Prova FMJ 2005 CE — Física com Gabarito e Resolução

Q17

Mecânica — Dinâmica — Movimento Circular em Calha

Questão discursiva

A figura representa o perfil de uma calha, colocada num plano vertical. Os pontos A e B da calha pertencem a um arco de circunferência de centro O e raio $R = 50\text{ cm}$. Um corpo de massa $m = 400\text{ g}$ desliza sobre a calha com energia mecânica de $3{,}2\text{ J}$, em relação ao solo, suposto horizontal. Sabe-se que $OA$ e $CO^{\prime}$ têm direção vertical. Considere desprezível o efeito do atrito entre as superfícies do corpo e da calha.

Perfil de calha em plano vertical: arco de centro O e raio R entre A e B, subindo até o ponto C, com O linha vertical até O linha no solo

Adote $g = 10\text{ m/s}^2$.

a)Determine a aceleração do corpo no instante em que passa pela posição A.

b)Se na posição C o módulo da força que a calha exerce sobre o corpo é $1/12$ do módulo da força que a calha exerce sobre ele na posição A, determine o módulo da resultante das forças que atuam sobre o corpo no instante em que este passa pela posição C.

Resolução

a) Em $A$ (ponto mais baixo, no solo) a energia mecânica é só cinética: $\dfrac{m v_A^2}{2} = 3{,}2\text{ J} \Rightarrow v_A^2 = \dfrac{2 \cdot 3{,}2}{0{,}4} = 16 \Rightarrow v_A = 4\text{ m/s}$. Como a trajetória é circular de raio $R = 0{,}5\text{ m}$ e, no ponto mais baixo, a resultante é só centrípeta (a componente tangencial do peso é nula): $a_A = \dfrac{v_A^2}{R} = \dfrac{16}{0{,}5} = 32\text{ m/s}^2$, dirigida para cima (para o centro $O$).

b) Em $A$: $N_A - m g = m a_A \Rightarrow N_A = 0{,}4 \cdot 10 + 0{,}4 \cdot 32 = 4 + 12{,}8 = 16{,}8\text{ N}$.

Em $C$: $N_C = \dfrac{N_A}{12} = 1{,}4\text{ N}$, para cima. A resultante é o peso menos a normal (ambos verticais): $F_R = m g - N_C = 4 - 1{,}4 = 2{,}6\text{ N}$, para baixo.

Q18

Mecânica — Hidrostática — Empuxo e Tração de Fio

Questão discursiva

Um corpo homogêneo e maciço, de volume igual a $50\text{ cm}^3$, encontra-se em equilíbrio, preso por um fio e completamente mergulhado num líquido de densidade $2{,}0\text{ g/cm}^3$. Sendo $g = 10\text{ m/s}^2$, a densidade do corpo igual a $4{,}0\text{ g/cm}^3$ e considerando o fio inextensível e de massa desprezível, determine:

Corpo preso por um fio, totalmente imerso em líquido, a 50 cm do fundo do recipiente

a)a intensidade da força de tração exercida pelo fio sobre o corpo;

b)a velocidade com que o corpo atinge o fundo do recipiente após rompimento do fio.

Resolução

a) Massa do corpo: $m = \rho_c V = 4000 \cdot 50 \cdot 10^{-6} = 0{,}2\text{ kg}$, peso $P = 2\text{ N}$. Empuxo: $E = \rho_L V g = 2000 \cdot 50 \cdot 10^{-6} \cdot 10 = 1\text{ N}$.

Em equilíbrio, $T + E = P \Rightarrow T = 2 - 1 = 1\text{ N}$.

b) Rompido o fio, sobre o corpo atuam $P = 2\text{ N}$ (para baixo) e $E = 1\text{ N}$ (para cima): $a = \dfrac{P - E}{m} = \dfrac{1}{0{,}2} = 5\text{ m/s}^2$ (constante, desprezando a resistência do líquido).

Ele percorre $50{,}0\text{ cm} = 0{,}5\text{ m}$ até o fundo: $v^2 = 2 a \Delta s = 2 \cdot 5 \cdot 0{,}5 = 5 \Rightarrow v = \sqrt5 \approx 2{,}2\text{ m/s}$.

Q19

Termologia — Dilatação Térmica — Dilatação de Líquido em Termômetro

Questão discursiva

Um termômetro feito de vidro pirex tem em seu interior uma haste capilar de $0{,}2\text{ mm}$ de diâmetro e um bulbo cujo volume é $0{,}5\text{ cm}^3$. A quantidade de mercúrio no interior do termômetro apenas preenche o bulbo inicialmente. Sendo o coeficiente de dilatação linear do vidro pirex igual a $3{,}20 \times 10^{-6}\,^\circ\text{C}^{-1}$, o coeficiente de dilatação volumétrica do mercúrio igual a $1{,}82 \times 10^{-4}\,^\circ\text{C}^{-1}$, considerando $\pi = 3$ e admitindo desprezível a variação de volume da haste capilar, determine:

Termômetro de mercúrio com bulbo, haste capilar e a altura h da coluna

a)a diferença entre a variação do volume real do mercúrio e do volume do bulbo quando a temperatura aumentar em $5^\circ\text{C}$;

b)o aumento da altura $h$ da coluna de mercúrio, no interior da haste capilar, quando a temperatura aumentar em $5^\circ\text{C}$.

Resolução

a) O coeficiente volumétrico do vidro é $\gamma_v = 3\alpha = 3 \cdot 3{,}20 \cdot 10^{-6} = 9{,}6 \cdot 10^{-6}\,^\circ\text{C}^{-1}$.

Dilatação real do mercúrio: $\Delta V_{Hg} = \gamma_{Hg}\,V_0\,\Delta\theta = 1{,}82 \cdot 10^{-4} \cdot 0{,}5 \cdot 5 = 4{,}55 \cdot 10^{-4}\text{ cm}^3$. Dilatação do bulbo: $\Delta V_b = 9{,}6 \cdot 10^{-6} \cdot 0{,}5 \cdot 5 = 2{,}4 \cdot 10^{-5}\text{ cm}^3$.

Diferença: $\Delta V_{Hg} - \Delta V_b = 4{,}55 \cdot 10^{-4} - 0{,}24 \cdot 10^{-4} = 4{,}31 \cdot 10^{-4}\text{ cm}^3$.

b) Esse volume que "sobra" sobe na haste capilar, de seção $S = \pi r^2 = 3 \cdot (0{,}01\text{ cm})^2 = 3 \cdot 10^{-4}\text{ cm}^2$ (diâmetro de $0{,}2\text{ mm}$, raio de $0{,}01\text{ cm}$). Logo, $h = \dfrac{4{,}31 \cdot 10^{-4}}{3 \cdot 10^{-4}} \approx 1{,}44\text{ cm}$.

Q20

Óptica — Reflexão e Espelhos — Associação de Espelhos Planos

Questão discursiva

Colocando um objeto entre dois espelhos planos, cujas superfícies refletoras formam um determinado ângulo $\theta$, onde $0^\circ \le \theta \le 90^\circ$, pode-se observar a formação de inúmeras imagens. Se o ângulo formado entre estes espelhos for $90^\circ$,

a)quantas imagens desse objeto são formadas?

b)faça a representação gráfica da construção destas imagens.

Resolução

a) O número de imagens é $N = \dfrac{360^\circ}{90^\circ} - 1 = 3$.

b) Construção: coloca-se o objeto $O$ entre os espelhos. A imagem $I_1$ é simétrica de $O$ em relação ao espelho 1, e a imagem $I_2$ é simétrica de $O$ em relação ao espelho 2. A terceira imagem, $I_3$, é a simétrica de $I_1$ em relação ao prolongamento do espelho 2 (ou, de modo equivalente, a simétrica de $I_2$ em relação ao prolongamento do espelho 1). Ela fica no ponto diametralmente oposto a $O$ em relação ao vértice (encontro dos espelhos). As quatro posições ($O$, $I_1$, $I_2$ e $I_3$) pertencem à mesma circunferência centrada no vértice e formam um retângulo.

Q21

Eletricidade — Eletrostática — Potencial Elétrico e Trabalho da Força Elétrica

Questão discursiva

O ponto P está a $5\text{ cm}$ da carga $Q_1 = +6 \times 10^{-10}\text{ C}$ e a $10\text{ cm}$ da carga $Q_2 = -9 \times 10^{-10}\text{ C}$, ambas no vácuo, onde $k_0 = 9 \times 10^{9}\text{ N·m}^2/\text{C}^2$.

Cargas Q1 (positiva) e Q2 (negativa) alinhadas com os pontos P e M: 5 cm entre Q1 e P, 7 cm entre P e M, 3 cm entre M e Q2

a)Determine o potencial elétrico total no ponto P.

b)Calcule o trabalho realizado pela força elétrica para deslocar uma carga $q = 3 \times 10^{-8}\text{ C}$ do ponto M até o ponto P.

Resolução

a) $P$ está a $5\text{ cm}$ de $Q_1$ e a $7 + 3 = 10\text{ cm}$ de $Q_2$: $V_P = k_0\left(\dfrac{Q_1}{0{,}05} + \dfrac{Q_2}{0{,}10}\right) = 9 \cdot 10^9\left(\dfrac{6 \cdot 10^{-10}}{0{,}05} - \dfrac{9 \cdot 10^{-10}}{0{,}10}\right) = 9 \cdot 10^9\,(1{,}2 \cdot 10^{-8} - 0{,}9 \cdot 10^{-8}) = 27\text{ V}$.

b) $M$ está a $5 + 7 = 12\text{ cm}$ de $Q_1$ e a $3\text{ cm}$ de $Q_2$: $V_M = 9 \cdot 10^9\left(\dfrac{6 \cdot 10^{-10}}{0{,}12} - \dfrac{9 \cdot 10^{-10}}{0{,}03}\right) = 9 \cdot 10^9\,(0{,}5 \cdot 10^{-8} - 3 \cdot 10^{-8}) = -225\text{ V}$.

O trabalho da força elétrica ao levar $q$ de $M$ até $P$ é $\tau_{M \to P} = q\,(V_M - V_P) = 3 \cdot 10^{-8}\,(-225 - 27) = -7{,}56 \cdot 10^{-6}\text{ J}$. O sinal negativo indica que a força elétrica se opõe ao deslocamento (um agente externo realiza trabalho positivo).