Duas placas metálicas planas e circulares, de raio $R$, separadas por uma distância $d\ll R$, estão dispostas na direção horizontal. Entre elas, é aplicada uma diferença de potencial $V$, de modo que a placa de cima fica com carga negativa e a de baixo, positiva. No centro da placa superior, está afixado um fio isolante de comprimento $L<d$ com uma pequena esfera metálica presa em sua extremidade, como mostra a figura. Essa esfera tem massa $m$ e está carregada com carga negativa $-q$. O fio é afastado da posição de equilíbrio de um ângulo $\theta$ , e a esfera é posta em movimento circular uniforme com o fio mantendo o ângulo $\theta$ com a vertical. Determine
a) o módulo $E$ do campo elétrico entre as placas;
b) os módulos $T$ e $F$, respectivamente, da tração no fio e da força resultante na esfera;
c) a velocidade angular $\omega$ da esfera.
Forças dissipativas devem ser ignoradas.
a) Como o campo é aproximadamente uniforme, $E=V/d$.
b) O campo aponta para cima; sobre a carga negativa, a força elétrica $qE$ aponta para baixo e soma-se ao peso. No eixo vertical, $T\cos\theta=mg+qV/d$, logo $T=\dfrac{mg+qV/d}{\cos\theta}$. A resultante é horizontal e centrípeta: $F=T\sin\theta=(mg+qV/d)\tan\theta$.
c) Como o raio da trajetória é $L\sin\theta$, $T\sin\theta=m\omega^2L\sin\theta$. Assim, $\omega=\sqrt{\dfrac{g+qV/(md)}{L\cos\theta}}$.
O foguete Saturno V, um dos maiores já construídos, foi lançado há 50 anos para levar os primeiros humanos à Lua. Tinha cerca de 3.000 ton de massa total, 110 m de altura e diâmetro máximo de 10 m. O primeiro estágio, acionado no lançamento, tinha 2.000 ton de combustível. Todo este combustível foi queimado e ejetado em 180 s com velocidade $V_e$ de escape dos gases, aproximadamente igual a 3.000 m/s. Determine os valores aproximados
a) da taxa média $\alpha$ , em kg/s, com que o combustível foi ejetado;
b) do módulo $F$ da força resultante sobre o foguete no instante imediatamente antes do término da queima do combustível do primeiro estágio, considerando $\alpha$ constante;
c) dos módulos $a$ da aceleração do foguete e $v$ da sua velocidade, no instante imediatamente antes do término da queima do combustível do primeiro estágio.
Considere a aceleração da gravidade $g$ igual a $10\text{m/s}^2$.
A força motora de um foguete, chamada força de empuxo, é dada por $F_e=\alpha V_e$.
A velocidade de um foguete em trajetória vertical é dada por $v=V_e\ln(m_0/m)-gt$, em que $m_0$ é a massa total no lançamento e $m$, a massa restante após um intervalo de tempo $t$.
$\ln(x)$ é uma função que assume os seguintes valores, aproximadamente: $\ln(1{,}5)=0{,}4$; $\ln(2)=0{,}7$; $\ln(3)=1{,}1$.
a) $\alpha=2{,}0\times10^6/180\approx1{,}1\times10^4\text{kg/s}$.
b) O empuxo é $F_e=\alpha V_e\approx3{,}3\times10^7\text{N}$. Restam $1{,}0\times10^6\text{kg}$, cujo peso é $1{,}0\times10^7\text{N}$. Logo, $F_R\approx2{,}3\times10^7\text{N}$, para cima.
c) $a=F_R/m\approx23\text{m/s}^2$. Pela expressão fornecida, $v=V_e\ln(m_0/m)-gt=3000\ln3-10\times180\approx1500\text{m/s}$.
Uma fábrica montou uma linha de produção que tem necessidade de um fluxo contínuo de água, de $8\text{L/min}$, numa temperatura $15^\circ\text{C}$ acima da temperatura ambiente. Para obter esse resultado, foi utilizado um aquecedor de água híbrido, consistindo de um coletor solar e de um aquecedor elétrico que complementa o aquecimento da água. Considere a distribuição diária de intensidade de radiação solar I dada pela figura e determine
a) a potência total P, em W, que este sistema de aquecimento necessita ter;
b) a área A do coletor para que, no horário de pico da intensidade de radiação solar, a água seja aquecida $15^\circ\text{C}$ acima da temperatura ambiente, apenas pelo coletor solar, considerando que a sua eficiência seja 40%;
c) a quantidade de energia elétrica complementar $E_e$, em kWh, usada em um dia, com o sistema operando das 7 h às 17 h, considerando a área calculada no item (b).
Densidade da água $=1\text{kg/L}$.
$1\text{cal}=4\text{J}$.
a) Com os dados fornecidos, $c=1\text{cal}/(\text{g}\cdot{}^\circ\text{C})=4000\text{J}/(\text{kg}\cdot{}^\circ\text{C})$. A vazão mássica é $\dot m=8/60\text{kg/s}$. Assim, $P=\dot m c\Delta T=\dfrac8{60}\times4000\times15=8000\text{W}$.
b) O pico do gráfico está ligeiramente acima de $1000\text{W/m}^2$. Adotando $I_{\max}\approx1000\text{W/m}^2$ como leitura aproximada e eficiência $\eta=0{,}40$, temos $A=P/(\eta I_{\max})=8000/400\approx20\text{m}^2$.
c) A intensidade média fornecida no gráfico entre 7 h e 17 h é $\overline I=700\text{W/m}^2$. Com a área aproximada do item b, a potência solar média útil é $\eta A\overline I=0{,}40\times20\times700=5600\text{W}$. A energia elétrica complementar em 10 h é $E_e=(8000-5600)\times10\text{Wh}=24\text{kWh}$.
Precisão da leitura: adotando pico de $1050\text{W/m}^2$, resulta $A\approx19{,}05\text{m}^2$ e $E_e\approx26{,}67\text{kWh}$. Se a área for arredondada para $19\text{m}^2$, resulta $26{,}8\text{kWh}$. As diferenças decorrem da leitura e do arredondamento do gráfico; em todos os casos é obrigatório usar $1\text{cal}=4\text{J}$.
Um bloco de massa $m=400\text{g}$ está encostado em uma mola que foi comprimida de $\Delta x=0{,}2\text{m}$ em relação a seu comprimento natural. Em um determinado instante, a mola é solta e o bloco adquire velocidade e percorre uma distância $d=0{,}5\text{m}$ sobre uma superfície horizontal com coeficiente de atrito $\mu=0{,}3$ e executa um loop de raio $R=0{,}9\text{m}$. Determine
a) a energia cinética $\Delta E$ perdida pelo bloco ao longo do percurso de comprimento d ;
b) as velocidades mínimas $v_A$ e $v_B$ que o bloco deve ter, respectivamente, nos pontos A e B, indicados na figura, para conseguir completar o loop;
c) o menor valor da constante elástica k da mola para que o bloco complete o loop.
Não há atrito entre o bloco e a pista em loop.
Ignore a resistência do ar.
A figura é esquemática e não está em escala.
A perda de energia é expressa como valor positivo; o trabalho do atrito é negativo, $W_{\mathrm{at}}=-0{,}6\text{J}$.
a) $\Delta E=\mu mgd=0{,}3\times0{,}4\times10\times0{,}5=0{,}6\text{J}$.
b) No topo, $mg+N=mv_A^2/R$. No limite de contato, $N=0$, portanto $v_A=\sqrt{gR}=3\text{m/s}$. Conservando energia entre B e A: $v_B^2=v_A^2+4gR=45$, então $v_B=3\sqrt5\text{m/s}$.
c) A energia mínima na base é $mv_B^2/2=9\text{J}$. Assim, $k(0{,}2)^2/2=9+0{,}6$, resultando em $k=480\text{N/m}$.
Considere o circuito mostrado na figura, onde todos os resistores têm resistência $R=200\Omega$ . A diferença de potencial $V_{AB}$, entre os pontos $A$ e $B$, é $120\text{V}$. Determine
a) a resistência $R_{eq}$ equivalente deste circuito;
b) a corrente total $i$ no circuito e a corrente $i_4$ no resistor $R_4$;
c) a potência total $P$ dissipada no circuito e a potência $P_3$ dissipada no resistor $R_3$.
a) $R_1\parallel R_2=100\Omega$ e $R_4\parallel R_5=100\Omega$; esses equivalentes estão em série, totalizando $200\Omega$. Esse ramo está em paralelo com $R_3=200\Omega$, logo $R_{eq}=100\Omega$.
b) $i=120/100=1{,}2\text{A}$. O ramo superior recebe $0{,}6\text{A}$ e a corrente se divide igualmente em $R_4$ e $R_5$: $i_4=0{,}3\text{A}$.
c) $P=V^2/R_{eq}=144\text{W}$. Como $R_3$ está diretamente entre A e B, $P_3=120^2/200=72\text{W}$.
Em uma cuba de ondas contendo água, uma haste vibra com frequência 5 Hz, paralelamente à superfície da água e à lateral esquerda da cuba. A haste produz ondas planas que se propagam para a direita, como ilustra a figura.
a) Determine, a partir da figura, o comprimento de onda $\lambda$ da onda plana.
Na cuba, em $x=0$, há um anteparo rígido, paralelo às frentes da onda plana, com duas pequenas fendas cujos centros estão em $y=\pm b/2$. O lado direito da figura mostra o resultado da interferência das duas ondas que se propagam a partir das fendas. Determine
b) a coordenada $y_1$, para $y > 0$, do primeiro mínimo de interferência na parede do lado direito da cuba. Calcule o valor da distância $b$, entre os centros das fendas, considerando que a posição do primeiro mínimo pode ser aproximada por $y_1 = D\lambda/(2b)$, em que $D$ é a distância entre as fendas e o lado direito da cuba;
c) a frequência f de vibração da haste para que o primeiro mínimo de interferência, na parede do lado direito da cuba, esteja na coordenada $y=15\text{cm}$, considerando que a velocidade da onda não depende da frequência.
a) Pela escala, a separação entre frentes sucessivas é $\lambda=2\text{cm}$.
O primeiro mínimo é a faixa de menor oscilação acima do máximo central. O original troca as letras dos eixos no desenho: a interpretação adotada aqui segue o texto, com x na propagação e y transversal.
b) A figura fornece $D=30\text{cm}$ e o primeiro mínimo em $y_1\approx7{,}5\text{cm}$. Assim, $b=D\lambda/(2y_1)=30\times2/(2\times7{,}5)=4\text{cm}$.
c) A velocidade é $v=f\lambda=5\times2=10\text{cm/s}$. Para $y_1=15\text{cm}$, $\lambda'=2by_1/D=2\times4\times15/30=4\text{cm}$; portanto, $f'=v/\lambda'=10/4=2{,}5\text{Hz}$.