Prova FMJ 2010 CE — Física com Gabarito e Resolução

Q17

Mecânica — Dinâmica — Atrito Cinético em Esteira Rolante

Questão discursiva

Uma caixa de massa igual a $80\text{ kg}$ está apoiada sobre a superfície horizontal de uma esteira rolante acionada por um motor, que faz dois roletes iguais, de raios $15\text{ cm}$ cada um, girarem no sentido anti-horário, com velocidade angular constante. Quando empurrada horizontalmente para a direita por uma pessoa que exerce uma força de $240\text{ N}$, essa caixa é mantida em repouso em relação ao solo.

Pessoa empurrando uma caixa apoiada sobre uma esteira com dois roletes que giram com velocidade angular ω; d é a distância percorrida pelo ponto P da esteira

Dado: $g = 10\text{ m/s}^2$.

a)Sabendo que o ponto P da esteira demora $2\text{ s}$ para percorrer a distância $d = 1{,}2\text{ m}$ indicada na figura, determine a velocidade angular $\omega$ com a qual os roletes estão girando, sabendo que não há escorregamento entre eles e a esteira.

b)Determine o valor do coeficiente de atrito cinético entre as superfícies da caixa e da esteira.

Resolução

a) Sem escorregamento, a velocidade de um ponto da esteira é a velocidade linear da borda dos roletes: $v = \dfrac{d}{\Delta t} = \dfrac{1{,}2}{2} = 0{,}6\text{ m/s}$. Então $\omega = \dfrac{v}{R} = \dfrac{0{,}6}{0{,}15} = 4\text{ rad/s}$.

b) A caixa está em repouso em relação ao solo, mas desliza em relação à esteira, que se move. O atrito é, portanto, cinético, e, como a caixa está em equilíbrio, equilibra a força da pessoa: $F_{at} = 240\text{ N}$. Com a normal $N = m\,g = 800\text{ N}$: $\mu_c = \dfrac{F_{at}}{N} = \dfrac{240}{800} = 0{,}3$.

Q18

Mecânica — Quantidade de Movimento — Colisão com Perda de Energia e Força Média

Questão discursiva

Um garoto chuta sua bola verticalmente para cima até que ela atinja a altura máxima de $5\text{ m}$ acima do solo. A partir desse ponto, ela cai, choca-se contra o solo e volta a subir verticalmente até uma altura máxima $h$.

Bola no ponto mais alto, a 5 m do solo, acima do garoto que a chutou

Sabe-se que a massa da bola é igual a $0{,}5\text{ kg}$, e que quando bateu no chão, a bola permaneceu em contato com ele durante dois centésimos de segundo, perdendo $36\%$ de sua energia cinética nessa colisão. Considerando desprezível a resistência do ar e $g = 10\text{ m/s}^2$, determine:

a)a altura $h$ atingida pela bola após a colisão com o solo.

b)o módulo da força média aplicada pela bola no solo durante a colisão.

Resolução

a) Na altura máxima ($5\text{ m}$), a energia mecânica é $m\,g\,H = 0{,}5 \cdot 10 \cdot 5 = 25\text{ J}$. Ao chegar ao solo, toda ela é cinética ($25\text{ J}$). Após perder $36\%$, restam $0{,}64 \cdot 25 = 16\text{ J}$, que se convertem em energia potencial na subida: $m\,g\,h = 16 \Rightarrow h = \dfrac{16}{0{,}5 \cdot 10} = 3{,}2\text{ m}$.

b) Velocidade antes do choque: $\dfrac{m v^2}{2} = 25 \Rightarrow v = 10\text{ m/s}$ (para baixo). Velocidade depois: $\dfrac{m v\prime^2}{2} = 16 \Rightarrow v\prime = 8\text{ m/s}$ (para cima).

Pelo teorema do impulso, $F_m\,\Delta t = m\,(v\prime - (-v)) = 0{,}5 \cdot 18 = 9\text{ N}\cdot\text{s}$, e então $F_m = \dfrac{9}{0{,}02} = 450\text{ N}$ (força média resultante; desprezando o peso de $5\text{ N}$, esse é o valor da força aplicada pela bola no solo).

Q19

Termologia — Gases Ideais — Transformações Gasosas com Adição de Gás

Questão discursiva

Uma bola de futebol contém, à temperatura ambiente de $27^\circ\text{C}$, $n_0$ mols de ar sob pressão de $0{,}8\text{ atm}$. Um garoto, desejando jogar com a bola um pouco mais cheia, injeta nela mais $0{,}25\,n_0$ mol de ar, que pode ser considerado um gás ideal, por meio de uma bomba. Nesse processo, o volume da bola não foi alterado.

a)Considerando que o processo tenha sido isotérmico, determine a pressão final do ar dentro da bola, em atm.

b)Suponha que, depois de cheia, a bola tenha sido esquecida pelo garoto no quintal, num dia em que a temperatura ambiente tenha caído a $12^\circ\text{C}$. Considerando que o ar dentro da bola tenha entrado em equilíbrio térmico com o ambiente, que o volume da bola não tenha variado e que não tenha havido vazamento de ar, determine a redução percentual de pressão dentro da bola devido a esse resfriamento.

Resolução

a) A $T$ e $V$ constantes, $P$ é proporcional a $n$: $\dfrac{P_f}{P_i} = \dfrac{n_f}{n_i} = \dfrac{1{,}25\,n_0}{n_0} \Rightarrow P_f = 1{,}25 \cdot 0{,}8 = 1{,}0\text{ atm}$.

b) A $V$ e $n$ constantes, $P$ é proporcional a $T$ (em kelvin): $\dfrac{P\prime}{1{,}0} = \dfrac{285}{300} \Rightarrow P\prime = 0{,}95\text{ atm}$.

A redução é $\dfrac{1{,}0 - 0{,}95}{1{,}0} = 0{,}05 = 5\%$.

Q20

Óptica — Refração — Refração-Limite e Reflexão Total

Questão discursiva

Um raio de luz monocromático propagando-se no ar ($n_{AR} = 1$) incide sobre um objeto transparente com a forma de um quarto de um cilindro de raio $R$, cujo índice de refração é igual a $n$. Esse raio incide perpendicularmente no ponto P pertencente a uma das faces planas do corpo, e emerge pelo ponto Q, tangenciando a face cilíndrica, como mostram as figuras 1 e 2.

Figura 1: objeto em forma de quarto de cilindro de raio R, com o raio de luz incidindo perpendicularmente no ponto P da face plana superior

Figura 2: seção transversal do objeto com o raio incidente em P, a 0,8 R da face vertical, e o raio emergente tangente à face cilíndrica no ponto Q

a)Determine o índice de refração absoluto $n$ do material com o qual o objeto foi feito.

b)Para que o raio incidente em P sofresse reflexão total em Q, o índice de refração do objeto deveria ser maior ou menor do que o da situação descrita? Justifique sua resposta.

Resolução

a) A face cilíndrica tem centro no vértice do quarto de cilindro, e a normal em $Q$ é o raio que liga esse centro a $Q$. O raio de luz é vertical e $P$ está a $0{,}8R$ da face vertical. Logo, o ângulo $\theta$ entre o raio e a normal satisfaz $\text{sen}\,\theta = \dfrac{0{,}8R}{R} = 0{,}8$.

Como o raio emerge tangenciando a face cilíndrica, o ângulo de refração no ar é $90^\circ$. Pela lei de Snell: $n\,\text{sen}\,\theta = 1 \cdot \text{sen}\,90^\circ \Rightarrow n = \dfrac{1}{0{,}8} = 1{,}25$.

b) Na situação descrita, $\theta$ é exatamente o ângulo limite ($\text{sen}\,L = 1/n = 0{,}8$). Para haver reflexão total em $Q$ com o mesmo ângulo de incidência, é preciso $\theta > L$, ou seja, $\text{sen}\,L = \dfrac{1}{n} < 0{,}8$, o que exige $n > 1{,}25$. O índice de refração do objeto deveria ser maior.

Q21

Eletromagnetismo — Força Magnética — Seletor de Velocidades e Campo Elétrico

Questão discursiva

Duas placas planas e paralelas eletrizadas com cargas elétricas de sinais opostos estão separadas pela distância de $2\text{ cm}$. Na região entre elas, atuam um campo elétrico e um campo magnético, ambos uniformes e perpendiculares entre si, indicados na figura a seguir. Uma partícula eletrizada negativamente com uma carga $q = -3\text{ }\mu\text{C}$ penetra nessa região pela fenda X, e, num primeiro experimento, deve seguir em linha reta, com velocidade escalar constante, até sair pela fenda Y.

Placas paralelas com campo elétrico E para baixo e campo magnético B entrando no plano; a partícula de carga negativa entra pela fenda X e sai por Y (ou por Z, a 0,8 cm da linha XY)

Considere que a diferença de potencial entre as placas seja de $5\text{ V}$, que a intensidade do campo magnético entre elas seja de $2{,}5\text{ T}$ e que as ações gravitacionais sejam desprezíveis.

a)Determine o módulo da velocidade da partícula, para que ela entre na região entre as placas e a atravesse sem desviar.

b)Num segundo experimento, o campo magnético é retirado, permanecendo apenas o mesmo campo elétrico. A partícula entra novamente na região entre as placas pela fenda X e, sob ação do campo elétrico, sai pela fenda Z. Determine o trabalho realizado pela força elétrica que atuou sobre a partícula, no trajeto de X para Z.

Resolução

a) O campo elétrico entre as placas é $E = \dfrac{U}{d} = \dfrac{5}{2 \cdot 10^{-2}} = 250\text{ V/m}$. Para a partícula seguir em linha reta com velocidade constante, a força elétrica e a força magnética se equilibram: $q\,E = q\,v\,B \Rightarrow v = \dfrac{E}{B} = \dfrac{250}{2{,}5} = 100\text{ m/s}$.

b) Apenas com o campo elétrico, a partícula é desviada na direção do campo até a fenda $Z$, que está a $0{,}8\text{ cm}$ da linha $XY$. A diferença de potencial entre $X$ e $Z$ é $\Delta V = E \cdot y = 250 \cdot 0{,}8 \cdot 10^{-2} = 2\text{ V}$.

O trabalho da força elétrica é $W = |q|\,\Delta V = 3 \cdot 10^{-6} \cdot 2 = 6 \cdot 10^{-6}\text{ J}$ (positivo: a força elétrica atua no sentido do deslocamento).