Núcleos atômicos podem girar rapidamente e emitir raios $\gamma$. Nesse processo, o núcleo perde energia, passando sucessivamente por estados de energia cada vez mais baixos, até chegar ao estado fundamental, que é o estado de menor energia desse sistema. Nos laboratórios onde esses núcleos são estudados, detectores registram dados dos pulsos da radiação $\gamma$ emitida, obtendo informações sobre o período de rotação nuclear. A perda de energia devido à emissão de radiação eletromagnética altera o período de rotação nuclear. O gráfico mostra quatro valores do período de rotação de um dos isótopos do núcleo de érbio (${}^{158}\mathrm{Er}$) durante um certo intervalo de tempo, obtidos a partir de dados experimentais. Obtenha o valor da
a) velocidade angular de rotação, $\omega$, do núcleo no instante $t=8\times10^{-12}\text{s}$, em rad/s;
b) aceleração angular média, $\alpha$, do núcleo entre os instantes $t=2\times10^{-12}\text{s}$ e $t=8\times10^{-12}\text{s}$, em rad/s²;
c) aceleração centrípeta, $a_c$, de uma porção de matéria nuclear localizada a uma distância $R=6\times10^{-15}\text{m}$ do eixo de rotação nuclear para o instante $t=8\times10^{-12}\text{s}$;
d) energia, $E$, emitida pelo ${}^{158}\mathrm{Er}$ sob a forma de radiação eletromagnética entre os instantes $t=2\times10^{-12}\text{s}$ e $t=8\times10^{-12}\text{s}$.
Energia rotacional do núcleo $E_R=\frac12I\omega^2$, onde $I=12\times10^{-55}\text{J}\,\text{s}^2$ é constante.
$\pi=3$.
a) Em $t=8\times10^{-12}\text{s}$, o gráfico fornece $T=9\times10^{-21}\text{s}$. Assim, $\omega=2\pi/T=6/(9\times10^{-21})\approx6{,}7\times10^{20}\text{rad/s}$.
b) Em $t=2\times10^{-12}\text{s}$, $T=7\times10^{-21}\text{s}$ e $\omega_i\approx8{,}6\times10^{20}\text{rad/s}$. Logo, $\alpha_m=(\omega_f-\omega_i)/\Delta t\approx-3{,}2\times10^{31}\text{rad/s}^2$.
c) $a_c=\omega^2R\approx(6{,}7\times10^{20})^2(6\times10^{-15})\approx2{,}7\times10^{27}\text{m/s}^2$.
d) $E=\frac12I(\omega_i^2-\omega_f^2)=\frac12(12\times10^{-55})[(6/(7\times10^{-21}))^2-(6/(9\times10^{-21}))^2]\approx1{,}7\times10^{-13}\text{J}$.
Um grupo de alunos, em uma aula de laboratório, eletriza um canudo de refrigerante por atrito, com um lenço de papel. Em seguida, com o canudo, eles eletrizam uma pequena esfera condutora, de massa 9 g, inicialmente neutra, pendurada em um fio de seda isolante, de comprimento L, preso em um ponto fixo P. No final do processo, a esfera e o canudo estão com cargas de sinais opostos.
a) Descreva as etapas do processo de eletrização da esfera.
Em seguida, os alunos colocam a esfera eletrizada ($E_1$) em contato com outra esfera ($E_2$), idêntica à primeira, eletricamente neutra e presa na extremidade de outro fio de seda isolante, também de comprimento L, fixo no ponto P. O sistema adquire a configuração ilustrada na figura, sendo d = 8 cm. Para o sistema em equilíbrio nessa configuração final, determine
b) o módulo da tensão $\vec T$ em um dos fios isolantes;
c) o módulo da carga $q_2$ da esfera $E_2$;
d) a diferença N entre o número de elétrons e de prótons na esfera $E_2$ após a eletrização.
Aceleração da gravidade: $10\text{m/s}^2$.
Força elétrica entre duas cargas puntiformes $Q_1$ e $Q_2$, distantes $r$ uma da outra: $KQ_1Q_2/r^2$; $K=9\times10^9\text{N}\,\text{m}^2/\text{C}^2$.
Carga do elétron: $1{,}6\times10^{-19}\text{C}$.
Ignore a massa dos fios.
a) O canudo eletrizado é aproximado da esfera neutra, provocando separação de cargas. Mantendo-o próximo, toca-se a esfera para ligá-la à Terra; desfaz-se primeiro o contato com a Terra e depois se afasta o canudo. A esfera fica eletrizada por indução, com carga de sinal oposto à do canudo.
b) No equilíbrio vertical, $T\cos\theta=mg$. Com $\cos\theta=1$, $T=0{,}009\times10=9\times10^{-2}\text{N}$.
c) $F_e=T\sin\theta=9\times10^{-3}\text{N}$. Como as esferas condutoras são idênticas, o contato divide igualmente a carga: $q_1=q_2$. Assim, $F_e=Kq^2/d^2$, resultando em $q=8\times10^{-8}\text{C}$.
d) $N=|q|/e=(8\times10^{-8})/(1{,}6\times10^{-19})=5\times10^{11}$.
Um espectrômetro óptico, representado na figura, utiliza um prisma como elemento de dispersão da luz de diferentes comprimentos de onda. O espectrômetro possui uma fenda de entrada de luz, $F_1$, uma lente convergente, $L_1$, um prisma de vidro com ângulos internos de $60^\circ$ e uma segunda lente convergente, $L_2$, que permite a focalização do comprimento de onda da luz refratada pelo prisma em uma fenda, $F_2$, imediatamente à frente do detector $D$. Cada comprimento de onda é focalizado em posições laterais diferentes no plano focal de $L_2$.
a) Determine a distância focal, f, da lente $L_1$, posicionada a 30 mm da fenda $F_1$, para que um feixe de luz branca, difratado pela fenda $F_1$, incida no prisma com os seus raios paralelos entre si.
b) O espectrômetro foi construído impondo-se que um raio de luz violeta ($\lambda_{\mathrm{violeta}}=400\text{nm}$) se propague no interior do prisma ($n=1{,}53$ para a luz violeta), paralelamente à sua face inferior. Nesta condição, determine o valor do ângulo de incidência, i, da luz branca, em relação à normal à superfície do prisma.
Para este espectrômetro, o gráfico na página de respostas apresenta o desvio angular, d, entre o feixe incidente e o feixe emergente do prisma, em função do comprimento de onda da luz refratada.
c) Determine a diferença no desvio angular, $\Delta d$, entre os feixes de luz violeta ($\lambda_{\mathrm{violeta}}=400\text{nm}$) e vermelha ($\lambda_{\mathrm{vermelho}}=700\text{nm}$) refratados pelo prisma.
d) Considere que a distância da lente $L_2$ ao ponto P seja 20 cm. Determine o deslocamento lateral, $\Delta S$, em relação à posição de medida para o raio violeta, do conjunto $F_2$ e D, para que o feixe de luz vermelha seja detectado.
Para ângulos pequenos ($\theta<15^\circ$), utilizar a aproximação trigonométrica $\sin\theta\approx\tan\theta\approx\theta/60$, para $\theta$ em graus.
$1\text{nm}=10^{-9}\text{m}$.
Índice de refração do ar: $n_{\mathrm{ar}}=1$.
A abertura de ambas as fendas é cerca de 10 vezes os comprimentos de ondas envolvidos.
a) Para que os raios saiam paralelos, a fenda deve estar no foco de $L_1$. Portanto, $f=30\text{mm}$.
b) A geometria fornece refração de $30^\circ$. Pela lei de Snell, $\sin i=1{,}53\sin30^\circ\approx0{,}77$, portanto $i=50^\circ$.
c) A leitura do gráfico da folha de respostas fornece $d_{400}\approx41{,}3^\circ$, $d_{700}\approx39{,}9^\circ$ e $\Delta d\approx1{,}4^\circ$.
d) $\Delta S=20\tan(\Delta d)\approx20(1{,}4/60)\approx0{,}47\text{cm}$.
O motor Stirling, uma máquina térmica de alto rendimento, é considerado um motor ecológico, pois pode funcionar com diversas fontes energéticas. A figura I mostra esquematicamente um motor Stirling com dois cilindros. O ciclo termodinâmico de Stirling, mostrado na figura II, representa o processo em que o combustível é queimado externamente para aquecer um dos dois cilindros do motor, sendo que uma quantidade fixa de gás inerte se move entre eles, expandindo-se e contraindo-se. Nessa figura está representado um ciclo de Stirling no diagrama P × V para um mol de gás ideal monoatômico. No estado A, a pressão é $P_A=4\text{atm}$, a temperatura é $T_1=27^\circ\text{C}$ e o volume é $V_A$. A partir do estado A, o gás é comprimido isotermicamente até um terço do volume inicial, atingindo o estado B. Na isoterma T₁, a quantidade de calor trocada é $Q_1=2640\text{J}$, e, na isoterma $T_2$, é $Q_2=7910\text{J}$. Determine
a) o volume $V_A$, em litros;
b) a pressão $P_D$, em atm, no estado D;
c) a temperatura $T_2$.
Considerando apenas as transformações em que o gás recebe calor, determine
d) a quantidade total de calor recebido em um ciclo, $Q_R$, em J.
Constante universal dos gases: $R=8\text{J}/(\text{mol}\cdot\text{K})=0{,}08\text{atm}\cdot\text{L}/(\text{mol}\cdot\text{K})$.
$0^\circ\text{C}=273\text{K}$.
$1\text{atm}=10^5\text{Pa}$.
$1\text{m}^3=1000\text{L}$.
a) $V_A=nRT_1/P_A=(1)(0{,}08)(300)/4=6\ell$.
b) Como $V_B=V_A/3$ e a transformação $AB$ é isotérmica, $P_B=3P_A=12\text{atm}$. O diagrama mostra $B$ e $D$ na mesma linha horizontal, portanto $P_D=P_B=12\text{atm}$.
c) Como $P_D=P_B$ e $V_D=V_A=3V_B$, a equação do gás ideal fornece $T_2/T_1=V_D/V_B=3$. Com $T_1=27+273=300\text{K}$, resulta $T_2=900\text{K}$.
d) O gás recebe calor em $BC$ e $CD$: $Q_R=nC_V(T_2-T_1)+Q_2=12(600)+7910=15110\text{J}$.
Um alto-falante emitindo som com uma única frequência é colocado próximo à extremidade aberta de um tubo cilíndrico vertical preenchido com um líquido. Na base do tubo, há uma torneira que permite escoar lentamente o líquido, de modo que a altura da coluna de líquido varie uniformemente no tempo. Partindo-se do tubo completamente cheio com o líquido e considerando apenas a coluna de ar criada no tubo, observa-se que o primeiro máximo de intensidade do som ocorre quando a altura da coluna de líquido diminui 5 cm e que o segundo máximo ocorre um minuto após a torneira ter sido aberta. Determine
a) o módulo da velocidade V de diminuição da altura da coluna de líquido;
b) a frequência f do som emitido pelo alto-falante.
Sabendo que uma parcela da onda sonora pode se propagar no líquido, determine
c) o comprimento de onda λ deste som no líquido;
d) o menor comprimento L da coluna de líquido para que haja uma ressonância deste som no líquido.
Velocidade do som no líquido: $v_{\mathrm{liq}}=1700\text{m/s}$.
Considere a interface ar–líquido sempre plana.
A ressonância em líquidos envolve a presença de nós na sua superfície.
a) Os dois primeiros máximos correspondem a colunas de ar de $\lambda/4$ e $3\lambda/4$. Como o primeiro ocorre em $5\text{cm}$, o segundo ocorre em $15\text{cm}$. O minuto é contado desde a abertura da torneira, quando a coluna de ar tinha comprimento zero. Assim, $V=15/60=0{,}25\text{cm/s}=2{,}5\times10^{-3}\text{m/s}$.
b) $\lambda_{ar}=4(5\text{cm})=0{,}20\text{m}$ e $f=v_{ar}/\lambda_{ar}=340/0{,}20=1700\text{Hz}$.
c) $\lambda_{liq}=v_{liq}/f=1700/1700=1\text{m}$.
d) Com nós nas duas extremidades da coluna líquida, o menor comprimento é $L=\lambda_{liq}/2=0{,}50\text{m}$.
Uma espira quadrada, de lado L, constituída por barras rígidas de material condutor, de resistência elétrica total R, se desloca no plano xy com velocidade $\vec v$ constante, na direção do eixo x. No instante t = 0, representado na figura, a espira começa a entrar em uma região do espaço, de seção reta quadrada, de lado 2L, onde há um campo magnético $\vec B$ perpendicular a $\vec v$ ; a velocidade da espira é mantida constante por meio da ação de um agente externo. O campo $\vec B$ é uniforme, constante e tem a direção do eixo z, entrando no plano xy.
a) A figura da página de respostas representa a situação para o instante $t_1=L/(2v)$. Indique nessa figura o sentido da corrente elétrica $i_1$ que circula pela espira e determine o seu valor.
b) Determine a corrente $i_2$ na espira para o instante $t_2=3L/(2v)$.
c) Determine a força eletromagnética $\vec F$ (módulo, direção e sentido) que atua na espira no instante $t_3=5L/(2v)$.
a) Ao entrar, o fluxo para dentro da página aumenta. Pela lei de Lenz, a corrente é anti-horária e $i_1=\varepsilon/R=LBv/R$.
b) Em $t_2=3L/(2v)$, a espira está totalmente imersa em campo uniforme e o fluxo é constante. Logo, $i_2=0$.
c) Em $t_3=5L/(2v)$, a espira está saindo da região e a corrente é horária. A força se opõe ao movimento, na direção $x$ e sentido negativo, com módulo $F=iLB=L^2B^2v/R$.