Prova FMJ 2006 CE — Física com Gabarito e Resolução

Q9

Mecânica — Cinemática — Lançamento Horizontal

Questão discursiva

Em um jogo de tênis, para efetuar um serviço, um jogador lança a bola verticalmente para cima e, no instante em que esta atinge a altura máxima, bate-a horizontalmente com a raquete. Uma bola que atinge uma altura máxima de $1{,}80\text{ m}$, em relação ao solo, e que abandona o contato com a raquete com velocidade $v_0$, passa $10{,}0\text{ cm}$ acima da rede que tem $0{,}90\text{ m}$ de altura e está colocada a $12{,}0\text{ m}$ da linha de serviço. Considerando desprezível a resistência do ar, determine:

Trajetória parabólica da bola partindo da altura y0 com velocidade horizontal v0, passando sobre a rede a 12 m da origem e atingindo o solo

Dado: $g = 10\text{ m/s}^2$

a)o valor da velocidade com que a bola é servida.

b)o alcance da bola no instante em que atinge o solo.

Resolução

a) A bola parte horizontalmente da altura máxima, $1{,}80\text{ m}$. Ao passar pela rede, está $10{,}0\text{ cm}$ acima do topo ($0{,}90\text{ m}$), ou seja, a $1{,}00\text{ m}$ do solo. A queda até aí é $\Delta y = 1{,}80 - 1{,}00 = 0{,}80\text{ m}$, que leva $t_1 = \sqrt{\dfrac{2 \cdot 0{,}80}{10}} = 0{,}4\text{ s}$.

Na horizontal o movimento é uniforme: $v_0 = \dfrac{12{,}0}{0{,}4} = 30\text{ m/s}$.

b) A queda total é de $1{,}80\text{ m}$: $t_2 = \sqrt{\dfrac{2 \cdot 1{,}80}{10}} = 0{,}6\text{ s}$. O alcance é $x = v_0\,t_2 = 30 \cdot 0{,}6 = 18\text{ m}$.

Q10

Mecânica — Quantidade de Movimento — Colisão Perfeitamente Inelástica

Questão discursiva

Um projétil de massa $40{,}0\text{ g}$, no instante em que se move com energia cinética de $32\text{ J}$, colide com um bloco de massa $760{,}0\text{ g}$ que se encontra em repouso sobre uma superfície horizontal, e fica incrustado nele. Considerando desprezível o efeito do atrito entre o bloco e a superfície horizontal e a resistência do ar, calcule, em m/s, o módulo da velocidade do

Projétil se aproximando de um bloco em repouso sobre superfície horizontal

a)projétil, imediatamente antes da colisão.

b)bloco, imediatamente após o projétil ter ficado incrustado.

Resolução

a) Com $m_p = 40{,}0\text{ g} = 0{,}040\text{ kg}$ e $E_c = 32\text{ J}$: $E_c = \dfrac{m_p v_p^2}{2} \Rightarrow v_p = \sqrt{\dfrac{2 \cdot 32}{0{,}040}} = \sqrt{1\,600} = 40\text{ m/s}$.

b) Como o projétil fica incrustado no bloco, a colisão é perfeitamente inelástica e a quantidade de movimento se conserva (não há atrito horizontal): $m_p v_p = (m_p + m_b)\,v \Rightarrow v = \dfrac{0{,}040 \cdot 40}{0{,}040 + 0{,}760} = \dfrac{1{,}6}{0{,}8} = 2\text{ m/s}$.

Q11

Mecânica — Hidrostática — Vasos Comunicantes com Líquidos Imiscíveis

Questão discursiva

O sistema de vasos comunicantes, representado na figura, contém dois líquidos imiscíveis, A e B, de densidades $\rho_A$ e $\rho_B$, respectivamente. A diferença de pressão entre os pontos C e D é igual a $1 \times 10^{3}\text{ Pa}$ e a densidade do líquido mais denso é igual a $2 \times 10^{3}\text{ kg/m}^3$.

Vasos comunicantes com o líquido A sobre o líquido B no ramo direito, os pontos C e D no mesmo nível e o desnível h entre as superfícies livres

Dado: $g = 10\text{ m/s}^2$

a)Determine a densidade do líquido menos denso.

b)Estabeleça a relação entre a distância da superfície de separação e a superfície livre de cada um dos líquidos com o desnível $h$.

Resolução

a) Seja $z$ a profundidade de $C$ e $D$ (mesmo nível) e $10\text{ cm}$ a distância desse nível até o nível da superfície de separação. Igualando as pressões no nível da separação, nos dois ramos, $\rho_A\,g\,H_A = \rho_B\,g\,H_B$, onde $H_A$ e $H_B$ são as alturas das colunas acima desse nível. Escrevendo as pressões em $C$ e $D$ em função desse nível, $P_D - P_C = (\rho_B - \rho_A)\,g\,(0{,}10)$.

Assim, $1 \cdot 10^3 = (\rho_B - \rho_A) \cdot 10 \cdot 0{,}10 \Rightarrow \rho_B - \rho_A = 1 \cdot 10^3\text{ kg/m}^3$. O líquido $B$ é o mais denso ($\rho_B = 2 \cdot 10^3\text{ kg/m}^3$), portanto $\rho_A = 1 \cdot 10^3\text{ kg/m}^3$.

b) Sejam $H_A$ e $H_B$ as alturas das superfícies livres de $A$ e de $B$ acima da superfície de separação. O equilíbrio dá $\rho_A H_A = \rho_B H_B \Rightarrow H_A = 2H_B$, e o desnível entre as superfícies livres é $h = H_A - H_B = H_B$. Logo $H_B = h$ e $H_A = 2h$.

Q12

Termologia — Calorimetria — Conversão de Energia Cinética em Calor

Questão discursiva

Quando um projétil de chumbo atinge em alta velocidade um alvo de aço, uma boa parte da energia cinética do projétil é transformada em energia térmica. Um projétil de massa $m = 5\text{ g}$, movendo-se com velocidade de $200\text{ m/s}$, ao atingir um alvo de aço tem $75\%$ do calor produzido absorvido pelo impacto.

Dados: $1\text{ cal} = 4\text{ J}$; calor específico do chumbo $= 0{,}03\text{ cal/g}^\circ\text{C}$

a)Qual a energia cinética do projétil no instante em que atinge o alvo?

b)Determine o acréscimo da temperatura do projétil após atingir o alvo?

Resolução

a) $E_c = \dfrac{m v^2}{2} = \dfrac{0{,}005 \cdot 200^2}{2} = 100\text{ J}$.

b) O calor produzido equivale a $100\text{ J} = \dfrac{100}{4} = 25\text{ cal}$. O projétil absorve $75\%$: $Q = 0{,}75 \cdot 25 = 18{,}75\text{ cal}$.

$Q = m\,c\,\Delta\theta \Rightarrow \Delta\theta = \dfrac{18{,}75}{5 \cdot 0{,}03} = \dfrac{18{,}75}{0{,}15} = 125^\circ\text{C}$.

Q13

Eletricidade — Eletrostática — Diferença de Potencial e Trabalho

Questão discursiva

Na figura, $S_1$ e $S_2$ representam linhas equipotenciais de um campo elétrico criado por uma carga elétrica $Q$, pontual, fixa no ponto $O$. As semirretas $L_1$ e $L_2$ são perpendiculares a $S_1$ e a $S_2$ nos pontos de intersecção.

Duas equipotenciais circulares S1 e S2 centradas em O, com as semirretas L1 e L2 e os pontos A, B e C

A força elétrica que atua numa carga elétrica $q = -2{,}0 \times 10^{-6}\text{ C}$, considerada pontual, realiza trabalho de $6{,}0 \times 10^{-6}\text{ J}$ quando se desloca do ponto A para o ponto B.

a)Calcule a diferença de potencial, $V_A - V_B$, entre os pontos A e B.

b)Determine o trabalho realizado pela força elétrica que atua sobre a carga elétrica $q$, quando esta passa do ponto A para o ponto C. Justifique sua resposta.

Resolução

a) O trabalho da força elétrica entre $A$ e $B$ é $\tau_{AB} = q\,(V_A - V_B)$. Então $V_A - V_B = \dfrac{6{,}0 \cdot 10^{-6}}{-2{,}0 \cdot 10^{-6}} = -3{,}0\text{ V}$.

b) Os pontos $B$ e $C$ pertencem à mesma superfície equipotencial $S_1$, logo $V_B = V_C$. Então $\tau_{AC} = q\,(V_A - V_C) = q\,(V_A - V_B) = \tau_{AB} = 6{,}0 \cdot 10^{-6}\text{ J}$. O trabalho da força elétrica não depende da trajetória; depende só dos potenciais inicial e final, e $A \to B$ e $A \to C$ terminam na mesma equipotencial.

Q14

Eletromagnetismo — Força Magnética — Movimento Circular de Carga em Campo Magnético

Questão discursiva

A placa $P$ é vertical e tem um orifício $O$ pelo qual são lançadas alternadamente, com a mesma velocidade horizontal $v = 1{,}26 \times 10^{6}\text{ m/s}$, as partículas $P_1$ e $P_2$, tais que $q_1 = 1{,}60 \times 10^{-19}\text{ C}$; $m_1 = 1{,}60 \times 10^{-27}\text{ kg}$; $q_2 = 2q_1$ e $m_2 = 4m_1$. Do lado direito da placa, relativamente à figura, existe um campo magnético $\vec{B}$. A distância entre os pontos de impacto das partículas na placa, $AD$, é de $8{,}40\text{ cm}$. Despreze as ações do campo gravitacional terrestre.

Placa vertical P com orifício O e duas trajetórias semicirculares que atingem a placa nos pontos A e D

a)Qual das trajetórias $OA$ ou $OD$ corresponde à partícula $P_1$? Justifique sua resposta.

b)Determine, em tesla, a intensidade do vetor campo magnético $\vec{B}$.

Resolução

A partícula descreve uma semicircunferência e atinge a placa a uma distância do orifício igual ao diâmetro, $2R$, com $R = \dfrac{m v}{|q| B}$.

a) Para a mesma velocidade e o mesmo campo, $R \propto \dfrac{m}{q}$. Para $P_2$: $\dfrac{m_2}{q_2} = \dfrac{4 m_1}{2 q_1} = 2\,\dfrac{m_1}{q_1}$, então $R_2 = 2R_1$. A partícula $P_1$, de menor raio, atinge o ponto mais próximo de $O$: trajetória $OA$.

b) $\overline{OA} = 2R_1$ e $\overline{OD} = 2R_2 = 4R_1$. Logo $AD = 4R_1 - 2R_1 = 2R_1 = 8{,}40\text{ cm} \Rightarrow R_1 = 4{,}20\text{ cm} = 0{,}042\text{ m}$.

$B = \dfrac{m_1 v}{q_1 R_1} = \dfrac{1{,}60 \cdot 10^{-27} \cdot 1{,}26 \cdot 10^{6}}{1{,}60 \cdot 10^{-19} \cdot 0{,}042} = \dfrac{1{,}26 \cdot 10^{-2}}{4{,}2 \cdot 10^{-2}} = 0{,}30\text{ T}$.