Provas Anteriores | UFRJ 1997 — 3º dia

Mecânica — Cinemática — Gráfico velocidade × tempo

Um fabricante de carros esportivos construiu um carro que, na arrancada, é capaz de passar de 0 a $108\,\mathrm{km/h}$ ($30\,\mathrm{m/s}$) em $10\,\mathrm s$, percorrendo uma distância $d$. A figura abaixo representa o gráfico velocidade-tempo do carro durante a arrancada.

a) Calcule a aceleração escalar média do carro durante a arrancada, em $m$/s2.

b) Para percorrer a primeira metade da distância $d$, nessa arrancada, o carro gastou $5\,\mathrm s$, mais de $5\,\mathrm s$ ou menos de $5\,\mathrm s$? Justifique sua resposta

a) $3{,}0\,\mathrm{m/s^2}$. b) Depois de $5\,\mathrm s$.

Resolução comentada

A aceleração escalar média depende apenas das velocidades inicial e final: $a_m=\Delta v/\Delta t=(30-0)/10=3{,}0\,\mathrm{m/s^2}$.

A distância percorrida corresponde à área sob o gráfico $v\times t$. Como as velocidades no segundo intervalo de $5\,\mathrm s$ são maiores do que as do primeiro, sua área é maior. Assim, nos primeiros $5\,\mathrm s$ ainda não foi percorrida metade da distância total; o instante procurado é posterior a $5\,\mathrm s$.

Resposta: a) $3{,}0\,\mathrm{m/s^2}$. b) Depois de $5\,\mathrm s$.

Mecânica — Quantidade de movimento — Conservação da posição do centro de massa

A figura a seguir representa, vista de cima, uma jangada de comprimento l, em repouso, flutuando em alto mar com o pescador de pé, equidistante das extremidades. Por inadvertência, ele havia levado a jangada para um local onde a Marinha de Guerra estava realizando exercícios de tiro. Assim, em determinado instante, ele percebe um torpedo que se desloca numa direção perpendicular à do comprimento da jangada e que irá atingí-la muito próximo de uma de suas extremidades.

Para tentar evitar que a jangada seja atingida, o pescador deve correr ao longo da direção AB, aproximando-se de A ou de B?

Justifique sua resposta.

O pescador deve se deslocar para B.

Resolução comentada

Desprezando forças externas horizontais, o centro de massa do sistema pescador–jangada mantém sua posição horizontal. Ao caminhar numa direção, o pescador faz a jangada se deslocar na direção oposta.

Ele deve caminhar para B, fazendo a jangada deslocar-se no sentido de B para A e afastar-se da trajetória do torpedo indicada no desenho. A decisão deve considerar o deslocamento da jangada, e não apenas o do pescador sobre ela.

Resposta: O pescador deve se deslocar para B.

Óptica — Lentes — Lentes delgadas

Um projetor de diapositivos (slides) possui um sistema de lentes cuja distância focal é ajustável. Um diapositivo é colocado na vertical, a $125\,\mathrm{cm}$ de distância de uma parede também vertical. O eixo principal do sistema de lentes é horizontal. Ajusta-se a distância focal do sistema e obtém-se, projetada na parede, uma imagem nítida do diapositivo, com suas dimensões lineares ampliadas 24 vezes.

a) O sistema de lentes do projetor é convergente ou divergente? Justifique sua resposta.

b) Para que valor foi ajustada a distância focal do sistema?

Lente convergente, de distância focal $4{,}8\,\mathrm{cm}$.

Resolução comentada

A imagem projetada na parede é real; para um objeto real, isso exige uma lente convergente. A ampliação em módulo é $p^\prime/p=24$, e a distância objeto–parede é $p+p^\prime=125\,\mathrm{cm}$.

Logo, $25p=125$, $p=5\,\mathrm{cm}$ e $p^\prime=120\,\mathrm{cm}$. Pela equação de Gauss, $f=pp^\prime/(p+p^\prime)=5\cdot120/125=4{,}8\,\mathrm{cm}$.

Resposta: Lente convergente, de distância focal $4{,}8\,\mathrm{cm}$.

Eletricidade — Eletrodinâmica — Associação de resistores e aquecimento da água

Uma pessoa acampada numa praia deserta queria esquentar água para fazer café. Dispondo de duas "resistências de imersão" de $1{,}2\,\Omega$ cada, ligou-as à bateria de $12\,\mathrm V$ de seu carro.

Suponha desprezíveis a resistência interna da bateria e as resistências dos fios de transmissão. Considere que toda a energia elétrica dissipada pelas resistências seja usada para aquecer a água.

a) Para aquecer a água mais rapidamente, as resistências devem ser ligadas em série ou em paralelo com a bateria? Justifique sua resposta.

b) Suponha que a pessoa tenha ligado as resistências em paralelo com a bateria.

Sendo o calor específico da água igual a 1 cal/$g$.^oC e $1\,\mathrm J$ = $0{,}24\,\mathrm{cal}$, calcule quantos minutos foram necessários para fazer a temperatura de $480\,\mathrm g$ de água se elevar de 18^oC a 100^oC.

Em paralelo; $t\approx683\,\mathrm s\approx11{,}4\,\mathrm{min}$.

Resolução comentada

Com tensão fixa, a potência é $P=U^2/R_{\rm eq}$. A associação em paralelo fornece a menor resistência e o aquecimento mais rápido: $R_{\rm eq}=1{,}2/2=0{,}60\,\Omega$ e $P=12^2/0{,}60=240\,\mathrm W$.

A água precisa receber $Q=mc\Delta T=480\cdot1\cdot(100-18)=39360\,\mathrm{cal}$. Usando $1\,\mathrm J=0{,}24\,\mathrm{cal}$, temos $Q=164000\,\mathrm J$. Sem perdas, $t=Q/P=164000/240\approx683\,\mathrm s$.

Resposta: Em paralelo; $t\approx683\,\mathrm s\approx11{,}4\,\mathrm{min}$.

Mecânica — Trabalho e energia — Conservação da energia e força normal em trajetória circular

A figura mostra o perfil JKLM de um tobogã, cujo trecho KLM é circular de centro em C e raio $R$ = $5{,}4\,\mathrm m$. Uma criança de $15\,\mathrm{kg}$ inicia sua descida, a partir do repouso, de uma altura h = $7{,}2\,\mathrm m$ acima do plano horizontal que contém o centro C do trecho circular.

Considere os atritos desprezíveis e $g$ = $10\,\mathrm{m/s^2}$.

a) Calcule a velocidade com que a criança passa pelo ponto $L$.

b) Determine a direção e o sentido da força exercida pelo tobogã sobre a criança no instante em que ela passa pelo ponto $L$ e calcule seu módulo.

a) $v_L=\sqrt{252}\,\mathrm{m/s}\approx15{,}9\,\mathrm{m/s}$. b) $N=850\,\mathrm N$, verticalmente para cima.

Resolução comentada

O ponto inicial está $7{,}2\,\mathrm m$ acima do plano do centro; o ponto L, no fundo do arco, está $R=5{,}4\,\mathrm m$ abaixo dele. A queda total é $12{,}6\,\mathrm m$. Pela conservação da energia, $v_L^2=2g\Delta h=252\,\mathrm{m^2/s^2}$.

Em L, a aceleração centrípeta aponta para cima. Logo, $N-mg=mv_L^2/R$. Para $m=15\,\mathrm{kg}$, $N=15(10+252/5{,}4)=850\,\mathrm N$. A normal supera o peso porque também produz a aceleração centrípeta.

Resposta: a) $v_L=\sqrt{252}\,\mathrm{m/s}\approx15{,}9\,\mathrm{m/s}$. b) $N=850\,\mathrm N$, verticalmente para cima.

Mecânica — Hidrostática — Volume deslocado e empuxo mínimo

Deseja-se içar uma peça metálica de artilharia de massa $m$ = $1{,}0\times10^{3}\,\mathrm{kg}$ e volume igual a $2{,}0\times10^{-1}\,\mathrm{m^3}$, que se encontra em repouso no fundo de um lago. Para tanto, prende-se a peça a um balão que é inflado com ar até atingir um volume V, como mostra a figura.

Supondo desprezível o peso do balão e do ar em seu interior e considerando a densidade da água $1{,}0\times10^{3}\,\mathrm{kg/m^3}$, calcule o valor do volume mínimo V necessário para içar a peça.

$V_{\min}=0{,}80\,\mathrm{m^3}$.

Resolução comentada

Na situação limite de sustentação, o empuxo total sobre o corpo metálico e o volume adicional iguala o peso de $1000\,\mathrm{kg}$. Desprezando os pesos indicados como desprezíveis no enunciado, $\rho g(V+0{,}20)=1000g$.

Com $\rho=1000\,\mathrm{kg/m^3}$, o volume deslocado total deve ser $1{,}0\,\mathrm{m^3}$. Como a peça já desloca $0{,}20\,\mathrm{m^3}$, falta $V=1{,}0-0{,}20=0{,}80\,\mathrm{m^3}$.

Resposta: $V_{\min}=0{,}80\,\mathrm{m^3}$.

Eletricidade — Eletrostática — Equilíbrio de gota carregada em campo elétrico

Robert Millikan verificou experimentalmente que a carga elétrica que um corpo adquire é sempre um múltiplo inteiro da carga do elétron. Seu experimento consistiu em pulverizar óleo entre duas placas planas, paralelas e horizontais, entre as quais havia um campo elétrico uniforme. A maioria das gotas de óleo pulverizadas se carrega por atrito. Considere que uma dessas gotas negativamente carregada tenha ficado em repouso entre as placas, como mostra a figura.

Suponha que o módulo do campo elétrico entre as placas seja igual a $2{,}0\times10^{4}\,\mathrm{V/m}$ e que a massa da gota seja $6{,}4\times10^{-15}\,\mathrm{kg}$. Considere desprezível o empuxo exercido pelo ar sobre a gota e $g$ = $10\,\mathrm{m/s^2}$.

a) Determine a direção e o sentido do campo elétrico existente entre as placas.

b) Sabendo que o módulo da carga $q$ do elétron vale 1,6 × 10-19 C, calcule quantos elétrons em excesso essa gota possui.

Campo para baixo; excesso de 20 elétrons.

Resolução comentada

Para equilibrar o peso, a força elétrica deve apontar para cima. Como a gota tem carga negativa, o campo elétrico deve apontar para baixo, em sentido oposto à força.

No equilíbrio, $|q|E=mg$. Assim, $|q|=(6{,}4\times10^{-15}\cdot10)/(2{,}0\times10^4)=3{,}2\times10^{-18}\,\mathrm C$. Dividindo pela carga elementar, $n=|q|/e=3{,}2\times10^{-18}/(1{,}6\times10^{-19})=20$. Trata-se de excesso de elétrons.

Resposta: Campo para baixo; excesso de 20 elétrons.

Mecânica — Estática — Equilíbrio de torques

A figura 1 mostra o braço de uma pessoa (na horizontal) que sustenta um bloco de $10\,\mathrm{kg}$ em sua mão. Nela estão indicados os ossos úmero e rádio (que se articulam no cotovelo) e o músculo bíceps.

A figura 2 mostra um modelo mecânico equivalente: uma barra horizontal articulada em 0, em equilíbrio, sustentando um bloco de $10\,\mathrm{kg}$. A articulação em 0 é tal que a barra pode girar livremente, sem atrito, em torno de um eixo perpendicular ao plano da figura em 0. Na figura 2 estão representados por segmentos orientados:

a força $F$ exercida pelo bíceps sobre o osso rádio, que atua a $4\,\mathrm{cm}$ da articulação 0;

a força f exercida pelo osso úmero sobre a articulação 0;

o peso p do sistema braço-mão, de massa igual a $2{,}3\,\mathrm{kg}$ e aplicado em seu centro de massa, a $20\,\mathrm{cm}$ da articulação 0;

o peso $P$ do bloco, cujo centro de massa se encontra a $35\,\mathrm{cm}$ da articulação 0.

Calcule o módulo da força $F$ exercida pelo bíceps sobre o osso rádio, considerando $g$ = $10\,\mathrm{m/s^2}$.

$F=990\,\mathrm N$.

Resolução comentada

Tomamos momentos em relação à articulação O; assim, a força na articulação não contribui para o torque. O bíceps deve equilibrar os torques do peso do bloco e do peso do braço–mão.

$F\cdot0{,}04=(10\cdot10)\cdot0{,}35+(2{,}3\cdot10)\cdot0{,}20$. Portanto, $F=(35+4{,}6)/0{,}04=990\,\mathrm N$. A força muscular é grande porque seu braço de alavanca é curto.

Resposta: $F=990\,\mathrm N$.

Ondas — Fenômenos ondulatórios — Refração e reflexão total de ondas sonoras

Considere que a velocidade de propagação do som na água seja quatro vezes maior do que a sua velocidade de propagação no ar.

a) Para que haja reflexão total de uma onda sonora na superfície que separa o ar da água, a onda deve chegar à superfície vinda do ar ou vinda da água? Justifique sua resposta.

b) Um diapasão, usado para afinar instrumentos musicais, emite uma onda sonora harmônica de comprimento de onda $\lambda$ quando essa onda se propaga no ar. Suponha que essa onda penetre na água e que $\lambda^\prime$ seja o seu comprimento de onda na água. Calcule a razão $\lambda/\lambda^\prime$.

a) Vinda do ar. b) $\lambda/\lambda^\prime=1/4$.

Resolução comentada

A reflexão total exige passagem do meio de menor velocidade para o de maior velocidade, com incidência acima do ângulo limite. Como $v_{\text{água}}=4v_{\rm ar}$, a onda deve vir do ar.

A frequência não muda na passagem entre os meios. Por $\lambda=v/f$, resulta $\lambda^\prime=4\lambda$, de modo que a razão pedida é $\lambda/\lambda^\prime=1/4$.

Resposta: a) Vinda do ar. b) $\lambda/\lambda^\prime=1/4$.

Q10

Termologia — Termodinâmica — Primeira lei da Termodinâmica

Um gás ideal, inicialmente em um estado de equilíbrio termodinâmico (ponto 1 da figura) a uma temperatura T, sofre uma expansão isobárica (1 -> 2), seguida de uma transformação isométrica (2->3), até atingir o estado de equilíbrio (ponto 3 da figura) à mesma temperatura inicial T, como ilustra o diagrama $P$-V a seguir:

a) Durante a evolução 1->2->3, o gás cedeu ou recebeu calor? Justifique sua resposta.

b) Calcule essa quantidade de calor.

O gás recebe $1000\,\mathrm J$ de calor.

Resolução comentada

As temperaturas inicial e final são iguais. Para um gás ideal, a energia interna depende apenas da temperatura, portanto $\Delta U=0$ na evolução completa.

O trabalho só ocorre na expansão isobárica: $W=p\Delta V=2{,}0\times10^5(10-5)\times10^{-3}=1000\,\mathrm J$. Na etapa isométrica o volume não varia. Pela primeira lei, $\Delta U=Q-W$, logo $Q=W=1000\,\mathrm J>0$: o gás recebe calor líquido.

Resposta: O gás recebe $1000\,\mathrm J$ de calor.

UFRJ | 1997 · 3º dia

Dados da prova