Física · 10 questões discursivas com respostas e resoluções.
Dados da prova
Universidade Federal do Rio de Janeiro · UFRJ 2001 — Prova 2.
Questões de Física das páginas 5, 6 do PDF. Enunciados em texto, notação matemática em KaTeX e figuras originais separadas; explicações autorais em blocos próprios.
Respostas e resoluções comentadas: elaboração do Acervo TEF. Consulte o caderno e o material de respostas disponibilizados acima.
Q1
Mecânica — Cinemática — Cinemática gráfica
Nas provas de atletismo de curta distância (até $200\,\mathrm m$) observa-se um aumento muito rápido da velocidade nos primeiros segundos da prova e depois um intervalo de tempo relativamente longo em que a velocidade do atleta permanece praticamente constante para em seguida diminuir lentamente. Para simplificar a discussão suponha que a velocidade do velocista em função do tempo seja dada pelo gráfico abaixo.
Calcule:
a) as acelerações, nos dois primeiros segundos da prova e no movimento subseqüente.
b) a velocidade média nos primeiros $10\,\mathrm s$ de prova.
a) $6\,\mathrm{m/s^2}$ e $-0{,}25\,\mathrm{m/s^2}$. b) $10\,\mathrm{m/s}$.
Resolução comentada
As inclinações dão as acelerações: de 0 a 2 s, $a_1=12/2=6\,\mathrm{m/s^2}$; de 2 a 18 s, $a_2=(8-12)/(18-2)=-0{,}25\,\mathrm{m/s^2}$.
Em 10 s, a velocidade é $v(10)=12-0{,}25\cdot8=10\,\mathrm{m/s}$. A área sob o gráfico até esse instante é $\Delta s=2\cdot12/2+(12+10)8/2=12+88=100\,\mathrm m$. Logo, $v_m=100/10=10\,\mathrm{m/s}$.
Resposta: a) $6\,\mathrm{m/s^2}$ e $-0{,}25\,\mathrm{m/s^2}$. b) $10\,\mathrm{m/s}$.
Q2
Mecânica — Dinâmica — Dinâmica e apoio
Um operário usa uma empilhadeira de massa total igual a uma tonelada para levantar verticalmente uma caixa de massa igual a meia tonelada, com uma aceleração inicial de $0{,}5\,\mathrm{m/s^2}$, que se mantém constante durante um curto intervalo de tempo. Use $g$=$10\,\mathrm{m/s^2}$ e calcule, neste curto intervalo de tempo:
a) a força que a empilhadeira exerce sobre a caixa;
b) a força que o chão exerce sobre a empilhadeira. (Despreze a massa das partes móveis da empilhadeira).
a) $5250\,\mathrm N$. b) $15250\,\mathrm N$.
Resolução comentada
A caixa tem massa $500\,\mathrm{kg}$ e acelera para cima. Assim, $F-mg=ma$, dando $F=500(10+0{,}5)=5250\,\mathrm N$.
A empilhadeira de 1000 kg permanece sem aceleração vertical. O piso equilibra seu peso e a reação da caixa: $N=1000\cdot10+5250=15250\,\mathrm N$. A reação da caixa não é apenas seu peso, pois ela está acelerada.
Resposta: a) $5250\,\mathrm N$. b) $15250\,\mathrm N$.
Q3
Mecânica — Hidrostática — Força resultante de diferenças de pressão
Considere um avião comercial em voo de cruzeiro. Sabendo que a pressão externa a uma janela de dimensões $0{,}30\,\mathrm m\times0{,}20\,\mathrm m$ é um quarto da pressão interna, que por sua vez é igual a $1\,\mathrm{atm}$ ($10^5\,\mathrm{N/m^2}$):
a) indique a direção e o sentido da força sobre a janela em razão da diferença de pressão;
b) calcule o seu módulo.
a) Perpendicular à janela, de dentro para fora. b) $4500\,\mathrm N$.
Resolução comentada
A pressão interna é maior. Portanto, a força resultante devida às pressões aponta perpendicularmente à janela, do interior para o exterior.
A diferença é $\Delta p=(1-1/4)10^5=7{,}5\times10^4\,\mathrm{Pa}$, e a área vale $A=0{,}30\cdot0{,}20=0{,}060\,\mathrm{m^2}$. Logo, $F=\Delta pA=4500\,\mathrm N$.
Resposta: a) Perpendicular à janela, de dentro para fora. b) $4500\,\mathrm N$.
Q4
Termologia — Termodinâmica — Compressão de gás ideal
Um gás ideal é comprimido lenta e linearmente a partir do volume inicial $V_0$ e pressão $P_0$ até o volume final $V_0/2$, conforme ilustrado no gráfico. Sabendo que a temperatura final é igual à temperatura inicial, determine em função dos dados do problema:
a) a pressão final do gás;
b) o calor trocado pelo gás durante o processo.
a) $P_f=2P_0$. b) $Q=-3P_0V_0/4$.
Resolução comentada
Como as temperaturas extremas são iguais, $P_fV_f=P_0V_0$. Usando $V_f=V_0/2$, resulta $P_f=2P_0$. Isso não significa que toda a transformação seja isotérmica.
O trabalho é a área algébrica sob o segmento de reta: $W=(P_0+2P_0)(V_0/2-V_0)/2=-3P_0V_0/4$. A energia interna não varia entre os extremos, pois a temperatura final é a inicial. Assim, $Q=W=-3P_0V_0/4$: o gás cede calor.
Resposta: a) $P_f=2P_0$. b) $Q=-3P_0V_0/4$.
Q5
Mecânica — Gravitação — Terceira lei de Kepler e velocidade orbital
A tabela abaixo ilustra uma das leis do movimento dos planetas: a razão entre o cubo da distância $D$ de um planeta ao Sol e o quadrado do seu período de revolução $T$ em torno do Sol é constante. O período é medido em anos e a distância em unidades astronômicas (UA). A unidade astronômica é igual à distância média entre o Sol e a Terra. Suponha que o Sol esteja no centro comum das órbitas circulares dos planetas.
Planeta
Mercúrio
Vênus
Terra
Marte
Júpiter
Saturno
$T^2$
0,058
0,378
1,00
3,5
141
868
$D^3$
0,058
0,378
1,00
3,5
141
868
Um astrônomo amador supõe ter descoberto um novo planeta no sistema solar e o batiza como planeta X. O período estimado do planeta X é de $125$ anos. Calcule:
a) a distância do planeta X ao Sol em UA;
b) a razão entre a velocidade orbital do planeta X e a velocidade orbital da Terra.
a) $25\,\mathrm{UA}$. b) $v_X/v_T=1/5$.
Resolução comentada
Nas unidades da tabela, $D^3/T^2=1$. Para $T_X=125=5^3$ anos, $D_X=125^{2/3}=25\,\mathrm{UA}$.
Em órbitas circulares, $v=2\pi D/T$. A razão é $v_X/v_T=(D_X/D_T)(T_T/T_X)=25/125=1/5$. O planeta mais distante tem período maior e velocidade orbital menor.
Resposta: a) $25\,\mathrm{UA}$. b) $v_X/v_T=1/5$.
Q6
Mecânica — Quantidade de movimento — Colisão elástica e energia armazenada em mola
Uma esfera de massa igual a $100\,\mathrm g$ está sobre uma superfície horizontal sem atrito, e prende-se à extremidade de uma mola de massa desprezível e constante elástica igual a $9\,\mathrm{N/m}$. A outra extremidade da mola está presa a um suporte fixo, conforme mostra a figura (no alto, à direita). Inicialmente a esfera encontra-se em repouso e a mola no seu comprimento natural. A esfera é então atingida por um pêndulo de mesma massa que cai de uma altura igual a $0{,}5\,\mathrm m$.
Suponha a colisão elástica e $g$=$10\,\mathrm{m/s^2}$.
Calcule:
a) as velocidades da esfera e do pêndulo imediatamente após a colisão;
b) a compressão máxima da mola.
a) Esfera: $\sqrt{10}\,\mathrm{m/s}$; pêndulo: zero. b) $x=1/3\,\mathrm m$.
Resolução comentada
A queda de 0,5 m transforma energia potencial em cinética: $v=\sqrt{2gh}=\sqrt{10}\,\mathrm{m/s}$. Na colisão frontal elástica entre massas iguais, as velocidades são trocadas. Assim, a esfera adquire $\sqrt{10}\,\mathrm{m/s}$ e o pêndulo para momentaneamente.
Na compressão máxima, toda a energia cinética da esfera foi armazenada na mola: $kx^2/2=mv^2/2$. Com $m=0{,}100\,\mathrm{kg}$ e $k=9\,\mathrm{N/m}$, $x=\sqrt{0{,}100\cdot10/9}=1/3\,\mathrm m$.
Resposta: a) Esfera: $\sqrt{10}\,\mathrm{m/s}$; pêndulo: zero. b) $x=1/3\,\mathrm m$.
Q7
Eletricidade — Eletrostática — Potencial e campo elétrico em esfera condutora
Sabe-se que quando o campo elétrico atinge o valor de $3\times10^6\,\mathrm{V/m}$ o ar seco torna-se condutor e que nestas condições um corpo eletrizado perde carga elétrica.
Calcule:
a) o raio da menor esfera que pode ser carregada até o potencial de $10^6\,\mathrm V$ sem risco de descarregar através do ar seco;
b) a carga $Q$ armazenada nesta esfera.
Use $k_e=9\times10^9\,\mathrm{N\,m^2/C^2}$.
a) $R_{\min}=1/3\,\mathrm m$. b) $Q=10^{-3}/27\,\mathrm C\approx3{,}70\times10^{-5}\,\mathrm C$.
Resolução comentada
Na superfície de uma esfera condutora isolada, $E=kQ/R^2$ e $V=kQ/R$, portanto $E=V/R$. Para não ultrapassar o campo de ruptura, $R\geq V/E_{\max}$.
Assim, $R_{\min}=10^6/(3\times10^6)=1/3\,\mathrm m$. A carga nessa esfera é $Q=VR/k=10^6/(3\cdot9\times10^9)=10^{-3}/27\,\mathrm C\approx3{,}70\times10^{-5}\,\mathrm C$.
Resposta: a) $R_{\min}=1/3\,\mathrm m$. b) $Q=10^{-3}/27\,\mathrm C\approx3{,}70\times10^{-5}\,\mathrm C$.
Q8
Ondas — Acústica — Eco e comprimento de onda
Um geotécnico a bordo de uma pequena embarcação está a uma certa distância de um paredão vertical que apresenta uma parte submersa. Usando um sonar que funciona tanto na água quanto no ar, ele observa que quando o aparelho está emerso, o intervalo de tempo entre a emissão do sinal e a recepção do eco é de $0{,}731\,\mathrm s$, e que quando o aparelho está imerso, o intervalo de tempo entre a emissão e a recepção diminui para $0{,}170\,\mathrm s$. Calcule:
a) A razão $V_{\rm Ag}/V_{\rm Ar}$ entre a velocidade do som na água e a velocidade do som no ar.
b) A razão $\lambda_{\rm Ag}/\lambda_{\rm Ar}$ entre o comprimento de onda do som na água e o comprimento de onda do som no ar.
a) $v_{\text{água}}/v_{\rm ar}=4{,}3$. b) $\lambda_{\text{água}}/\lambda_{\rm ar}=4{,}3$.
Resolução comentada
O eco percorre a ida e a volta até o mesmo paredão. Portanto, $2d=v_{\rm ar}\cdot0{,}731=v_{\text{água}}\cdot0{,}170$, dando $v_{\text{água}}/v_{\rm ar}=0{,}731/0{,}170=4{,}3$.
O aparelho opera com a mesma frequência. Como $\lambda=v/f$, a razão dos comprimentos de onda é igual à das velocidades: $\lambda_{\text{água}}/\lambda_{\rm ar}=4{,}3$. O fator 2 do trajeto do eco cancela na razão.
Resposta: a) $v_{\text{água}}/v_{\rm ar}=4{,}3$. b) $\lambda_{\text{água}}/\lambda_{\rm ar}=4{,}3$.
Q9
Óptica — Óptica da visão — Imagem aparente em dioptro plano
Temos dificuldade em enxergar com nitidez debaixo da água porque os índices de refração da córnea e das demais estruturas do olho são muito próximos do índice de refração da água ($n_{\text{água}}=4/3$). Por isso usamos máscaras de mergulho, o que interpõe uma pequena camada de ar ($n_{\rm ar}=1$) entre a água e o olho. Um peixe está a uma distância de $2{,}0\,\mathrm m$ de um mergulhador. Suponha o vidro da máscara plano e de espessura desprezível.
Calcule a que distância o mergulhador vê a imagem do peixe. Lembre-se que para ângulos pequenos $\sin\alpha\approx\tan\alpha$.
$d^\prime=1{,}5\,\mathrm m$.
Resolução comentada
Os raios passam da água para o ar da máscara e se afastam da normal. O prolongamento desses raios produz uma imagem virtual mais próxima da interface.
Para pequenos ângulos, a lei de Snell e a geometria fornecem $d^\prime/d=n_{\rm ar}/n_{\text{água}}$. Assim, $d^\prime=2{,}0\cdot1/(4/3)=1{,}5\,\mathrm m$. A espessura do vidro foi desprezada conforme o enunciado.
Um ímã permanente cai por ação da gravidade através de uma espira condutora circular fixa, mantida na posição horizontal, como mostra a figura. O pólo norte do ímã esta dirigido para baixo e a trajetória do ímã é vertical e passa pelo centro da espira. Use a lei de Faraday e mostre por meio de diagramas:
a) o sentido da corrente induzida na espira no momento ilustrado na figura;
b) a direção e o sentido da força resultante exercida sobre o ímã. JUSTIFIQUE SUAS RESPOSTAS.
a) Anti-horária, vista de cima. b) Resultante vertical para baixo, menor que o peso.
Resolução comentada
O polo norte aproxima-se da espira por cima, aumentando o fluxo magnético dirigido para baixo. Pela lei de Lenz, a corrente induzida cria campo para cima para se opor a esse aumento. Pela regra da mão direita, a corrente é anti-horária quando vista de cima.
A espira apresenta um polo norte voltado para o ímã e exerce força magnética para cima, opondo-se à queda. Na situação descrita de queda, a resultante ainda é para baixo, com módulo $mg-F_{\rm mag}<mg$. O sentido da força magnética é diferente do sentido da resultante.
Esquema de apoio elaborado para a resolução.
Resposta: a) Anti-horária, vista de cima. b) Resultante vertical para baixo, menor que o peso.
