O crescimento em altura de uma determinada espécie de árvore, a partir do plantio, pode ser modelado pela equação
$h = a\,t^{2},$
em que $h$ é a altura expressa em metros, $a = 0{,}2\ \text{m/ano}^2$ é uma constante e $t$ é o tempo em anos.
Passados 5 anos do plantio de uma dessas árvores, um fruto se desprende do ponto mais alto de sua copa. Neste caso, o intervalo de tempo que o fruto levará para atingir o solo, em segundos, é igual a:
Dado: aceleração da gravidade $g = 10\ \text{m/s}^2$
a)1
b)2
c)3
d)4
e)5
Gabarito oficial
a)
Resolução
Altura da copa aos 5 anos: $h = 0{,}2\cdot5^{2}=5\ \text{m}$.
Queda livre a partir do repouso: $h=\tfrac12 g\,t^{2}$, logo
Mecânica — Trabalho e energia — Potência de um guindaste
Na construção de um prédio na cidade de Belém, é empregado um guindaste de potência igual a $6\ \text{kW}$ para o transporte de materiais.
Admita que uma caixa de $400\ \text{kg}$, contendo ferramentas, seja içada do chão até a parte superior de um prédio de 20 andares, em que cada andar possui $3\ \text{m}$ de altura. Neste caso, o tempo de içamento da caixa pelo guindaste, em segundos, é igual a:
Dado: aceleração da gravidade $g = 10\ \text{m/s}^2$
a)10
b)20
c)30
d)40
e)50
Gabarito oficial
d)
Resolução
Altura do prédio: $h=20\cdot3=60\ \text{m}$. Trabalho para içar a caixa (velocidade constante): $W=mgh=400\cdot10\cdot60=2{,}4\times10^{5}\ \text{J}$.
Mecânica — Cinemática — Velocidade média na queda de uma árvore
Uma forte chuva provocou a queda de uma mangueira de $8\ \text{m}$ de altura na cidade de Belém. Considerando que a árvore, levou $4\ \text{s}$ para atingir o solo, a velocidade média, em m/s, do topo da copa da árvore foi aproximadamente igual a:
Dado: $\pi = 3$
a)3
b)6
c)9
d)12
e)15
Gabarito oficial
a)
Resolução
Ao tombar, a árvore gira em torno da base do tronco e o topo da copa descreve um quarto de circunferência de raio $R=8\ \text{m}$ (da posição vertical até o solo, ou seja, $90^{\circ}$):
Ressalva: o enunciado não descreve o movimento da queda. Esta resolução supõe que a árvore tomba girando $90^{\circ}$ em torno da base, interpretação que usa o dado $\pi=3$ e leva a uma das alternativas e ao gabarito oficial. Se o topo caísse em linha reta (queda de $8\ \text{m}$ em $4\ \text{s}$), a velocidade média seria $2\ \text{m/s}$, valor que não consta nas alternativas.
Alternativa correta: a)
39
Mecânica — Quantidade de movimento — Colisão entre automóvel e caminhão
Um motorista atendeu a uma ligação enquanto dirigia seu automóvel, utilizando o telefone celular. A perda de concentração momentânea ocasionada por esse ato durou $2\ \text{s}$, tempo suficiente para o automóvel percorrer $30\ \text{m}$, com velocidade constante. Após esse intervalo de tempo, o automóvel colidiu com um caminhão que estava parado logo à sua frente, de tal forma que, após a colisão, os dois veículos ficaram atrelados. Admitindo que a massa do automóvel seja de $1000\ \text{kg}$ e que a massa do caminhão seja de $4000\ \text{kg}$, a velocidade do sistema formado pelos dois veículos, logo após a colisão, em m/s, foi igual a:
a)1
b)2
c)3
d)4
e)5
Gabarito oficial
c)
Resolução
Velocidade do automóvel antes da colisão: $v=\dfrac{30}{2}=15\ \text{m/s}$.
Na colisão, a quantidade de movimento do sistema se conserva (forças externas desprezíveis durante o choque):
Mecânica — Estática — Tração nas cordas das argolas
(Fotos-Arthur Zanetti.com.br)
A figura abaixo mostra o brasileiro Arthur Zanetti se apresentando nas Olimpíadas de Londres, em três situações, nas argolas, aparelho em que ele conquistou a medalha de ouro para o Brasil. Sejam $T_A$, $T_B$ e $T_C$ as trações experimentadas pelas cordas que sustentam o atleta, respectivamente nas situações A, B e C.
Sendo $P$ o peso do atleta, e sabendo-se que os ângulos $\alpha$ e $\beta$ satisfazem a desigualdade $\alpha<\beta$, afirma-se que:
a)a tração $T_A$ é menor do que a tração $T_B$
b)a tração $T_C$ é maior do que a tração $T_B$
c)as trações $T_A$, $T_B$, e $T_C$ são iguais e valem $P/2$
d)desprezando o peso das argolas e das cordas, $T_C$ é igual a $P/2$
e)nas três situações o equilíbrio do atleta é instável
Gabarito oficial
d)
Resolução
Cada uma das duas cordas sustenta metade do peso na direção vertical. Em cada corda, $T\,\operatorname{sen}\theta=P/2$, em que $\theta$ é o ângulo da corda com a horizontal (cordas simétricas).
(a) e (b) — Com $\alpha<\beta$, $\operatorname{sen}\alpha<\operatorname{sen}\beta$ e, portanto, $T_A=\dfrac{P}{2\operatorname{sen}\alpha}>T_B=\dfrac{P}{2\operatorname{sen}\beta}$. A tração em A é maior que em B (a é falsa). Em C as cordas estão na vertical ($\theta=90^{\circ}$), de modo que $T_C=P/2$ é a menor de todas (b é falsa).
(c) — Só $T_C$ vale $P/2$; as outras são maiores. Falsa.
(d) — Com as cordas verticais, cada uma sustém metade do peso do atleta: $T_C=P/2$, desprezando o peso das argolas e das cordas. Verdadeira.
(e) — Não há elementos no enunciado que indiquem instabilidade do equilíbrio; a afirmação não é sustentada pelo texto.
Alternativa correta: d)
41
Mecânica — Trabalho e energia — Energia mecânica na megarrampa
Este ano ocorreu, no Rio de Janeiro, a megarrampa, a competição mais radical do esqueitismo, que faz uso da estrutura mostrada na figura abaixo. A rampa tem $27\ \text{m}$ de altura, o que corresponde a um prédio de 9 andares, e um vão livre, após a primeira descida, para manobras aéreas. A parte mais baixa da rampa, na primeira descida, se encontra a $3\ \text{m}$ do solo. Um competidor de massa igual a $70\ \text{kg}$, partindo do topo da rampa, inicialmente em repouso, atinge a velocidade de $72\ \text{km/h}$ ao final da primeira descida.
(Adaptado de skateonline.com.br)
Dados: aceleração da gravidade $g = 10\ \text{m/s}^2$. Despreze a massa do esqueite.
Sobre as informações acima, são feitas as seguintes afirmações:
I. A energia mecânica dissipada até atingir o ponto mais baixo da primeira descida vale $2{,}8\ \text{kJ}$.
II. A energia potencial, em relação ao solo, ao atingir o ponto mais baixo da primeira descida, vale $16{,}8\ \text{kJ}$.
III. A energia mecânica inicial em relação ao solo vale $18{,}9\ \text{kJ}$.
IV. A energia cinética, ao atingir o ponto mais baixo da primeira descida, vale aproximadamente $180\ \text{kJ}$.
A alternativa que contém todas as afirmativas corretas é:
a)I e II
b)I e III
c)II e III
d)I e IV
e)III e IV
Gabarito oficial
b)
Resolução
Velocidade no ponto mais baixo: $72\ \text{km/h}=20\ \text{m/s}$.
III — correta. No topo ($h=27\ \text{m}$) e em repouso: $E_{m,i}=mgh=70\cdot10\cdot27=18\,900\ \text{J}=18{,}9\ \text{kJ}$.
II — falsa. No ponto mais baixo ($h=3\ \text{m}$): $E_p=70\cdot10\cdot3=2100\ \text{J}=2{,}1\ \text{kJ}$ (e não $16{,}8\ \text{kJ}$).
IV — falsa. $E_c=\tfrac12 mv^{2}=\tfrac12\cdot70\cdot20^{2}=14\,000\ \text{J}=14\ \text{kJ}$ (e não $180\ \text{kJ}$).
I — correta. A energia dissipada é a diferença entre a energia inicial e a final:
Com 82 anos, morreu, em 25 de agosto de 2012, aquele que reescreveu a história da humanidade no século XX, o primeiro homem a pisar na Lua. O astronauta americano Neil Armstrong, comandante da missão Apollo 11, pisou em solo lunar em 20 de julho de 1969, quando cunhou a célebre frase: "É um pequeno passo para um homem, mas um grande salto para a humanidade".
A nave Apollo 11 orbitou em torno da Lua em uma órbita circular de raio aproximadamente igual a $1850\ \text{km}$, movendo-se a uma velocidade constante de aproximadamente $5800\ \text{km/h}$.
(Adaptado de www.g1.globo.com – acessado em 25/08/2012)
Sobre o Texto V são feitas as seguintes afirmações:
I. Se Armstrong, após descer na Lua, tivesse lançado uma moeda verticalmente para cima, o tempo gasto pela moeda para atingir a altura máxima seria menor do que o tempo gasto na Terra.
II. Sabendo-se que a órbita circular da Apollo 11 foi mantida por meio da aplicação da força gravitacional lunar, a aceleração centrípeta da nave foi aproximadamente igual a $18\ \text{m/s}^2$.
III. A força aplicada pelo solo nos pés de Armstrong, ao pisar pela primeira vez na Lua, foi menor do que a força exercida pela superfície terrestre em seus pés antes dele subir na nave.
IV. Sabendo-se que a Apollo 11 deu 12 voltas completas em torno da Lua, descrevendo um movimento circular uniforme, o período do movimento orbital da nave foi aproximadamente igual a $115\ \text{min}$.
Dado: $\pi=3$
A alternativa que contém todas as afirmativas corretas é:
a)I e II
b)I e III
c)II e III
d)I e IV
e)III e IV
Gabarito oficial
e)
Resolução
I — falsa. A gravidade na Lua é menor que na Terra. Para um lançamento vertical, o tempo de subida é $t=v_0/g$, que é maior na Lua.
II — falsa. $v=5800\ \text{km/h}=\dfrac{5800}{3{,}6}\approx1611\ \text{m/s}$ e $R=1{,}85\times10^{6}\ \text{m}$:
$a_c=\dfrac{v^{2}}{R}=\dfrac{(1611)^{2}}{1{,}85\times10^{6}}\approx1{,}4\ \text{m/s}^{2}$ (e não $18\ \text{m/s}^2$).
III — correta. Em repouso sobre o solo, a força normal iguala o peso, $N=mg$. Como $g_{Lua}<g_{Terra}$, a força do solo lunar nos pés de Armstrong é menor que a do solo terrestre.
IV — correta. O enunciado diz que o movimento é circular e uniforme, então o período de uma volta é
Ressalva: o número de voltas citado em IV (12) não é necessário para calcular o período de uma volta, que é o que a afirmação pede. Interpretei “período do movimento orbital” como o tempo de uma volta completa.
