Prova FMJ 2017 CE — Física com Gabarito e Resolução

Q15

Mecânica — Cinemática — Lançamento Horizontal e Velocidade Limite

Questão discursiva

Uma pessoa realiza um salto livre a partir de um avião que voa horizontalmente com velocidade de $80\text{ m/s}$. Considere a massa da pessoa juntamente com o equipamento de salto igual a $80\text{ kg}$ e a aceleração gravitacional igual a $10\text{ m/s}^2$.

a)Desprezando a resistência do ar, calcule, em m/s, o módulo da velocidade da pessoa $6{,}0$ segundos após o salto.

b)A resistência do ar faz com que, após algum tempo, a pessoa atinja uma velocidade constante na direção vertical, denominada velocidade limite. Supondo que a força de resistência do ar seja dada por $R = 0{,}50 \cdot v^2$, em que $v$ é a velocidade da pessoa, calcule, em m/s, o módulo da velocidade limite de queda dessa pessoa.

Resolução

a) Sem resistência do ar, a componente horizontal permanece $v_x = 80\text{ m/s}$ e a vertical cresce como queda livre: $v_y = g\,t = 10 \cdot 6{,}0 = 60\text{ m/s}$. O módulo é $v = \sqrt{80^2 + 60^2} = 100\text{ m/s}$.

b) Na velocidade limite vertical, a força resultante vertical é nula: $R = P \Rightarrow 0{,}50\,v^2 = m\,g = 80 \cdot 10 = 800\text{ N}$. Logo $v^2 = 1\,600$ e $v = 40\text{ m/s}$.

Q16

Mecânica — Trabalho e Energia — Energia Elástica e Forças Dissipativas

Questão discursiva

A figura mostra um objeto, de massa igual a $0{,}50\text{ kg}$, sobre uma superfície horizontal, preso à extremidade de uma mola de constante elástica igual a $50\text{ N/m}$, que tem a outra extremidade presa a uma parede. Inicialmente, o objeto é deslocado até a posição A, na qual a mola está distendida de $20\text{ cm}$. Solto, o objeto passa a oscilar em torno do ponto B, que marca a posição na qual a mola não se encontra nem comprimida nem distendida.

Objeto preso a uma mola sobre uma superfície horizontal: na posição A a mola está distendida; na posição B, relaxada

a)Calcule, em newtons, a intensidade da força que a mola aplica no objeto quando ele se encontra na posição A.

b)Sabendo que o sistema não é conservativo e que, em determinado instante, o objeto passa pela posição B com velocidade de $1{,}6\text{ m/s}$, calcule, em joules, o trabalho realizado pelas forças dissipativas desde o início da oscilação até esse instante.

Resolução

a) Pela lei de Hooke, $F = k\,x = 50 \cdot 0{,}20 = 10\text{ N}$.

b) Em A, o objeto está em repouso com a mola distendida: $E_A = \dfrac{k\,x^2}{2} = \dfrac{50 \cdot 0{,}20^2}{2} = 1{,}0\text{ J}$. Em B, a mola está relaxada e o objeto tem energia cinética $E_B = \dfrac{m\,v^2}{2} = \dfrac{0{,}50 \cdot 1{,}6^2}{2} = 0{,}64\text{ J}$.

O trabalho das forças dissipativas é a variação da energia mecânica: $W_{diss} = E_B - E_A = 0{,}64 - 1{,}0 = -0{,}36\text{ J}$ (negativo, pois a energia é dissipada; em módulo, $0{,}36\text{ J}$).

Q17

Mecânica — Quantidade de Movimento — Impulso em Colisão Oblíqua com Parede

Questão discursiva

Uma bola de massa $80\text{ g}$ se move com velocidade de $20\text{ m/s}$ quando colide com uma parede e retorna com velocidade de mesmo módulo, porém com direção diferente, como ilustra a figura.

Bola incidindo com velocidade v sobre a parede no ponto P, formando ângulo θ com a superfície, e retornando com velocidade de mesmo módulo e mesmo ângulo θ

a)Desenhe no ponto $P$ da figura inserida no campo de Resolução e Resposta um vetor que indique a direção e o sentido do impulso recebido pela bola no choque com a parede.

b)Considerando $\text{sen}\,\theta = 0{,}60$ e $\cos\theta = 0{,}80$, calcule a intensidade, em $\text{N}\cdot\text{s}$, do impulso recebido pela bola na colisão com a parede.

Resolução

a) O impulso é $\vec{I} = \Delta\vec{Q} = m\,(\vec{v}_f - \vec{v}_i)$. A componente da velocidade paralela à parede não muda; só a componente normal é invertida. Portanto, o impulso tem direção perpendicular à parede e sentido para fora dela (para cima, na figura): no ponto $P$, desenha-se uma seta vertical apontando para cima.

b) A componente normal da velocidade, em módulo, é $v\,\text{sen}\,\theta = 20 \cdot 0{,}60 = 12\text{ m/s}$ (pois $\theta$ é o ângulo com a superfície). Ela passa de $-12\text{ m/s}$ para $+12\text{ m/s}$, e $|\Delta v| = 24\text{ m/s}$. Com $m = 0{,}080\text{ kg}$: $I = m\,|\Delta v| = 0{,}080 \cdot 24 = 1{,}92\text{ N}\cdot\text{s}$.

Q18

Termologia — Termometria — Escalas Termométricas e Dilatação do Mercúrio

Questão discursiva

Um termômetro está graduado na escala Celsius ($^\circ\text{C}$) e em outra escala hipotética denominada Romulana ($^\circ\text{R}$), como mostra a figura.

Termômetro com duas escalas: 0 °C corresponde a 150 °R e 100 °C corresponde a 330 °R

a)A temperatura de $40^\circ\text{C}$ corresponde a que valor na escala Romulana?

b)Sabendo que o coeficiente de dilatação volumétrica do mercúrio é constante e vale $1{,}80 \times 10^{-4}\text{ /}^\circ\text{C}$, que o termômetro contém $0{,}20\text{ cm}^3$ de mercúrio quando a temperatura é $0^\circ\text{C}$ e que a área da seção transversal do tubo capilar é de $3{,}0 \times 10^{-4}\text{ cm}^2$, calcule a distância, em centímetros, entre as marcas de $0^\circ\text{C}$ e $100^\circ\text{C}$ no termômetro, desprezando a dilatação do vidro.

Resolução

a) Pela figura, $0^\circ\text{C}$ corresponde a $150^\circ\text{R}$ e $100^\circ\text{C}$ a $330^\circ\text{R}$. A relação linear é $\dfrac{\theta_C - 0}{100 - 0} = \dfrac{\theta_R - 150}{330 - 150}$. Para $\theta_C = 40$: $\dfrac{40}{100} = \dfrac{\theta_R - 150}{180} \Rightarrow \theta_R = 150 + 72 = 222^\circ\text{R}$.

b) A dilatação do mercúrio entre $0^\circ\text{C}$ e $100^\circ\text{C}$ é $\Delta V = V_0\,\gamma\,\Delta\theta = 0{,}20 \cdot 1{,}80 \cdot 10^{-4} \cdot 100 = 3{,}6 \cdot 10^{-3}\text{ cm}^3$.

Esse volume ocupa o capilar de área $A = 3{,}0 \cdot 10^{-4}\text{ cm}^2$: $\Delta V = A\,h \Rightarrow h = \dfrac{3{,}6 \cdot 10^{-3}}{3{,}0 \cdot 10^{-4}} = 12\text{ cm}$.

Q19

Óptica — Lentes — Lente Convergente e Equação de Gauss

Questão discursiva

A figura mostra uma lente delgada convergente colocada entre uma vela e um anteparo, no qual está projetada uma imagem nítida da vela.

Vela, lente delgada convergente e anteparo com a imagem nítida da vela projetada (figura fora de escala)

a)Considerando que a distância da lente até o anteparo seja $30\text{ cm}$ e que a distância da vela até a lente seja $60\text{ cm}$, calcule a relação entre os tamanhos da imagem e do objeto.

b)Se a lente for colocada a $40\text{ cm}$ do anteparo, a que distância da lente, em centímetros, deve ser colocada a vela para que seja projetada no anteparo uma nova imagem nítida?

Resolução

a) O aumento é $A = \dfrac{q}{p} = \dfrac{30}{60} = 0{,}5$. A imagem (real, invertida) tem a metade do tamanho do objeto: a relação entre os tamanhos da imagem e do objeto é $\dfrac{1}{2}$.

b) A distância focal vem da primeira situação: $\dfrac{1}{f} = \dfrac{1}{60} + \dfrac{1}{30} = \dfrac{3}{60} \Rightarrow f = 20\text{ cm}$.

Com a lente a $q = 40\text{ cm}$ do anteparo: $\dfrac{1}{p} = \dfrac{1}{f} - \dfrac{1}{q} = \dfrac{1}{20} - \dfrac{1}{40} = \dfrac{1}{40} \Rightarrow p = 40\text{ cm}$.

Q20

Eletricidade — Eletrodinâmica — Circuito com Lâmpadas Não Ôhmicas e Reostato

Questão discursiva

A figura ilustra um circuito elétrico composto por uma bateria ideal de força eletromotriz igual a $12\text{ V}$, um resistor de resistência variável e três lâmpadas idênticas. O gráfico representa a relação entre a corrente que flui por cada lâmpada em função da diferença de potencial entre seus terminais.

Circuito com bateria de 12 V, resistor variável R em série e três lâmpadas idênticas L1, L2 e L3 em paralelo

Gráfico i (mA) × U (V) de cada lâmpada: curva crescente com 150 mA em 6,0 V e 200 mA em 12 V

a)Calcule a intensidade da corrente total no circuito, em miliampères, quando a resistência do resistor $R$ for nula.

b)Calcule o valor da resistência do resistor $R$, em ohms, para que a intensidade da corrente em cada lâmpada seja igual a $150\text{ mA}$.

Resolução

a) Com $R = 0$, as três lâmpadas, em paralelo, ficam sob os $12\text{ V}$ da bateria. No gráfico, para $U = 12\text{ V}$ a corrente em cada lâmpada é $200\text{ mA}$. A corrente total é $i = 3 \cdot 200 = 600\text{ mA}$.

b) Para $150\text{ mA}$ em cada lâmpada, o gráfico mostra $U = 6{,}0\text{ V}$ nas lâmpadas. A corrente total, que atravessa o resistor, é $3 \cdot 150 = 450\text{ mA} = 0{,}45\text{ A}$. A tensão no resistor é $12 - 6{,}0 = 6{,}0\text{ V}$, portanto $R = \dfrac{6{,}0}{0{,}45} \approx 13\text{ }\Omega$.