FMTM 2005.2 · CE: Física resolvida e comentada

Q09

Mecânica — Cinemática — Queda livre: tempo de reação da cédula

Há uma brincadeira que consiste no seguinte desafio: ganha a cédula quem a conseguir pegar. Enquanto o desafiante mantém uma cédula estirada verticalmente, segurando-a por uma de suas extremidades apenas com as pontas dos dedos, o desafiado aguarda com seus dedos indicador e polegar entreabertos na altura da base da cédula, sem tocá-la. Num dado momento, a cédula é abandonada e, para surpresa daquele que a deveria agarrar, esta lhe passa por entre os dedos. A brincadeira tem como base o tempo de resposta entre a constatação de que a cédula iniciou a queda e a ação de fechar dos dedos, que pela experimentação, demonstra-se ser maior que o tempo que a cédula gasta para percorrer uma distância igual a seu comprimento.

Dado: aceleração da gravidade = 10 m/s²

a) Supondo que determinado papel moeda tivesse o comprimento de 15 cm, determine o máximo tempo de resposta que uma pessoa necessitaria despender para poder capturar a nota. Expresse o tempo em termos de um número irracional.

b) Supondo que a experiência se desse em meio ao vácuo, se um corpo de maior massa fosse abandonado, como seria, comparativamente a um corpo mais leve, o tempo de queda? Justifique sua resposta.

a) t = √3/10 s ≈ 0,17 s. b) Os tempos de queda seriam iguais.

Resolução

a) A cédula cai em queda livre, a partir do repouso. Para pegá-la, a pessoa precisa fechar os dedos antes que a cédula percorra o próprio comprimento, h = 15 cm = 0,15 m. O tempo máximo é o de queda dessa distância:

\[h=\frac{gt^2}{2}\Rightarrow t=\sqrt{\frac{2h}{g}}=\sqrt{\frac{2\cdot0{,}15}{10}}=\sqrt{0{,}03}=\frac{\sqrt{3}}{10}\,\mathrm{s}\]

Numericamente, t ≈ 0,17 s.

b) No vácuo não há resistência do ar, e só atua o peso. A aceleração é a = P/m = mg/m = g, independente da massa. Como a distância percorrida e a aceleração são as mesmas, o tempo de queda é o mesmo: os dois corpos chegam juntos ao solo.

Q10

Mecânica — Trabalho e energia — Caneta de mola: velocidade máxima e gráfico da força resultante

Após ter respondido tudo o que sabia, um vestibulando começa a brincar com sua caneta esferográfica de ponta retrátil. A brincadeira consta em pressionar a parte posterior da caneta contra o tampo horizontal de sua mesa, destravando a mola, ao mesmo tempo em que, mantendo a caneta em posição vertical, em um movimento ligeiro, solta o corpo da caneta, que sai em curto vôo, elevando o centro de massa da caneta a uma altura de 9,8 cm, a partir do momento em que o botão desencosta da mesa.

Três situações da caneta: A, com a mola comprimida contra a mesa; B, com o botão desencostando da mesa; C, no ponto mais alto, com v = 0 m/s, a 9,8 cm da posição de B

Utilizando o valor g = 10 m/s² para a aceleração da gravidade e desconsiderando eventuais perdas de energia,

a) calcule a máxima velocidade da caneta, em m/s;

b) com base nas situações mostradas nos desenhos A, B e C, elabore o esboço do gráfico que indica a força resultante que atua sobre o centro de massa da caneta em função do tempo, a partir do momento em que ela é abandonada, indicando os pontos correspondentes às situações A, B e C. Admita que a mola é ideal e que forças resultantes voltadas para cima são positivas.

a) 1,4 m/s. b) Força resultante positiva em A, decrescente até −mg em B, e constante e igual a −mg de B até C (gráfico esboçado na resolução).

Resolução

a) A velocidade é máxima no instante em que o botão desencosta da mesa (situação B), pois depois disso só o peso atua e a caneta desacelera até parar em C. Do ponto B ao ponto C, a energia cinética vira potencial gravitacional, com h = 9,8 cm = 0,098 m:

\[\frac{mv^2}{2}=mgh\Rightarrow v=\sqrt{2gh}=\sqrt{2\cdot10\cdot0{,}098}=\sqrt{1{,}96}=1{,}4\,\mathrm{m/s}\]

b) Em cada trecho, a força resultante é:

• De A até B, a mola empurra a caneta para cima com força elástica kx, e o peso a puxa para baixo: F_R = kx − mg. Em A, a compressão é máxima e a resultante é positiva e máxima. Conforme a mola se distende, kx diminui e a resultante cai, anula-se na posição de equilíbrio (kx = mg) e fica negativa. Em B, a mola tem o comprimento natural (x = 0) e F_R = −mg.

• De B até C, a caneta está em vôo e só o peso atua: F_R = −mg, constante.

O esboço fica assim (como a mola é ideal, o movimento de A a B é oscilatório e a curva é uma senoide):

Q11

Mecânica — Hidrostática — Empuxo: esfera presa por fio e esfera livre

A esfera maciça E, de volume 100 cm³, está em equilíbrio, presa ao fundo do recipiente por meio de um fio inextensível e de massa desprezível. O líquido L tem densidade ρ = 1,8 g/cm³. Nas condições da figura, a tensão do fio tem módulo igual a 1,0 N.

Recipiente com o líquido L, em que a esfera E está totalmente imersa, presa ao fundo por um fio

Dado: g = 10 m/s²

a) Determine a densidade da substância de que é feita a esfera E.

b) Cortando-se o fio, a esfera atinge uma nova posição de equilíbrio em relação à superfície do líquido. Determine, por meio de cálculos, o percentual correspondente ao volume da parte da esfera que fica emersa no líquido.

a) 0,8 g/cm³. b) ≈ 55,6% (5/9 do volume).

Resolução

a) Com a esfera totalmente imersa e em equilíbrio, o empuxo (para cima) equilibra o peso e a tensão (para baixo). O empuxo, com ρ = 1,8 g/cm³ = 1800 kg/m³ e V = 100 cm³ = 1,0 × 10⁻⁴ m³:

\[E=\rho_L\,V\,g=1800\cdot1{,}0\times10^{-4}\cdot10=1{,}8\,\mathrm{N}\]

\[E=P+T\Rightarrow P=1{,}8-1{,}0=0{,}8\,\mathrm{N}\Rightarrow m=0{,}08\,\mathrm{kg}=80\,\mathrm{g}\]

\[d=\frac{m}{V}=\frac{80}{100}=0{,}8\,\mathrm{g/cm^3}\]

b) Como a densidade da esfera é menor que a do líquido, ao cortar o fio a esfera sobe e flutua com parte emersa. Em equilíbrio, o empuxo iguala o peso, e o empuxo é calculado só com o volume imerso V_i:

\[\rho_L\,V_i\,g=d\,V\,g\Rightarrow\frac{V_i}{V}=\frac{d}{\rho_L}=\frac{0{,}8}{1{,}8}=\frac{4}{9}\]

A parte imersa é 4/9 do volume, e a emersa é:

\[1-\frac{4}{9}=\frac{5}{9}\approx55{,}6\%\]

Q12

Termologia — Calorimetria — Mistura de águas e ponto de ebulição com a altitude

Em sua casa no litoral, uma senhora, desejando fazer um café fresquinho, acabara de desligar o fogo sob a chaleira que continha água fervente a 100 °C, quando avistou pela janela a chegada de algumas amigas. Imediatamente, pensando em fazer um pouco mais de café, acrescentou mais água à chaleira, esquecendo-se, no entanto, de reacender o fogo. Quando se deu conta de que o fogo estava desligado, a água contida na chaleira já havia atingido o equilíbrio térmico, a 80 °C. Despreze as perdas de calor para o ambiente e suponha ser a capacidade térmica da chaleira desprezível.

a) Determine a massa de água, em g, adicionada aos 600 mL que estavam contidos inicialmente na chaleira.

Dados: densidade da água = 1 g/mL; calor específico da água = 1 cal/(g·°C); temperatura da água acrescentada = 20 °C

b) Se o fato tivesse ocorrido nas altitudes do Triângulo Mineiro, a temperatura de equilíbrio teria sido maior, menor ou igual aos 80 °C? Justifique sua resposta.

a) 200 g. b) Menor.

Resolução

a) A massa inicial é 600 g (600 mL com densidade 1 g/mL). Sem perdas, o calor cedido pela água quente é igual ao absorvido pela água adicionada (massa m, a 20 °C):

\[600\cdot1\cdot(100-80)=m\cdot1\cdot(80-20)\]

\[12\,000=60\,m\Rightarrow m=200\,\mathrm{g}\]

b) Em altitudes maiores que a do litoral, a pressão atmosférica é menor, e por isso a água ferve a uma temperatura menor que 100 °C (cerca de 97 °C no Triângulo Mineiro). A água inicial estaria, portanto, a uma temperatura menor que 100 °C, e a mistura, com as mesmas massas, chegaria a uma temperatura de equilíbrio menor que 80 °C.

Para conferir, com a água inicial a 97 °C: 600 · (97 − T) = 200 · (T − 20), o que dá T ≈ 77,8 °C.

Q13

Eletricidade — Eletrostática — Campo elétrico e trabalho da força elétrica de duas cargas

Duas cargas elétricas puntiformes, q₁ = 1,0 × 10⁻⁸ C e q₂ = −2,0 × 10⁻⁸ C, encontram-se fixas no vácuo, respectivamente, no ponto E e no ponto A. O ponto E é o centro de uma circunferência, de raio 10 cm, e os pontos A, B, C e D são pertencentes à circunferência. Considere desprezíveis as ações gravitacionais.

Dado: k = 9 × 10⁹ N·m²/C²

Circunferência com centro E, eixos x e y e os pontos A, B, C e D: A à esquerda de E (com q2 menor que zero), C à direita, D acima e B abaixo; q1 maior que zero em E

a) Determine o módulo do vetor campo elétrico resultante, criado pelas cargas q₁ e q₂, no ponto C.

b) Uma terceira carga elétrica, q₃ = 3,0 × 10⁻¹² C, pontual, descreve o arco BCD. Qual é o trabalho realizado, nesse deslocamento, pela força elétrica que atua na carga q₃ devido à ação das cargas elétricas q₁ e q₂? Justifique sua resposta.

a) 4,5 × 10³ N/C. b) Zero.

Resolução

a) O ponto C está a 10 cm de E (q₁) e a 20 cm de A (q₂), o diâmetro. O campo de q₁ (positiva) em C se afasta de E:

\[E_1=\frac{k\,q_1}{r_1^2}=\frac{9\times10^{9}\cdot1{,}0\times10^{-8}}{(0{,}10)^2}=9{,}0\times10^{3}\,\mathrm{N/C}\]

O campo de q₂ (negativa) em C aponta para A, em sentido oposto ao de E₁:

\[E_2=\frac{k\,|q_2|}{r_2^2}=\frac{9\times10^{9}\cdot2{,}0\times10^{-8}}{(0{,}20)^2}=4{,}5\times10^{3}\,\mathrm{N/C}\]

Como têm a mesma direção e sentidos opostos:

\[E=E_1-E_2=4{,}5\times10^{3}\,\mathrm{N/C}\]

b) O trabalho da força elétrica entre dois pontos é W = q₃(V_B − V_D). Os pontos B e D estão à mesma distância de E (o raio, 10 cm) e à mesma distância de A (a diagonal, 10√2 cm), pela simetria em relação ao eixo x. Logo V_B = V_D, tanto para q₁ quanto para q₂, e

\[W=q_3(V_B-V_D)=0\]

O trabalho é nulo, qualquer que seja o caminho entre B e D, pois a força elétrica é conservativa.

Q14

Eletricidade — Eletromagnetismo — Barra com corrente em campo magnético suspensa por molas

Uma barra condutora AB, de comprimento igual a 50 cm e massa m, está suspensa pela extremidade de duas molas iguais, sendo a constante elástica de cada uma delas 100 N/m. O sistema está imerso num campo magnético B = 0,6 T.

Dado: g = 10 m/s²

Barra horizontal AB suspensa por duas molas de constante k presas ao teto, em campo magnético uniforme saindo do plano da página; a corrente i percorre a barra

Quando uma corrente de intensidade i = 10 A percorre a barra no sentido de B para A, as molas não são deformadas. Determine:

a) a massa da barra;

b) a deformação das molas quando o sentido da corrente elétrica é invertido.

a) 0,30 kg. b) 3,0 cm.

Resolução

a) Com o campo saindo da página e a corrente de B para A (da direita para a esquerda), a regra da mão direita dá uma força magnética para cima. Como as molas não se deformam, essa força equilibra o peso:

\[F_m=i\,\ell\,B=10\cdot0{,}50\cdot0{,}6=3{,}0\,\mathrm{N}\]

\[mg=F_m\Rightarrow m=\frac{3{,}0}{10}=0{,}30\,\mathrm{kg}\]

b) Invertida a corrente, a força magnética passa a apontar para baixo, com o mesmo módulo de 3,0 N. As molas, esticadas de x, sustentam a soma do peso com a força magnética:

\[2\,k\,x=mg+F_m=3{,}0+3{,}0=6{,}0\,\mathrm{N}\]

\[x=\frac{6{,}0}{2\cdot100}=0{,}030\,\mathrm{m}=3{,}0\,\mathrm{cm}\]

2005.2CE — FMTM 2005.2 · CE — Física

Dados da prova