mesma aceleração:
$1\,010-10M=(1\,010+M)\times0{,}1\Rightarrow909=10{,}1M\Rightarrow M=90\text{ kg}$.
O esquema mostra o sistema de freios dianteiros de uma bicicleta no momento em que o ciclista imprime força máxima ao cabo de aço vertical, mantendo o segundo cabo tenso e em equilíbrio de acordo com o ângulo $\theta$ de valor $145^\circ$. Se o ângulo $\theta$ for reajustado para $125^\circ$, as forças horizontais sobre os parafusos $P_1$ e $P_2$ que prendem o segundo cabo de aço terão seus valores aumentados em
Dados: $\operatorname{tg}35^\circ=0{,}7$; $\operatorname{tg}55^\circ=1{,}4$
A força $F$ do cabo vertical é equilibrada pelas componentes verticais das tensões do segundo cabo, uma de cada lado: $2T\cos\alpha$ ou, equivalentemente, a componente vertical em cada ramo vale $F/2$, e a horizontal é $H=\dfrac{F/2}{\operatorname{tg}\beta}$, em que $\beta=\theta-90^\circ$ é o ângulo de cada ramo com a horizontal.
Para $\theta=145^\circ$: $\beta=55^\circ$ e $H_1=\dfrac{F}{2\times1{,}4}$. Para $\theta=125^\circ$: $\beta=35^\circ$ e $H_2=\dfrac{F}{2\times0{,}7}$.
$\dfrac{H_2}{H_1}=\dfrac{1{,}4}{0{,}7}=2$: a força horizontal dobra, um aumento de $100\%$.
Dois corpos pontuais de massas iguais equivalentes à de um palito de fósforo queimado ($0{,}1\text{ g}$) estão próximos $8\text{ mm}$ um do outro. A força gravitacional que é trocada pelos corpos, em newtons, tem ordem de grandeza
Dado: constante de gravitação universal: $G=6{,}7\cdot10^{-11}\text{ N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$
$m=0{,}1\text{ g}=10^{-4}\text{ kg}$ e $d=8\text{ mm}=8\times10^{-3}\text{ m}$.
$F=\dfrac{Gm^{2}}{d^{2}}=\dfrac{6{,}7\times10^{-11}\times10^{-8}}{6{,}4\times10^{-5}}\approx1{,}05\times10^{-14}\text{ N}$.
A ordem de grandeza é $10^{-14}\text{ N}$.
Veja esta tirinha:
(Quino, Gente en su sitio. Adaptado)
Sendo $3{,}2\text{ m}$ a altura entre os pisos superior e inferior, o módulo da velocidade de chegada no piso inferior ao se utilizar o escorregador é, em m/s,
Considerar: a aceleração da gravidade, $g=10\text{ m/s}^2$; ausentes quaisquer ações dissipativas.
Sem dissipação, $mgh=\dfrac{mv^{2}}{2}\Rightarrow v=\sqrt{2gh}=\sqrt{2\times10\times3{,}2}=\sqrt{64}=8\text{ m/s}$.
Um balde de massa $800\text{ g}$ contendo inicialmente $20\text{ L}$ de água é levado a partir do solo até uma altura de $5\text{ m}$ em $20\text{ s}$, com velocidade constante. O balde tem uma rachadura que o faz perder água à razão de $0{,}08\text{ L/s}$, que pode ser considerada constante para o curto intervalo de tempo decorrido. Sendo inextensível e de massa desprezível a corda que traciona o balde, o trabalho da força peso durante o içamento é, em joules,
Dados: $g=10\text{ m/s}^2$; densidade da água: $d_{água}=1\text{ kg/L}$
Em $20\text{ s}$ o balde perde $0{,}08\times20=1{,}6\text{ L}$. A massa total passa de $20{,}8\text{ kg}$ para $19{,}2\text{ kg}$ ($0{,}8$ do balde mais a água), com variação linear, e vale em média $20{,}0\text{ kg}$. A subida é uniforme, logo o peso médio vale $200\text{ N}$ (sobre toda a altura).
$|W_P|=\bar P\,h=200\times5=1\,000\text{ J}$.
O trabalho do peso é resistente na subida, então, a rigor, seria $-1\,000\text{ J}$. A alternativa do gabarito oficial (C) dá o valor em módulo.
Uma balsa para pescaria foi feita unindo-se $100$ garrafas de refrigerante. As garrafas foram colocadas fechadas e vazias em um engradado encimado por uma placa fina de madeira como piso. Quando a balsa foi colocada sem carga na água, cada garrafa de $2\text{ L}$ da balsa teve $\tfrac14$ de seu volume submerso. Com o pescador e seu equipamento, o volume submerso de cada garrafa passou a ser de $\tfrac34$. Nestas condições, a massa do pescador e seu equipamento, em kg, somam
Dados: $g=10\text{ m/s}^2$; $d_{água}=1\times10^{3}\text{ kg/m}^3$; $1\text{ m}^3=10^{3}\text{ L}$.
O peso adicional é equilibrado pelo aumento do empuxo, causado pelo volume extra submerso: $\Delta V=\left(\tfrac34-\tfrac14\right)\times2\text{ L}\times100=100\text{ L}$.
Como $d_{água}=1\text{ kg/L}$, $m\,g=\Delta E=d\,\Delta V\,g\Rightarrow m=1\times100=100\text{ kg}$.
Um casal americano retira pela internet uma receita do famoso queijo branco cujos ingredientes básicos são leite, coalho e sal. O problema estava em aquecer o leite até a temperatura de $35\,^\circ\text{C}$ exigida pela receita, visto que dispunham apenas de um termômetro em Fahrenheit. Após alguns cálculos, o sonhado queijinho pôde ser produzido ao verificar-se que a temperatura correspondente, em $^\circ\text{F}$, era
$\dfrac{\theta_C}{5}=\dfrac{\theta_F-32}{9}\Rightarrow\theta_F=1{,}8\times35+32=95\,^\circ\text{F}$.
A sublimação direta ou inversa de uma substância ocorre quando esta estiver a uma
No diagrama de fases, a passagem direta entre sólido e gás só ocorre a pressões abaixo da pressão do ponto triplo. Acima dela, ao variar a temperatura, a substância passa pelo estado líquido.
No quadro estão descritas circunstâncias nas quais um gás perfeito sofre algumas transformações:
Transformação 1: a temperatura constante
Transformação 2: sob pressão constante
Transformação 3: sem troca de calor com o meio externo
Transformação 4: a volume constante
As transformações $1$, $2$, $3$ e $4$ são, nesta ordem:
Temperatura constante: isotérmica. Pressão constante: isobárica. Sem troca de calor: adiabática. Volume constante: isométrica (ou isocórica).
Após ter aprendido o procedimento seguido por Joule para obter o equivalente mecânico do calor, um estudante curioso decidiu realizar um experimento comprobatório. Colocou $1\text{ L}$ de água no interior do liquidificador de sua casa e fazendo o mesmo funcionar por $2$ minutos em potência máxima, verificou que a água havia sofrido um acréscimo de $4\,^\circ\text{C}$ em sua temperatura. Determinou, então, a energia transferida para a água inicialmente em calorias, passando depois para joules. Em seguida, calculou a energia utilizada pelo liquidificador durante o tempo do experimento, baseando-se no valor máximo de potência, $400\text{ W}$, transcrito do gabinete do aparelho. Ao comparar os $2$ valores obtidos, que esperava fossem iguais, percebeu que não poderia desconsiderar as dissipações de energia de seu sistema, uma vez que do total consumido pelo liquidificador, a parcela transferida para a água correspondia a
Dados: $d_{água}=1\text{ kg/L}$; $c_{água}=1\text{ cal/g}\cdot{}^\circ\text{C}$; $1\text{ cal}=4{,}2\text{ J}$.
Calor recebido pela água: $Q=mc\Delta\theta=1\,000\times1\times4=4\,000\text{ cal}=16\,800\text{ J}$.
Energia consumida pelo liquidificador: $E=P\,\Delta t=400\times120=48\,000\text{ J}$.
$\dfrac{16\,800}{48\,000}=0{,}35=35\%$.
Usando um espelho esférico ideal, um estudante anota cuidadosamente dados de suas observações sobre as imagens obtidas de um objeto real, posicionado sobre o eixo principal nas distâncias relacionadas na tabela.
Distância do objeto ao vértice (cm) — Apresentação da imagem
$10$ — direita
$30$ — direita
$50$ — invertida
$70$ — invertida
$90$ — invertida
$110$ — invertida
Considere as afirmativas:
I. quando o objeto encontra-se a $30\text{ cm}$ do vértice do espelho, o aumento transversal linear é maior que $1$;
II. deve-se obter imagem imprópria quando o objeto está num ponto específico localizado entre as distâncias $30\text{ cm}$ e $50\text{ cm}$ do vértice;
III. o centro de curvatura do espelho está entre as posições $60\text{ cm}$ e $100\text{ cm}$, relativamente ao vértice;
IV. ao se posicionar o objeto a $110\text{ cm}$ do vértice, a imagem obtida será real e menor.
É correto o contido em
Imagem direita de objeto real só ocorre com o objeto entre o foco e o vértice de um espelho côncavo (imagem virtual, direita e maior). A imagem é direita a $30\text{ cm}$ e invertida a $50\text{ cm}$, logo o foco está entre $30$ e $50\text{ cm}$, e o raio de curvatura $R=2f$ está entre $60$ e $100\text{ cm}$.
I: a $30\text{ cm}$ o objeto está entre foco e vértice, e o aumento é maior que $1$. Correta.
II: com o objeto sobre o foco, a imagem é imprópria (no infinito); o foco está entre $30$ e $50\text{ cm}$. Correta.
III: $R=2f$, com $f$ entre $30$ e $50\text{ cm}$. Correta.
IV: a $110\text{ cm}$, além do centro de curvatura ($R<100\text{ cm}$), a imagem é real, invertida e menor. Correta.
As quatro afirmativas estão corretas.
Para que $2$ lentes delgadas biconvexas A e B empregadas em sondas espaciais ($n_{vácuo}=1$) e feitas com vidro crown ($n_{crown}=1{,}5$) tenham a mesma convergência, é necessário que as relações entre os raios de curvatura $R_1$ e $R_2$ de ambas as lentes assumam um valor constante dado por
A convergência é $C=(n-1)\left(\dfrac1{R_1}+\dfrac1{R_2}\right)=(n-1)\dfrac{R_1+R_2}{R_1\cdot R_2}$.
Com o mesmo material e o mesmo meio ($n$ constante), $C$ é igual nas duas lentes quando $\dfrac{R_1+R_2}{R_1\cdot R_2}$ assume o mesmo valor.
O ECO
O menino pergunta ao eco
onde é que ele se esconde.
Mas o eco só responde: "Onde? Onde?"
O menino também lhe pede:
"Eco, vem passear comigo!"
Mas não sabe se o eco é amigo
ou inimigo.
Pois só lhe ouve dizer:
"Migo!" (Cecília Meireles)
Admita que
• a velocidade de propagação do som no ar seja $340\text{ m/s}$;
• o menino encontra-se a $17\text{ m}$ de uma parede perfeitamente refletora de ondas sonoras;
• os diferentes sons do verso "Eco, vem passear comigo!" – o que o menino ouve de sua própria fala e o que ele ouve devido ao eco – estão distribuídos temporalmente no eixo representado na figura:
Pode-se dizer que o tempo decorrido na emissão integral do verso "Eco, vem passear comigo!" é, em s,
O som percorre ida e volta até a parede: $2\times17=34\text{ m}$, em $\Delta t=\dfrac{34}{340}=0{,}1\text{ s}$. É o atraso entre cada sílaba falada e seu eco.
Na figura, esse atraso corresponde ao deslocamento do eco em relação ao verso (cerca de $70$ unidades de escala). O verso inteiro ocupa cerca de $750$ dessas unidades, ou seja, cerca de $11$ vezes o atraso.
$T\approx11\times0{,}1=1{,}1\text{ s}$.
Considere as afirmações sobre um solenóide que é submetido à passagem de uma corrente elétrica constante de valor $2\text{ A}$.
I. O módulo do campo magnético mantém-se inalterado quando o sentido da corrente elétrica é invertido.
II. No centro do solenóide, as linhas de indução são paralelas aos planos que contêm suas espiras.
III. O módulo do campo magnético diminuirá se a intensidade da corrente elétrica diminuir para $1\text{ A}$.
Está correto o contido em
I: inverter a corrente inverte o sentido do campo, mas não o módulo $B=\mu nI$. Correta.
II: no interior do solenóide, as linhas são paralelas ao eixo, portanto perpendiculares aos planos das espiras. Falsa.
III: $B\propto I$; reduzir a corrente reduz o módulo do campo. Correta.
Observe o circuito:
Os números de nós, ramos e malhas considerados para a aplicação das leis de Kirchhoff são, respectivamente:
Há dois nós (os pontos onde se ligam o ramo da fonte, $R_3$ e $R_4$) e três ramos: o da fonte com $R_1$ e $R_2$, o de $R_3$ e o de $R_4$.
Contando todas as malhas fechadas possíveis (as duas internas e a externa), são três, conforme o gabarito oficial. Apenas duas delas são independentes.
Inserem-se as seguintes partículas em uma região onde atua apenas um campo magnético uniforme e estacionário não nulo:
I. um elétron em repouso;
II. um elétron dotado com velocidade de mesma direção que a do campo e sentido oposto a este;
III. um nêutron com quantidade de movimento transversal às linhas do campo;
IV. um próton movimentando-se perpendicularmente às linhas de campo.
Ocorrerá interação entre partículas e campo apenas em
A força magnética $F=qvB\operatorname{sen}\theta$ exige carga, velocidade não nula e velocidade não paralela ao campo.
I: em repouso, $v=0$. II: velocidade paralela ao campo, $\operatorname{sen}\theta=0$. III: o nêutron não tem carga. IV: o próton tem carga e velocidade perpendicular ao campo.
Só no caso IV há interação.
Os $4$ fios do mesmo material e de comprimentos diferentes estão interligados conforme a configuração esquematizada. Quando nos pontos A e B do circuito é ligado um gerador, a diferença de potencial entre os pontos C e D, lida pelo voltímetro, é zero. Se o fio $x$ tem o dobro da área de secção transversal dos outros $3$, seu comprimento é, em m, igual a
Com o voltímetro marcando zero, a ponte está em equilíbrio: $\dfrac{R_{AD}}{R_{DB}}=\dfrac{R_{AC}}{R_{CB}}$.
Para fios do mesmo material, $R=\dfrac{\rho L}{A}$. Sendo $A$ a área dos fios comuns, $R_{CB}=\dfrac{\rho x}{2A}$.
$\dfrac{6}{8}=\dfrac{3}{x/2}\Rightarrow\dfrac x2=4\Rightarrow x=8\text{ m}$.